基于單T網絡的憶阻混沌電路

陳菊芳，徐 影，于倩倩

(東北師范大學 a.物理學院；b.物理學國家級實驗教學示范中心(東北師范大學)，吉林 長春 130024)

2008年美國惠普實驗室采用納米技術成功實現具有“記憶”特性的元件——憶阻器[1]，電路設計的基礎元件由電阻、電容和電感增加到了4個. 由于憶阻器是有記憶功能的非線性電阻，其潛在的應用價值引起了國內外學者的廣泛關注，其中利用憶阻的非線性特征實現混沌電路是研究的熱點之一. 憶阻器的磁通量φ與累積電荷q之間的關系用φ-q或q-φ平面上的曲線f(φ,q)=0來確定[1-3]. 當f(φ,q)=0由磁通的單值函數表示時，稱為磁控憶阻器，特性曲線的斜率W(φ)=dq(φ)/dφ稱為憶導. 憶阻器模型有多種，較為常見的是分段線性和三次光滑模型. 目前大多數憶阻電路是通過用不同憶阻器來替換蔡氏電路中的蔡氏二極管，得到一系列的蔡氏憶阻混沌電路[4-7]. 文獻[8]利用文氏橋振蕩器和憶阻器實現了憶阻混沌電路，文獻[9]利用雙T網絡和憶阻器設計出了憶阻混沌電路，但憶阻器采用的均為分段線性模型.

本文采用RC單T選頻網絡構成的振蕩電路和三次光滑型憶阻器設計了2種混沌電路. 憶阻器三次光滑的非線性函數為q(φ)=aφ+bφ3，由此可得到憶導為

W(φ)=a+3bφ2,

(1)

其中a>0,b>0.RC單T振蕩電路和憶阻器的耦合方式不同，得到不同特性的憶阻混沌系統，并進行了電路仿真實驗. 由于憶阻器的記憶特性，憶阻混沌電路比一般混沌電路具有更豐富的動力學行為. 雖然目前憶阻器還未商品化，在電路上只能用等效電路來模擬，但將來能以經濟實惠的材料制作出既便宜又實用的第4種元器件，即可用憶阻器代替非線性電路，使混沌電路既簡單又易實現.

1 并聯型憶阻混沌電路

1.1 憶阻混沌電路

設計的并聯型憶阻混沌電路如圖1所示. 虛線框內的電路為單T正弦波振蕩電路，R2，C2，R3，C3構成單T選頻網絡，起選頻兼正反饋功能，與該網絡常用的帶阻濾波特性不同，設R2=R3=R0，C2=C3=C0，按照圖1電路的連接方式，可求得運放A1同向端電壓v+1與輸出端電壓vo1之比，即正反饋系數為

(2)

圖1 并聯型憶阻混沌電路

憶阻器的電流為

即可得到相應憶導值的表達式為

(3)

圖2 磁控憶阻器模擬電路

憶阻器和振蕩電路通過電阻R和電容C構成的低通濾波電路進行耦合，電容C與憶阻器并聯，借助于憶阻器的非線性特性，若選擇合適的電路參量，可產生混沌信號.

根據基爾霍夫定律，得到圖1電路的狀態方程為

(4)

選取R2=R3=R0=0.2 kΩ，C2=C3=C0=100 nF，Ra=22 kΩ，Rb=10 kΩ，Rc=Rd=1 kΩ，Re=0.98 kΩ，R4=0.2 kΩ，C4=100 nF，R5=1 kΩ，R6=10.6 kΩ，R7=R9=9 kΩ，R8=914 Ω，R10=1 kΩ，R=1.33 kΩ. 通過改變電容C，可觀察到電路呈現豐富的動力學行為.

與一般混沌系統不同，令(4)式各方程等號左端為零，可得該式的平衡點為集合B={(vC1,vC2,vC3,-vφ)|vC1=vC2=vC3=0,-vφ=c}，c是常量，即-vφ坐標上的點集均是平衡點. 通過對(4)式在平衡點處的穩定性分析知，在C=3～50 nF范圍，平衡點集B除零特征根之外的3個特征根的實部不都為負，說明在此范圍內平衡點集B是不穩定的，這也可通過圖3所示的分岔圖和Lyapunov指數譜進一步證明. 為清晰可見，圖3(b)只畫出前3個Lyapunov指數，第4個Lyapunov指數只畫出一部分，當有1個指數為正時表明系統是混沌的. 由圖3(a)可見，隨著電容C逐漸減小，圖1電路的運行軌跡從無窮發散突變為不穩定的周期軌道，經過倍周期分岔后進入混沌軌道，混沌軌道經切分岔進入5周期窗口，再產生Hopf分岔演變成混沌軌道帶，再進入新的混沌軌道，直至發散而趨近無窮，在混沌帶中電路又存在若干個周期窗口.

由于篇幅所限，圖4給出了幾種典型的周期軌道、混沌軌道的數值計算結果，其中(a)，(b)和(c)為C取不同值時-vφ與vC1的相圖，它們分別呈現2周期、單渦卷混沌和雙渦卷混沌吸引子. (d)，(e)和(f)為對應的憶阻器的伏安特性曲線，印證了憶阻元件無論在周期態還是混沌態所呈現出的斜“8”型的伏安特性.

(a) vC1的分岔圖

(b) Lyapunov指數譜

(a) C=7.0 nF (b) C=6.2 nF (c) C=3.3 nF

(d) C=7.0 nF (e) C=6.2 nF (f) C=3.3 nF圖4 C取不同值時方程(4)數值計算的結果

1.2 電路仿真實驗結果

為了驗證設計電路的正確性，利用Multisim電路仿真軟件進行了電路實驗. 圖5是當電容C取不同值時的部分實驗結果，其中(a)，(b)和(c)為-vφ與vC1的相圖，它們分別呈現2周期、單渦卷混沌和雙渦卷混沌吸引子. (d)，(e)和(f)為對應的憶阻器的伏安特性曲線，憶阻電流iM通過取樣電阻R10兩端電壓獲得，即v10=iMR10，為了觀測憶阻特性方便，選取R10=1 kΩ.

與圖4結果比較可見，電路實驗結果與數值計算結果得到的相圖基本一致，只是電容C值稍有不同.

(a) C=6.25 nF (b) C=5.6 nF (c) C=3.3 nF

(d) C=6.25 nF (e) C=5.6 nF (f) C=3.3 nF圖5 電路仿真的結果

2 串聯型憶阻混沌電路

串聯型憶阻混沌電路如圖6所示. 耦合電容C與耦合電阻R并聯，再與憶阻器串聯，其他電路結構不變，此時憶阻器兩端的電壓變為vM=vC1+vC2. 雖然電路結構變化不大，但電路的動力學行為卻不同.

圖6 串聯型憶阻混沌電路

由圖6得到電路的狀態方程為選取Ra=20.5 kΩ，R5=1.5 kΩ，R6=10 kΩ，R8=1.3 kΩ，R=2 kΩ，其他電路元件參量與圖1混沌電路相同. 電容C由大至小變化，畫出變量vC1變化的分岔圖如圖7(a)所示. 可見，當電容C>10 nF時，電路處于周期狀態，且變量vC2有著與其他變量不同的振蕩頻率，稱為電路存在快慢效應現象. 選取C=12.5 nF，畫出vC1與vC2的時域波形如圖7(b)和(c)所示，vC2為1周期態，其頻率為8.0 kHz，vC1為3周期態；當C=10 nF時，電路狀態發生突變，且所有變量都變為1周期態，即電路快慢效應現象消失，隨著C的減小，電路發生倍周期分岔后進入混沌狀態；混沌軌道經切分岔進入3周期窗口，再產生Hopf分岔進入混沌軌道，再2次進入5周期窗口，直至當C減小至1 nF左右，電路狀態發生突變，進入周期振蕩狀態，電路又出現快慢效應現象.

取C=2.5 nF，數值計算系統(5)的Lyapunov指數為：0.140 0，0.007 7,0.006 2，-4.116 7，在誤差允許范圍內存在正數，說明此時電路處于混沌狀態. 分別畫出-vφ與vC1的相圖、憶阻器的伏安特性曲線如圖8所示，表明它們是雙渦卷混沌吸引子.

圖9為C=2.5 nF時電路仿真結果，與數值計算結果基本一致，驗證了設計電路的正確性.

(a) vC1的分岔圖

(b) vC1的時域波形圖

(c) vC2的時域波形圖圖7 電容C變化時方程(5)數值計算的結果

(a) 混沌吸引子

(b) 憶阻器的伏安特性曲線圖8 C=2.5 nF數值計算的結果

(a) 混沌吸引子

(b) 憶阻器的伏安特性曲線圖9 C=2.5 nF電路仿真結果

3 結束語

利用RC單T選頻網絡構成的正弦波振蕩電路與憶阻器通過不同的耦合方式設計出了2種憶阻混沌電路，并通過分岔圖、Lyapunov指數和相圖等方法分析了電路的基本動力學行為，觀測到了當耦合電容C值變化時電路出現的諸如倍周期分岔、周期窗口、快慢效應等復雜的動力學行為. 對這2種憶阻混沌電路進行了電路仿真研究，得到的結果與數值計算的結果基本一致，進一步驗證了憶阻混沌電路的正確性和有效性. 由于所設計的電路不含電感，因而具有很好的魯棒性.

參考文獻：

[1] Strukov D B, Snider G S, Stewart G R, et al. The missing memristor found [J]. Nature, 2008,453(1):80-83.

[2] Chua L O. Memristors-the missing circuit element [J]. IEEE Transactions on Circuit Theory, 1971,18(5):507-519.

[3] Chua L O, Kang S M. Memristive devices and systems [J]. Proceedings of the IEEE, 1976,64(2):209-223.

[4] Itoh M, Chua L O. Memristor oscillators [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2008,18(11):3183-3206.

[5] Bao B C, Xu J P, Zhou G H. Chaotic memristive circuit: equivalent circuit realization and dynamical analysis [J]. Chinese Physics B, 2011,20(12):120505.

[6] 楊芳艷,冷家麗,李清都. 基于Chua電路的四維超混沌憶阻電路[J]. 物理學報,2014,63(8):080502.

[7] 包伯成,劉中,許建平. 憶阻混沌振蕩器的動力學分析[J]. 物理學報,2010,59(6):3785-3793.

[8] 李志軍,曾以成. 基于文氏振蕩器的憶阻混沌電路[J]. 電子與信息學報,2014,36(1):88-93.

[9] Li Zhi-jun, Zeng Yi-cheng. A memristor oscillator based on a twin-T network [J]. Chinese Physics B, 2013,22(4):040502.