一類偏差變元二階脈沖奇異邊值問題正解研究

王鳳英，陳鈴 ，李秀珍

（山東建筑大學 理學院，山東 濟南250101）

0 引言

抽象空間的常微分方程理論是微分方程理論的一個重要分支，其在許多應用領域都有廣泛的應用［1-9］。目前，已有研究者對抽象空間中的微分方程的理論進行研究。劉衍勝、李海燕分析了Banach空間中一類奇異脈沖微分方程邊值問題多個正解的存在性，并且研究了一類奇異泛函微分方程邊值問題的多重正解［10-12］；汪會民等研究了二階非線性脈沖泛函微分方程正解的存在性［13］；景冰清等證明了一類二階脈沖微分方程邊值問題正解的存在唯一性［14］。但是對有偏差變元的脈沖泛函奇異邊值問題的研究較少。因此，文章利用錐壓縮及錐拉伸不動點定理，討論了Banach空間中一類具有偏差變元的奇異脈沖泛函微分方程邊值問題多個正解的存在性，并通過例子驗證其應用的可行性。

1 偏差變元二階脈沖奇異邊值問題描述

令（E，‖·‖）是實巴拿赫（Banach）空間，設J＝［0，1］，0＜t1＜… ＜tm＜1，PC［J，E］＝｛x｜x：J→E，x（t）在 t≠ tk連續，在 t＝tk左連續且右極限存在，k＝1，2，…，m｝，PC1［J，E］＝｛x｜x∈PC［J，E］并且x′∈PC［（0，1），E］｝，J0＝［0，t1］，Jk＝（tk，tk＋1］，k＝1，…，m，tm＋1＝1。可知PC［J，E］關于范數 ‖x‖PC＝為一 Banach空間。

令E中的一個錐為P，引入偏序關系“≤”，當且僅當y-x∈P時有x≤y，類似地，在PC［J，E］中引入偏序關系，當且僅當 ?t∈ J，x（t）≤ y（t）時有 x，y∈ PC［J，E］，x≤ y。

研究一類具有偏差變元的二階脈沖奇異邊值問題正解的存在性，其由式（1）［10-11］表示為

式中：f（t，x）有可能在 t＝0及 t＝1處有奇異性；a∈ C［J，R＋］并在（0，1）上 a（t）＞0；R＋＝［0，＋∞）；f∈ C［（0，1）×P，P］；Ik∈ C［P，P］，k＝1，2，…，m；θ是 E的零元。

式（1）的解x指x∈PC［J，E］，ax′∈PC1［（0，1），E］且x滿足式（1），正解指非負并且不是平凡解，也就是 x∈ PC［J，P］并且 x（t）不恒等于 θ，t∈ J。

2 偏差變元二階脈沖奇異邊值問題正解的存在性

2.1 預備知識

令 x（t）：（0，1］→E是連續的，若存在，就稱積分收斂。同樣可定義其它廣義積分的斂散性。

設 Tr＝｛x∈E：‖x‖≤r｝，Br＝｛x∈PC［J，E］：‖x‖PC≤r｝（r＞0），D?PC［J，E］，D（t）＝｛x（t）：x∈ D｝? E，t∈ J，α是 Kuratowskii非緊性測度［1-3］。

引理（a） 令D?PC［J，E］有界并且在每一個集合 Jk（k＝0，1，…，m）上等度連續，則有 α（D）＝

引理（b） 令 P是 E中的一個錐，Pr，s＝｛x∈ P：r≤ ‖x‖ ≤ s｝并且 s＞r＞0。令A：Pr，s→ P是嚴格集壓縮算子且滿足下列2點之一，

（1）若x∈P，‖x‖ ＝r有Ax≤／x并且若x∈P，‖x‖ ＝s有Ax≥／x；

（2）若x∈P，‖x‖ ＝r有Ax≥／x并且若x∈P，‖x‖ ＝s有Ax≤／x；

則A在錐P中存在一個不動點x滿足r＜‖x‖ ＜s［15］。

2.2 基本假設

（H1）‖f（t，φ（t））‖ ≤ g（t）‖h（φ（t））‖，t∈ （0，1），φ（t）∈ P；其中，g：（0，1）→ （0，∞）是連續的，h：P→P連續有界并且單調遞增且 φ（0）＝0，φ（1）＝1。

（H2）對于（H1）中的 h（x）有

式中：N是P的正規常數，P為正規錐

（H′2）把（H2）中的‖x‖→＋∞換為‖x‖→0，其余不變。

（H″2）有 d ＞0使其中如同（H1）所述。

（H3）?R＞0和［a，b］? （0，1），f在［a，b］×TR上一致連續。

（H4）有常數L≥0，Lk≥0使得?t∈（0，1）及有界集D?P都有 α（f（t，D））≤Lα（D），α（Ik（D））≤Lkα（D），k＝1，2，…，m；且

（H）有（P*是錐P的對偶錐）滿足：x＞θ時＞0，且存在a*、b*使得t＜a*＜b*＜1，

5m對于t∈J*＝［a*，b*］一致成立其中

（H′5）把（H5）中的‖x‖→0換為‖x‖→＋∞，其余不變。

2.3 引理及證明

2.3.1 引理1及證明

引理1 當且僅當x是脈沖積分算子，由式（2）表示為

在 PC［J，P］中的不動點時，x∈ PC［J，P］是式（1）的非負解。

證明（略）

2.3.2 引理2及證明

引理2 若（H1）、（H4）成立，則有 ?r＞0，算子 A：PC［J，P］∩ Br→ PC［J，P］是連續有界的。

證明 由（H4）可知，Ik把 P中的有界集映射成有界集。由（H1）可知，A為PC［J，P］∩Br到PC［J，P］的有界算子。

證明 A是 PC［J，P］∩ Br到 PC［J，P］的連續算子。令｛xn｝，｛x｝? PC［J，P］∩ Br，‖xn-x‖PC→0（n→＋∞）要證明‖Axn-Ax‖PC→0（n→＋∞）。

由（H1）可知｛（Axn）（t）｝在 Jk（k＝1，2，…，m）上等度連續，再由勒貝格控制收斂定理知

‖（Axn）（t）-（Ax）（t）‖Ik（x（tk））‖ →0（n→＋∞）。由 Ascoli-Arzela定理得｛Axn｝在 PC［J，P］中相對緊。

證明 ‖Axn-Ax‖PC→0（n→＋∞）。如果不成立，則有 ε0＞0及｛xni｝? ｛xn｝使得 ‖Axni-Ax‖PC≥ε0（i＝1，2，…）。因｛Axn｝相對緊，所以存在｛Axni｝的子列在 PC［J，P］中收斂到某 y∈ PC［J，P］。不妨設也就是則有 y＝Ax，矛盾。所以，A是 PC［J，P］∩ Br到 PC［J，P］的連續算子。

2.3.3 引理3及證明

引理3 若（H1）、（H3）、（H4）成立，則有?R＞0，A是PC［J，P］∩Br到PC［J，P］的嚴格集壓縮算子。

證明 令?R＞0，S?PC［J，P］∩BR，由（H1）得AS是有界集并在Ji上等度連續，由引理（a）得式（3）為

式中：（AS）（t）＝｛（Ax）（t）：x∈ S｝，t∈ J。

用格林函數把式（2）改寫成式（4）為

式中：G（t，s）

設D

由（H1），對 ?x∈ S得式（5）為

式中

由（5）式及（H1）得 D和 Dδ的 Hausdorff距離 dH（Dδ，D）→0（δ→0＋）。所以，得到式（6）為

估計α（Dδ）。由得式（7）為

式中

algorithm,while point collection Obis defined to store the intermediate points of the optimized one.The expressions for sets Oaand Obare

再由（H3）、（H4）和式（1）易證式（8）為

式中：S（I）＝｛x（t）：t∈ J，x∈ S｝

再由式（7）、（8）可知，α（Dδ）≤2LαPC（S）。

設 δ→0＋，結合式（6）得

顯然

由式（3）、（8）得 αPC（AS）

由（H4）和引理（b）可得A是PC［J，P］∩Br到PC［J，P］的嚴格集壓縮算子。

2.4 偏差變元二階脈沖奇異邊值問題正解的存在性定理及證明

2.4.1 定理1及證明

證明 由式（4），設由（H1）和（H5）得0＜c*＜1。從 G（t，s）的構造得式（9）為

設 K＝｛x∈ PC［J，P］：x（t）≥ c*x（s），?t∈J*，s∈ J｝。則 K是 PC［J，E］的一個錐，并且 K? PC［J，P］。對 ?x∈ K，t∈ J*及 ?u∈ J，由式（4）、（9）得式（10）為

故 A（K）? K。

接下來證A在錐K中滿足引理2。

由式（2），結合（H2）有 c′＞c，c′k＞ck滿足式（11）為

并且由r＞0，當x∈P且‖x‖ ＞r時，得式（12）為

這樣，對?x∈P，得式（13）為

式中＝1，2，…，m）。

設＝1＋（1-Nb）-1NG，其中

事實上，如果有，則得式（14）為滿足Ax*≥x*，則有

由 （H1） 和的 取 法 知矛盾，所以式（14）成立。

又由（H5）可知，存在ε＞0，滿足式（15）為

從而存在l＞0，0＜使得當x∈Tr1∩P并且x不恒等于θ時，有式（16）為

因此，根據式（16）可以證明式（17）成立。

如果有 x0∈ K，‖x0‖PC＝r1滿足 Ax0≤ x0，則對 ?t∈ J*及 ?s∈ J有 x0（t）≥ c*x0（s），所以，滿足式（18）為

因為a*＝，b*＝由φ的單調性和上述性質得式（19）為

結合式（16）、（19）可知，當 t∈時

因為 x0（φ（t））在上連續（x（φ（t）））在上也連續，所以能取到最小值。由式（18）和（H5）中對的要求可知由式（15）即得矛盾，所以式（17）成立。從而由式（14）、（17），再結合引理（b）即得定理1的結論。

2.4.2 定理2及證明

定理2 如果（H1）、（H′2）、（H3）、（H4）、（H′5）成立，則式（1）至少有一正解。定理2的證明和定理1的證明類似，略。

2.4.3 定理3及證明

定理 3 如果（H1）、（H″2）、（H3）、（H4）、（H5）、（H′5）成立，則式（1）至少有 2個正解 x1、x2滿足0＜‖x1‖PC＜d＜‖x2‖PC。

證明 構造與定理1的證明中一樣的K，類似地有式（10）成立。

下證（H″2）中的 d由式（20）表示為

如果存在x*∈K，‖x*‖PC＝d使得Ax*≥x*，則有

由（H″2）可知d，矛盾，所以式（20）成立。

由于（H5）、（H′5）成立，和定理1后半部分的證明一樣，有0＜r1＜d＜r2使得對?x∈K，‖x‖PC＝r1，或 ‖x‖PC＝r2時，都有Ax≤／x成立。

連續兩次使用引理（b）可得定理3的結論。

3 算例驗證

無窮微分方程組由式（21）表示為

在有界數列組成的抽象空間l∞中考慮此問題，x＝（xn）∈l∞，設‖x‖ ＝sup｜xn｜，則l∞為Banach空間。取P＝｛（xn）：xn≥0，n＝1，2，…｝，則有P是l∞的正規錐，并且正規常數是1。將此問題看成形如式（1）的問題，可取也就是只有一個脈沖點t1＝13，I1（x）＝（Iln（x）），Iln（x）＝45xn＋1ne13ln（1＋x2n＋2）。

驗證此函數滿足（H1）～（H5）。

取可看出（H1）滿足。

因為，所以（H2）也滿足。另外顯然（H3）成立。

由對角線法則抽取子列的方法得（H4）中的，即（H4）成立。

驗證（H5）滿足。令 x∈ P，取∈P*滿足

則當x＞θ時＞0。

取得到

對 t∈ ［a*，b*］一致成立，即（H5）是滿足的。

綜上可知（H1）～（H5）是成立的，由定理1可知式（21）至少存在一個正解。

4 結語

具有偏差變元的脈沖奇異邊值問題是抽象空間常微分方程中一個既有深刻理論意義又有廣泛應用價值的研究方向。針對帶有偏差變元的抽象微分方程的研究比較少見，因此文章研究的問題有一定的研究價值并且帶有挑戰性，明確給出了所研究方程多個正解存在的充分條件，具有一定的參考價值。但是文章僅僅給出了一類具有偏差變元的二階脈沖奇異邊值問題正解存在性的充分條件，對于一般的具有偏差變元的n階脈沖奇異邊值問題正解存在性研究將是今后一個重要的研究方向。

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