基于磁性材料的中心力場演示實驗儀

武家銘

(執信中學，廣東 廣州 510080)

中心力場作用下物體的運動規律問題是物理學中的基本問題. 天體物理中行星在引力作用下繞恒星的公轉[1]和類氫原子中核外電子在電磁力作用下繞原子實運動的玻爾模型屬于單中心力場問題[2]，月球在太陽和地球共同作用下的運動以及雙原子分子中電子的運動則屬于雙中心力場問題，而晶體內電子和空穴等帶電載流子在晶格產生的周期性電場中的運動則屬于多中心力場問題[3]. 可以說，中心力場問題貫穿了物理學的許多分支領域，是一個具有重要意義的基本問題，因此常被設置為物理教學的重要內容[4-5].

從原子到天體，中心力場問題涉及的物體形態各異，幾何尺度跨度達數十個數量級，不易理解，若能在課堂上模擬和演示不同尺度、不同數量中心力場下物體的運動，將有助于學生理解該問題. 為此，設計并制作了中心力場演示實驗裝置. 該裝置利用紐扣型磁鐵產生的磁場模擬不同形式的中心力場，利用可被磁化的金屬小球作為在力場中運動的物體，使用高速攝像機拍攝小球運動的視頻，結合分析軟件[6]，提取金屬小球在力場中運動的軌跡、速度、加速度、動量等多種動力學參量. 在此基礎上，編寫程序對小球的運動進行數值模擬，并將模擬結果與實驗結果進行對比.

1 實驗裝置

裝置的原理如圖1所示，分成3層，全部由有機玻璃制作，上層和下層厚度為5mm，中間層厚度為8mm. 中間層按周期性結構制作了二維的小孔陣列，小孔間距為20mm. 小孔直徑為10mm，可放置直徑為10mm的紐扣形銣鐵硼強磁鐵. 上下層夾緊后，孔內的磁鐵位置固定，不會因外作用而翻轉. 讓被磁化的小金屬球在上層有機玻璃板上移動，以模擬中心力場中的運動物體. 由于二維小孔陣列內放置磁鐵的位置、數量和磁鐵的極性可自由選擇，故可用來模擬單中心、雙中心、多中心甚至周期性中心等多種力場中物體的運動. 金屬小球通過導軌滑入力場，導軌的傾斜角度和長度可調，故小球的數量、大小和初始運動速度等參量也可在一定范圍內定量調節.

圖1 中心力場演示實驗裝置原理圖

圖2是演示裝置實物的局部圖，模擬具有4個中心的力場. 將紐扣形磁鐵堆疊成柱狀可阻止金屬球運動到磁鐵的頂部，避免后續的受力分析必須同時考慮磁鐵邊界之內和之外2種情況，將數值模擬簡化為二維模型.

圖2 中心力場實驗裝置實物圖

小球進入力場后，采用最快的拍攝速度為500幀/s的JVCGC-P100型高速攝像機拍攝小球的運動視頻，導入Tracker視頻分析軟件進行分析，提取小球的位置和速度隨時間變化的定量數據. 計入小球的質量后，還可進一步計算小球的動量和動能.

2 實驗結果和數值模擬

2.1 實驗結果

小球沿斜面滑入中心力場后，呈現出復雜多樣的運動軌跡，且對實驗條件很敏感. 小球的運動軌跡與其大小、入射速度、入射方向，磁鐵的位置、數量，以及小球與磁鐵之間的距離等多種因素有關. 但在磁鐵位置和數量確定、小球大小確定、斜面的傾斜角度確定、小球釋放位置確定的情況下，小球運動的軌跡基本可以重現. 圖3所示為Tracker軟件提取的單個中心時小球的運動軌跡，展示了小球運動完全不受中心力場影響，在中心力場作用下運動方向發生偏轉，被力心束縛等多種不同的受力情況. 圖3中十字線的交點為力場中心的位置. 圖4則為雙中心力場下小球的1種運動軌跡.

圖3 單中心力場下運動軌跡的提取

圖4 雙中心力場下運動軌跡的提取

2.2 運動軌跡的數值模擬

可磁化小球在紐扣形磁鐵產生的中心力場中的受力與磁場的梯度成比例，表現為非線性力[7]，且不滿足距離的平方反比關系，故運動軌跡的精確解難以得到. 本文采用半經驗的方法進行數值模擬. 先將小球用細繩黏緊，用數字式拉力計牽引細繩，測出拉力F隨小球與磁鐵中心距離x的變化數據，采用式(1)所示的多項式進行擬合，得到確定的(a0，…，a6)參量后，再代入運動方程，用數值積分的方法計算出小球的運動軌跡，即

(1)

實驗中，小球的質量為3.47 g，計算的時間間隔dt與高速攝像機的500幀/s的拍攝速度匹配，取dt=2 ms.

用Matlab編制[8]的雙中心力場下圖形化仿真計算程序界面如圖5所示，可手動輸入2個力心的位置(Cx,Cy)、小球受力擬合公式的系數、小球初始位置(x0,y0)、初始速度(vx0,vy0)、計算時間間隔dt、計算總時間T等參量. 圖中的長度統一用m為單位. 實驗中，2個力心的位置分別為(50 mm，0)，(-50 mm，0),小球初始位置為(-200 mm,-40 mm)，初始速度為139 mm·s-1,44.79 mm·s-1，擬合函數為

0.195 3x3+0.016 1x4-0.000 7x5+0.000 1x6.

(2)

圖5 雙中心力場圖形化仿真計算程序計算結果

輸入圖4實驗結果對應的初始參量后，計算得到的小球軌跡如圖5中的曲線所示，與實驗結果基本一致. 圖6所示為小球被四中心力場束縛時的閉合軌跡，也與實驗結果對應.

圖6 被四中心場束縛時的運動路徑

3 結束語

實驗和數值模擬結果表明：基于二維圓孔陣列的多中心力場運動演示裝置可以綜合演示單中心、雙中心、四中心甚至周期性中心力場內物體的運動情況，且能夠方便調控力心的數量、位置及運動物體的大小、 初始位置和速度等參量. 采用半經驗的方法擬合小球受力公式后，數值計算得到的運動軌跡與實驗結果基本符合. 實驗和模擬結合，可以較好地演示物理教學中涉及中心力場的運動問題.

參考文獻：

[1] 薛中偉. 行星運動的力學分析[J]. 山西財經大學學報,2011,33(2):265-266.

[2] 鄭樂民. 原子物理[M]. 北京: 北京大學出版社,2010.

[3] 蔣平，徐至中. 固體物理簡明教程[M]. 上海：復旦大學出版社,2007.

[4] 張鐵強. 大學物理學(下冊)[M]. 北京:高等教育出版社,2007.

[5] 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研發中心. 普通高中課程標準實驗教科書·物理(選修3-1)[M]. 北京：人民教育出版社,2010.

[6] Tracker4.85 05Apr 2014 Douglas Brown help文件[M]. 2014.

[7] 趙凱華，陳熙謀. 新概念物理教程·電磁學[M]. 北京:高等教育出版社,2006.

[8] 劉浩. MatLab R2014a 完全自學一本通[M]. 北京:電子工業出版社,2015.