分數的意義教學疑難問題“診治”

谷文燕

[摘 要]與整數和小數不同，分數的意義內涵十分豐富，有著多種定義，既可以表示比值和除法的商值，又可以表示部分與整體的占比情況。教學分數的意義時，如果所提問題收得太緊，將不利于學生融會貫通地理解分數的本質，而如果放得太開，又會使學生理解定義時產生負遷移。

[關鍵詞]分數的意義；病例；診治

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）14-0031-02

“分數的意義”一課通過分鴨梨的活動，讓學生認識分子、分母的不同含義，進一步理解抽象意義上的分數。 對于本節的教學，有許多經典課例：有的以剖析單位“1”為主線進行教學；有的在學生充分自學的基礎上，以民主辯論的形式開展教學；有的以分數單位的辨析來構建分數的意義……筆者在研究這些經典教法的基礎上，博采眾長，同時對本課存在的疑難問題進行了“診治”。

一、“望”：病例觀察

以下是某位教師教學蘇教版教材三年級下冊“認識一個整體的幾分之一”的片段。

教師提問：“光頭強準備了一箱鴨梨，平均分給熊大 和熊二，每只熊各分到這箱鴨梨的幾分之幾？”

學生回答道：“每只熊能分得這箱鴨梨的二分之一。”

教師再次提問：“光頭強會在包裝箱里放多少個鴨梨？請大家拿出‘包裝箱（磁性小黑板）和‘鴨梨（磁性黃色剪紙），我們來幫可愛的熊熊公平分配。”（教師指名選擇2個鴨梨、4個鴨梨和6個鴨梨的學生上臺貼圖演示，并匯報交流）

此時，有個學生說道：“老師，包裝箱里只放3個鴨梨，行嗎？”“是啊，”其他學生也附和道，“包裝箱里的鴨梨數可以是5、7、9……嗎？”

教師反問道：“如果是這樣，能平分嗎？”（學生發現無法實現平分）教師提示：“其實，無論多少個鴨梨，都能平均分成2份，每份都是總量的1/2。”……

在課堂尾聲，教師用課件顯示一條有10個間距的線段（如圖1），提問：“你能找出1/2嗎？”

學生一開始得出這樣的結果（如圖2）。

教師繼續啟發：“還有其他的分法嗎？”在教師的啟發下，學生得出其他形式的1/2（如圖3）。

最后，有位學生這樣表示1/2（如圖4）。

教師追問：“能說一下你的思路嗎？”

學生回答道：“這個點是線段的中點，它到線段兩端點的距離為總長度的一半。”教師借機在他的圖上添加括號，擦除中間的“1/2”，新添兩個“1/2”（如圖5）。

教師總結：“事實上，這位同學的做法是合并了剛才兩張圖。”

二、“問”：病歷記錄

課后，筆者采訪執教者：“預設時，你有沒有預料到學生會想到奇數分不開的情況？”對方斬釘截鐵地回答：“想到了，但反饋時可以避開突發提問，只談偶數的情況。”“那如果鴨梨數真是一個奇數，您覺得可以對半分嗎？”筆者接著問。“這個……教材里沒有這樣的預設。”此時，執教者有點后悔：“放開了搞不好就會關不上閘。”……之后，筆者采訪一些學生：“你們能把3個鴨梨平分成兩份嗎？”有學生這樣說道：“先每人分1個，再把余下的1個切成兩等份，一人一半，合起來每人分到手一個半鴨梨。”……最后，筆者提問那個找出中點表示1/2的學生。“老師的解釋你能懂嗎？”這位學生一會兒搖頭，一會兒點頭，也說不清楚……

三、“切”：病理診治

上述試課是蘇教版教材三年級下冊“認識一個整體的幾分之一”的新授課，可以說是由“平分個體”到“平分整體”的過渡，從分數的“數量比”過渡到“份數比”，是認知形態的升級，也是分數教學中的難點。

在蘇教版教材中，“認識一個物體的幾分之一”，從分物體的情境圖（圖6）中導入，其中蛋糕的分配結果是“1/2個”，再將具體數量對比換算成“1/2”，其中“1/2”成了指代局部與整體之間比例關系的一個數。

由此開始，教材專門研究表示比例關系的分數，久而久之，學生一看到分數就會下意識地想到“什么（占）什么的比例”，如試教課例的尾聲，教師提問：“你能找出1/2嗎？”本意是“能標出線段的1/2嗎？”只是忽略了單位“1”。教師初衷是讓學生用多種方法表示整條線段的1/2，屬于沒有固定答案的開放性問題。事實表明，學生可以找出不同的1/2。值得一提的是，有一位學生用中點表示1/2，別出心裁，這尚屬直覺，他想要表達的仍是“此處將線段一分為二，每一份是這條線段的1/2”，這也是教師需要借題發揮的地方。如果他想表達的是“唯有這個點才能分出1/2條線段，所以用1/2標識”，那么教師恰好借題發揮，對素材做一些改裝：變線段為數軸（如圖7），只出現正半軸，以此為載體，實現分數的“比例”含義向“商值”含義的過渡。

在此意義上，正是“你能找到1/2嗎？”這句不夠嚴密的話語提供了開放性，釋放了自由思考空間，教師因勢利導，就可以擴充分數的內涵。教學“認識一個整體的幾分之一”時，雖然只需要提取總份數和取得的份數，然而學生很難排除具體量的干擾，總念著每份數。于是，學生才會拿奇數情況來“刁難”老師。

對這個問題，執教者之所以無言以對，是因為無法“平均分”是教師的一廂情愿，然而學生自有“高招”——“先每人1個，然后切分余下1個”。當然，教師也可以引導學生這樣平分：把所有鴨梨都分成兩半，得到6個半塊，再來分配“6個半塊”這個整體，剛好平分成2份，每份3個半塊，合起來就是1個半鴨梨。由此可見，3個鴨梨也可以平分成2份。

如果說“3”這個數據特殊，容易分成2份，容易想到“先分整個鴨梨，再切分單個”的方法，也能理解“先切分全部再平分”的方法，那么對“把3個鴨梨平分成4、5份，每份是多少？”的問題，學生就犯難了。當然，學生也有可能受到啟發，想到“先把每個鴨梨切分成若干份，再分配”。可是這樣做很麻煩，教師和教材都刻意回避了這一問題。

上述課例，教師的提問“光頭強會在包裝箱里放多少個鴨梨？”從課后訪談來看，教師提出這個開放性問題前，雖然預料到了各種突發狀況，也預留了后手——“反饋時只選偶數情況”，這種選擇性理答，是一種“假開放”，所以教師事后后悔不迭——“放開了搞不好就會關不上閘”。其實，這樣的“開放”很寶貴，既順從了學生的第一反應，又展露了學生的初始狀態，只要教師尊重學生、相信學生，就可以找開開放性問題的閘門，豐富分數的內涵，所以教師完全不必為收不攏而拒絕“開放”。

（責編 黃春香）