對數學概念教學的思考與應用

吳銀串

一、基本情況

1.教材內容及地位

本節課是北師大版（必修一）第二章函數第三節，主要學習函數單調性的概念，依據函數圖象判斷函數的單調性和應用定義證明函數的單調性。

函數的單調性是在學習函數概念的基礎上進行學習的，同時又為函數眾多性質中的重要性質之一，是今后研究具體函數的單調性理論基礎，在解決函數值域、定義域、不等式、比較兩數大小等具體問題中均有著廣泛的應用，所以它在教材中起著承前啟后的重要作用。其中利用函數圖象來研究函數性質的數形結合思想將貫穿于整個高中數學教學。

2.學情分析

（1）知識、思維基礎：學生已在初中學過一次函數、反比例函數、二次函數等初等函數；高一學生具備一定的分析抽象的能力，對函數單調性已經有了初步的直觀感知，能根據函數的圖象得出定性描述。

（2）存在困難：從自然語言、圖形語言到符號語言的轉化，用函數形式定義的定量分析描述學生已有的定性分析。

3.教學目標

（1）理解函數單調性的概念，會判斷和證明一些簡單函數單調性的方法。

（2）培養從概念出發，進一步研究其性質的意識及能力；體會數形結合、分類討論的數學思想。

（3）突出學生的主觀能動性，激發學生學習數學的興趣。

4.教學重點、難點

重點： 函數單調性的概念，判斷和證明簡單函數單調性。

難點： 函數單調性概念中自然語言到符號語言的轉化、常量到變量轉化的認知。

二、教學過程

1.情境引入

（1）心電圖可以看出隨著時間心臟產生電活動量的變化情況，幫助醫生診斷心律是否失常，人工心臟起博狀況等。

（2）股票中的K線圖，可以分析一段時間內股價變動情況，找出未來股價變動的趨勢。

2.自主探究

問題1：對與兩個函數圖像從圖形變化趨勢、初中自然語言兩方面進行描述？

問題2：以上兩種描述為定性描述，如何將上面的描述轉化為數學語言表達呢？

學生探究：y隨x增大而增大中“隨”說明什么？增大什么意思，怎么說明？

教師總結：y的變化依賴于x的變化；增大含有某基礎上，比較與對比之意。

師生探究：（1）x某基礎上增加，y也在某基礎上相對應的增加；用字母代替，變量表示。

（2）y增加可用數之間大小來說明，進行作差。

任意∈（0，+∞）且，則<0，所以f

（）-f（）==（）（）<0。即f（）

（3）和學生討論總結取值的任意性。單調性為定義域的某個區間上的整體性質，不能用特殊值說明問題。

3.一般化抽象出單調性概念

（1）區間上

在函數的定義域內的一個區間A上，如果對于任意兩數，當時，都有，那么就稱函數在區間A上是增加的，有時也稱在區間A上是遞增的.

問題3：① 能否類比得出減少的概念？②解決引入的問題，對，兩個函數單調性進行描述？

（2）單調區間

如果 在區間A上是增加的或減少的，那么稱A為單調區間。

問題4 ：完成課本36頁思考交流，并找出單調區間？

教師說明：各區間用逗號隔開，或用“和”連接；“（”“[”說單調區間時沒有嚴格要求。

（3） 增減函數 如果 在整個定義域內是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數為增函數或減函數，統稱為單調函數。比如。

4.應用舉例

問題5：例1 說出函數的單調區間，并指明在該區間上單調性。

問題6：例2 畫出的圖像，判斷它的單調性，并加以證明。

師生總結：用定義法證明函數單調性的五步，取值、作差、變形、定號、下結論。

5.回顧小結

問題7：大家試著進行知識小結？（學生回答基礎上總結）

（1）知識：函數區間上單調性概念；單調區間；增減函數。判斷和證明一些簡單函數單調性的方法。（2）思想方法：數形結合思想；分類討論思想。

三、教學反思

數學概念教學是數學教學的重中之重。有效的數學概念教學，絕不能以讓學生學會概念為終極目標，而應讓學生參與概念的形成、發展、鞏固、應用和拓展的過程，把握概念的本質特征，體會隱含在概念中的思想方法，從而完善自身的認知結構，在知識、能力、素養方面獲得全面的發展。

1.成功之處

筆者在教學設計中基于學生現有認知水平，著力落實概念教學的方法、思想，教學中注意體現基本概念的來龍去脈，力圖做好以下幾個方面的工作：

（1）設置問題，自主探究新課程的一個鮮明特點是以學生的發展為主，倡導學生通過參與、自主探索、研究，發現知識，獲得知識，重在對學生潛能的開發及創新意識和實踐能力的培養。

在本節教學設計中通過問題1-3讓學生自己嘗試解決問題，促使學生對數學思想方法的理解，提高學生對數學知識的產生、發展、演變的探究興趣。

（2）自主構建，獲取概念

數學概念的學習包括概念的獲得、應用，建立概念體系三個階段。

在本節教學設計中從學生的已有知識和經驗出發，化解教學難點，和學生共同探討形成概念，使概念教學回歸本源，進而通過問題4、問題5、問題6進行概念理解與應用。

（3）通過知識小結，實現概念理解的螺旋式上升

一個概念的形成是螺旋式上升的，要經過具體到抽象、感性到理性的過程。在本節教學設計中問題 7讓學生自主完成課堂小結，有利于學生對概念的進一步認識、理解。讓筆者欣喜的是可能由于以往數學課堂活動經驗積累，學生在總結時不僅對知識進行了小結，還從思想方法方面進行了總結。

2.不足之處

合理的課堂節奏才能使學生思維張弛有度，從而更有效的實現教學目標。實際授課過程中，出現了后半節課時間緊張的情況，這說明筆者對學生認知的提前預設還不到位，以后筆者在這個方面還應更加努力。