在度量中感悟本質

談有恒 張宏偉

[摘 要]通過對比三角形旋轉前后每條邊、每個點，以及整個圖形運動前后、運動過程中數與形的變和不變，使學生認識到旋轉的本質，能運用所學的旋轉知識解決生活中的實際問題，發現并欣賞數學的旋轉之美。

[關鍵詞]度量；本質；圖形；旋轉；全景式數學教育

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2018）15-0010-02

課前思考：

“圖形的旋轉”屬于“圖形與幾何”領域中“圖形的運動”的相關內容，《數學課程標準》（2011版）對該內容在義務教育階段的不同學段有不同的要求。同時，小學數學教材對“圖形的旋轉”的內容具體編排如下：一是在二年級下冊安排學生初步感知生活中的旋轉現象；二是在五年級下冊安排學生從具體到抽象進一步認識圖形的旋轉，掌握在方格紙上畫出簡單圖形旋轉90°的方法，能運用旋轉在方格紙上設計出簡單的圖案，懂得從旋轉的角度欣賞生活中的圖案，進一步增強學生的空間觀念。通過分析可以發現，教材這樣編排，使兩個學段的教學目標呈螺旋上升態勢：第一個學段側重直觀感知生活中的旋轉現象；第二個學段對學習旋轉的要求略有提高，主要探索旋轉的特征和性質。

教學目標：

1.通過不同的旋轉現象，認識旋轉的三要素，即旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。

2.利用教具探索旋轉的特征和性質，理解旋轉的本質，掌握在方格紙上畫出簡單圖形旋轉90°的方法。

3.欣賞圖形的美，體驗數學的應用價值。

教學過程：

一、不同旋轉對象的對比

師：二年級時我們已經學過旋轉的知識了，現在請你說一說在生活中看到的旋轉現象。（生自由說后，師出示不同的動態旋轉現象，如下圖）

【評析：教師選取生活中的典型例子，幫助學生建立正確的認知表象，使學生直觀感知什么是旋轉，為后續探究旋轉的本質打下了堅實的基礎。】

師：閉上眼睛想一想這些物體的旋轉狀態，并思考這些不同的旋轉現象背后有哪些共同的特點。（生先獨立思考再組內進行交流，最后總結出小組意見）

【評析：教師這樣提問，促使學生去想象、去思考如何去物留形，進行第一級抽象，培養學生的空間想象力。】

生1：圖中的旋轉現象都是按一定的方向旋轉的。

生2：都是繞著軸或點進行旋轉。

師：這點或軸叫作旋轉中心。

生3：有的旋轉了一周，有的旋轉了一部分。

師：也就是說，旋轉了一定的角度。

【評析：教師讓學生觀察足夠豐富的旋轉現象，思考、總結出所有不同旋轉最顯性的本質特征（三要素），這個“異”象中察其“同”的環節是研究旋轉現象中不可忽視的第一步——非量化的、浪漫的、整體性的思考和分析。】

二、旋轉前后的對比

1.整體認識

師出示磁性教具（方格紙和三角形，如下圖），演示將方格紙上的三角形順時針旋轉90度。

師：這是旋轉嗎？為什么？（引導學生用剛剛學習的旋轉三要素進行判斷和描述）

【評析：學后即用，引導學生從生活化、個人表達上升到數學化的規范描述，這是培養學生數學表達能力的重要途徑。】

2.探索旋轉背后的本質

（1）每人利用手中的學習單，通過觀察、測量等方法，比較旋轉前后整個三角形以及它的每條邊、每個點什么發生改變，什么保持不變，并把自己的發現簡要地記一記。（準備研究工具：量角器、直尺）

（2）小組交流討論。

（3）小組代表呈現旋轉的模型，上臺反饋小組的發現。

生4：位置（指方向）變了。

生5：大小、形狀沒變。

生6：圖形每條邊的長度保持不變。

生7：圖中各個點之間的位置關系保持不變。

生8：圖中每條邊、每個點旋轉的方向和角度都是一樣的……

（師適時表揚學生能分別從數量和空間的角度“看”旋轉，而且學生在這里還出現了“旋轉90度”的說法）

【評析：這個環節的主要目的是通過旋轉前后，比較整體與部分間的形狀、相對位置、大小的變和不變，進一步深化學生對旋轉本質的認識。】

3.深度理解，學為所用

師：畫兩條線段，研究步驟如下。

（1）討論線段OA、OB的旋轉度數，觀察起點線（參照線）。旋轉后，A點在哪個格上？為什么？

（生匯報線段OA在旋轉過程中的變化，明確旋轉中心O在線段OA上，然后在方格紙上用黑色記號筆畫出旋轉角的兩條邊，并利用三角板的直角驗證旋轉的角度、距離）

（2）猜測：線段AB是不是也向著這個方向旋轉了90度？為什么？

生9：因為A、B兩個點都順時針旋轉了90度，所以線段AB也順時針旋轉了90度。

生10：在線段AB上任意取一點C，找到旋轉后的位置，這說明線段AB順時針旋轉了90度。（生上臺操作，過程如下圖所示）

師：觀察從C點到中心點的距離和AB兩點間的距離，發現了什么？（生討論交流）

師：每個點距中心點的距離（長度）始終保持不變，每個點和其他點的距離（相對位置）不變。

師：線段AB上的每一個點以及圖形上的每個點是怎么旋轉的？（生討論交流）

師（總結）：按照相同的方向、相同的距離旋轉，且任意兩點間的距離保持不變，才能保證旋轉前后整個圖形的形狀和大小不變。

【評析：這個環節，教師借助自制教具在方格紙上旋轉的直觀方式，選擇最容易觀察、度量、分析的邊的旋轉作為突破口，創造性地引進參照物這個標準——第四要素，讓學生進一步感悟旋轉前后數、形和位置的變與不變，使學生深刻理解了旋轉的本質。此外，這一環節還為學生畫旋轉后的圖形打下基礎，使每個學生學會的不再是生硬的、機械式的操作，而是基于理解知識本質前提下的思維方式。】

三、畫旋轉

師：（出示下圖）畫出方格紙上三角形按逆時針方向旋轉90度后的樣子。

（交流展示作品，并讓學生說說畫的過程及需要注意的問題）

【評析：通過畫旋轉的過程，深化學生對圖形旋轉前后數量與空間形式關系的理解，使學生進一步明晰旋轉的本質。】

四、實用與形式之美

1.觀察演示

師：生活中人們利用圖形的旋轉、平移和對稱，創造出了許多美麗的圖案。（PPT動態演示經過旋轉后得到的圖形，如下圖）

2.利用旋轉解決生活中的實際問題（略）

【評析：這里，教師引導學生先運用數學眼光看待現實世界，再運用所學的旋轉知識解決生活中的實際問題，使學生從中發現并欣賞旋轉之美，進一步體會到數學的價值和美麗。】

五、學習總結

師：我們研究旋轉經歷了幾個主要過程？現在你對旋轉有了哪些和原來不一樣的認識？

……

總評：

本節課，教師依據全景式數學教育主張，準確定位學生研究旋轉的路徑和內容，即從度量的角度研究旋轉現象中的位置關系和變化規律，著力引導學生對旋轉的本質進行精確化認識，使學生體會到旋轉中的變與不變。同時，教師根據“以學為中心”的理念，對教學內容和教學流程進行創新設計，力圖教給學生研究圖形運動的一般性、結構性的方法，使學生真正掌握所學知識，獲得不同的發展。

（責編 杜 華）