空間幾何體的外接球的體積與表面積的求解策略

摘 要：全國卷中經常考空間幾何體的外接球問題，由于學生的空間感不強和對球的性質理解不透徹，導致無法求空間幾何體的外接球的表面積或者體積。本文就是要講解如何解決這個問題。其實無論求哪一種幾何體的外接球的表面積和體積，都需要求出球的半徑，既然要求出球的半徑就要知道球心在哪里，下面就筆者這幾年的教學經驗和研究，總結了幾種方法。

關鍵詞：還原法；定義法；性質法

一、 空間幾何體的外接球的體積與表面積

[方法一：還原法——還原成正方體或長方體或圓柱]

結論：1. 正方體和長方體的外接球的直徑是它們的體對角線的長。

2. 圓柱的外接球：在圓柱OO1中，AB為底面圓的一條直徑，AC是一條母線，則外接球的球心就是線段BC的中點，設圓柱的底面半徑為r，圓柱的高位h，球的半徑為R，則（2r）2+h2=（2R）2。

例1 直三棱柱ABC-DEF中，側棱AE⊥底面ABC，三角形ABC中，AB⊥AC，且AE=AB=AC=2，則此三棱柱的外接球的表面積為。

解析：此三棱柱的特點是：從點A出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直，

所以此三棱柱的外接球就是以AE，AB，AC為棱長的正方體的外接球，

所以直徑2R=22，所以球的表面積為8π。

[總結]哪些幾何體的外接球可以還原成正方體或長方體或圓柱呢？常見的情況有：

1. 從同一頂點出發(fā)的三條線兩兩互相垂直（墻角結構）的幾何體，如底面是直角三角形的直棱柱，墻角結構的三棱錐，它們的外接球與以這三條線段為棱長的長方體的外接球相同。

2. 正四面體，還原為正方體，正四面體的棱長就是正方體的面對角線長。

3. 直棱柱的外接球就是此直棱柱的外接圓柱的外接球。

[方法二：定義法——利用球的定義找球心]

球的定義：空間中，到一定點的距離等于定長的點的集合。

例2 三棱錐A-BCD中，BC⊥CD，AB=AD=2，BC=1，CD=3，則該三棱錐外接球的體積為。

解析：∵BC⊥CD，BC=1，CD=3，

∴BD=2，又AD2+AB2=（2）2+（2）2=4=BD2，

∴AD⊥AB，

∴球心為BD的中點（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），∴球的半徑為1，

∴球的體積為4π3。

[總結]能用到定義的三棱錐的特點：

①有兩個直角三角形且這兩個直角三角形有公共斜邊。

②三棱錐A-BCD中，對邊AC與BD的公垂線為EF，且E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點，則球心在EF上。

[方法三：性質法——利用球心與截面圓圓心的連線垂直截面圓]

有些幾何體的外接球的球心如果不能用上面的兩種方法找出，還可以用球的性質法。能用到的球的性質有哪些呢？下面介紹幾個可以用到的球的性質。①與截面垂直的直徑過截面圓的圓心。②連接球心和截面圓的圓心的直線垂直于截面。③求半徑的平方=球心到截面的距離的平方+截面圓的半徑的平方。

例3 三棱錐P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，則該三棱錐外接球的表面積為。

解析：由余弦定理得cosB=BC2+BA2-AC22BC·BA=-15，所以角B為鈍角，sinB=265，所以△ABC的外接圓的圓心在中線BD的延長線上，

假設為點G，又PC⊥平面ABC，所以PC⊥AC，

所以△PCA為直角三角形，此三角形外接圓的圓心為斜邊PA的中點E，過點E作平面PAC的垂線，與過點G且與平面ABC垂直的線交于點F，則點F為此三棱錐外接球的球心，連接FP，△ABC的外接圓直徑為6sinB=562，

設三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為d，則R2=d2+5642=（2-d）2+5642，

所以該三棱錐的外接球的半徑R2=838，所以表面積為83π2。

二、 總結

用球的性質找球心時，應該先找這個幾何體中的兩個特殊的圖形（如，等腰三角形，等邊三角形，直角三角形等），然后再找出它們的外接圓的圓心，再過每個圓的圓心作此圓的垂線，兩垂線的交點就是球心，最后利用直角三角形勾股定理就可以求出半徑。

參考文獻：

[1] 王朝銀.步步高大二輪復習與增分策略[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2017.

[2] 王朝銀.步步高大一輪復習與增分策略[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2016.

作者簡介：車艷杰，福建省漳州市，平和正興學校。