充分條件和必要條件的判定與應(yīng)用

張西情

摘 要：本文主要有兩方面的內(nèi)容，一是介紹了三種常用的判定充分條件和必要條件的方法；二是給出了充分必要條件的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：充分條件 必要條件 集合思想 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

充分必要條件作為考綱中的必考內(nèi)容，它的要求是“理解必要條件、充分條件與充要條件的意義”。雖然，在近幾年的高考課標(biāo)卷中，幾乎都沒有進(jìn)行直接考察，但是它可以和許多知識(shí)點(diǎn)綜合，仍是高考命題的活躍點(diǎn)。所以，我們?cè)趯W(xué)習(xí)充分必要條件的過程中，首先要明確如何判定充分條件和必要條件，然后才能應(yīng)用充要條件解決相關(guān)的綜合問題。[1]

一、幾種常用的判定方法

1.定義法

定義法就是直接利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判定，這是最基本、最常用的方法，利用“是的什么條件”關(guān)鍵就是根據(jù)相關(guān)知識(shí)分析與之間的推出關(guān)系。[2]

（1）如果p?q，則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；

（2）如果p?q，但qp，則p是q的充分不必要條件；

（3）如果p?q，且q?p，則p是q的充要條件；

（4）如果q?p，且pq，則p是q的必要不充分條件；

（5）如果pq，且qp，則p是q的既不充分也不必要條件。

例①已知：，：，則是的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：若，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，必有，所以由可以推出；若，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，或，所以由不能推出。由此可知是充分不必要條件，故選（A）。

2.等價(jià)法（逆否法）

當(dāng)所給的命題條件和結(jié)論之間的關(guān)系不好判斷時(shí)，常利用互為逆否的命題同真假來進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，從而判斷條件類型。即 “原命題逆否命題”，“否命題逆命題”進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，一些否定形式的命題常用這種方法。

（1），等價(jià)于，即p是q的充分條件。

（2）p q，等價(jià)于﹁q﹁p，即p是q的既不充分條件。

例②已知：不是偶數(shù)，：，不都是偶數(shù)，則是的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：因?yàn)椤叭簦瑒t（若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)）”為真命題，所以由可以推出；因?yàn)椤叭簦瑒t（若是偶數(shù)，則，都是偶數(shù)）”為假命題，所以由不能推出。由此可知是充分不必要條件，故選（A）。

3.集合法

從集合的觀點(diǎn)看，建立命題，相應(yīng)的集合：：，：，則有

（1）若，則是的充分條件，若 ，則是的充分不必要條件；

（2）若，則是的必要條件，若 ，則是的必要不充分條件；

（3）若，則是的充要條件；

（4）若且，則既不是的充分條件，也不是的必要條件；

因此，判斷是的什么條件，也可以從集合的角度借助數(shù)軸來考慮。

例③設(shè)集合，，則“”是“”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：由題意，結(jié)合數(shù)軸易得，所以若“”不一定推出“”；若“”，則“”。所以“”是“”的必要不充分條件，故選（B）。

在判斷充分條件和必要條件時(shí)，靈活運(yùn)用上述三種方法，必會(huì)事半功倍。[3]

二、與充分必要條件結(jié)合的綜合問題---求參數(shù)取值范圍

根據(jù)充要條件求參數(shù)范圍，一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合直接的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的包含、相等關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解；有時(shí)也采用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想把復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題來解決。最后，在解題的過程中，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，此處容易增解或漏解。

1.利用集合思想求解

例④已知P={x|x2-8x-20≤0}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}。若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍。

解析：由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10，

∴P={x|-2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.

則

∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0，3]。

2.利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想求解

例⑤已知條件p：x2+2x-3>0；條件q：x>a，且﹁q的一個(gè)充分不必要條件是﹁p，則a的取值范圍是（ ）

A.[1，+∞） B.（-∞，1]

C.[-1，+∞） D.（-∞，-3]

解析：由x2+2x-3>0，得x<-3或x>1，由﹁q的一個(gè)充分不必要條件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件。

∴{x|x>a} {x|x<-3或x>1}，

∴a≥1. 選A。

最后，我們都知道，任何知識(shí)的學(xué)習(xí)都不是獨(dú)立的，充要條件也是如此，并且它的靈活性和綜合性都很強(qiáng)，我們需要做的是理解它的意義，明確它的判定，并熟練掌握其他知識(shí)，最終達(dá)到應(yīng)用它來求解一些簡單的綜合問題，這樣在面臨高考中關(guān)于充要條件的考查，我們才能以不變應(yīng)萬變，笑對(duì)高考。

參考文獻(xiàn)

[1]嚴(yán)士健，王尚志.數(shù)學(xué)（選修2-3）教師教學(xué)用書[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]石立坤，劉際山.鼎尖教案-數(shù)學(xué)北師大選修2-1[M].吉林：延邊教育出版社，2016：14-38.

[3]曲一線，王全銀。5年高考3年模擬[M].北京：教育科學(xué)出版社，2012：5-8.