一次質疑背后隱藏的運算順序設計原理

黃勛強

[摘 要]運算順序一直是運算教學的難點。教師在教學“乘法和加、減法的兩步混合運算”時，通過用算式記錄數數過程、用示意圖詮釋算式、用故事豐盈算式等方式，徹底擺正加法和乘法的運算地位。

[關鍵詞]乘法；加減法；算式記錄；星陣圖；數數

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）14-0029-02

一位教師在教學“乘法和加、減法的兩步混合運算” （北師大版教材四年級）時，先提出情境圖中（列式為：和）的兩個問題，在分析題設條件后，讓學生揣摩計算步驟并闡明理由，最后，在學生匯報展示后做出先算乘法后算加減的小結。顯然，這種小結有強制灌輸之嫌，因為這個規律顯然違反了一貫的從左至右的運算順序，所以學生難以接受。因此，只有通過一系列數學活動來闡釋和揭露其中的道理，方能讓學生信服。

環節一：用算式記錄數數過程——讓順序占理

【活動1】數星星

師（出示“星陣”圖1：18顆星點（如圖1））：想數清圖中共有多少星點，如何操作才比較方便？

生：2個2個地數；3個3個地數；5個5個地數……

師：誰來演示5個5個地數？

（生1演示如圖2）

師：生1數了幾次？

生2：數了3次，剩下3個。

生3：也可以數4次，只不過最后一次不夠數，只能數出3個。

生4：最后一次缺2個。（如圖3）

（設計意圖：數星點是低年級學生喜聞樂見的游戲活動，選擇的兩種數法體現了兩種情況：剛好數完與有剩余。前者是與整除平分不謀而合，后者則會讓學生產生認知障礙。學生經過探究辨析后求同存異：“5個一起數，點算3次，余3個”，即“有余”（如圖2）；“數4次，缺2個”，即“不足”（如圖3）。這兩種思路，都與乘加、乘減相關，不管是“剩余”，還是“欠缺”，數的過程都是先求出5的倍數（乘法），再加減零頭。）

【活動2】列式

師：你可以用簡潔的算式表示2個2個地數嗎？

生：2×9、9×2、2+2+2+2+2+2+2+2+2。

師：用同樣的方式表達5個5個地數的方法。

生1：5×3=15，15+3=18。

生2：5+5+5+3。

生3：5×3+3。

生4：5×4-2。

師：上列算式都能呈現數星點的過程嗎？5×3+3這個算式夾雜著乘法和加法，計算順序是怎樣的？為什么？

生5：先算5×3，代表3次數了5個，再加上剩下的3個。

師：由此看來，計算順序忠實地服從了我們的操作過程。請讀出式子，要強調先算5×3的信息。

生6：5乘以3，然后加上3；5乘以3的積加3。

（設計意圖：算式是對數星點的一種符號記載，2個2個地數的算式是溫故乘法的意義；5個5個地數的算式是新知。從數星點到列式，是抽象到具象的過程，而數星點的程序暗含了計算次序的編排，讓學生聯系點算過程和列式形式，再研究“乘加混雜，先算什么”，就是用數星點的操作活動來推動學生思考運算順序，順理成章。）

環節二：用示意圖詮釋算式——讓“順序”說理

【活動3】找圖形

師（展示“星陣”圖4：23顆星點（如圖4））：能學著剛才的樣子來列式表達嗎？（展不同數法示意圖（如圖5、圖6、圖7、圖8），學生寫式子）

師：對于算式“5×4+3”，你能看透式子背后蘊含的數法嗎？

生1：這個算式對應的是圖6，明顯看出是4個4個地數，數了5份，多出3個。

生2：這個算式也可能對應的是圖7，明顯看出是5個5個地數，數了4份，多出3個。

師： 6×4-1呢？

生3：可能是圖6。可以這樣看，4個4個地數，差1個就夠6份。也可能是圖8，6個6個地數，差1個就湊夠4份。

師：假如這兩個算式是出于同一幅示意圖呢？

生4：那就是圖6。

師：請大家推斷其余算式分別代表哪種數法，然后與同學交流。

（設計意圖：星陣圖選擇23這個數據，是因為23是質數，沒有因數，迫使學生列出的算式必須帶有“零頭”，也就是必須包含加減法。反饋時，沒有評講，而是逆向追溯，這樣既能增加練習的新鮮度，又通過正反雙向貫通，讓學生思路更清晰。）

環節三：用故事豐盈算式——讓“順序”合理

【活動4】講故事

師（課件展示：“星陣圖”里的星星擴大變化成氣球）：現在星星變成了氣球，你能現編一個故事嗎？

生1：為了慶祝國慶節，同學們扎氣球為祖國獻禮，每5個扎一束，扎了4束，還多3個，共有幾個氣球？

師：如何列式？

生2：5×4+3，5×5-2。

師：運算順序是怎樣的？理由是什么？

生3：先算5×4，代表能夠扎4束，再算上剩下不夠扎一束的3個，就是氣球總數。

師：這些星星還能變成什么？用你豐富的想象力來編故事。

師（展示氣球圖）：有個學生根據氣球畫面列式為23-5×4，背后有什么故事呢？

生4：為了慶祝國慶節，少先隊準備了23個氣球，打算扎成“團結”的圖案，每5個扎一束，扎了4束后，還剩下幾個氣球？

師：運算順序是什么？說明你的理由。

生5：先算5×4，代表扎圖案用掉氣球的個數，再從總數23里面抵扣，就是剩余氣球的個數。

（設計意圖：星星只是一個計數代碼，具有抽象性，可以被任何實物取代。本環節充分調動學生的想象力，讓學生賦予星星各種變化，既增強了學習樂趣，又凸顯運算的算理。在這些童話般的變化中，學生逐漸感悟到其中的辯證關系：算式不變，算理不變，計算順序不變。）

設計算式“23-5×4”是為了追求變式，以此來發散學生的思維，因為前面“乘在前，加（減）在后”的范式，會對學生造成誤導，學生很容易想當然——乘和加、減混合運算的順序就是“從左往右”，教師只有及時補充特例，才有利于學生形成全面且正確的認知。

教學活動的素材選用的一直是“星陣圖”，主要是考慮到低齡學生注意力難以集中，花哨鮮艷的素材，會暫時引起學生濃烈的興趣，但也會喧賓奪主，掩蓋和削弱知識本身的吸引力。“星陣圖”雖然略顯單薄，但在賦予它各種變化后，也能吸引學生去關注數學知識本身。

綜上，四次活動一以貫之，逐級遞進，自始至終沿著著“圖形→表述→算式”的邏輯鋪開，既有順向明證，又有逆向反證。這樣，學生就能牢牢掌握“混合運算順序”的理論基礎。

（責編 金 鈴）