非隨機(jī)過(guò)程的地震激勵(lì)下埋地壓力管道的非概率可靠性分析*

張 鵬，王藝環(huán)，秦國(guó)晉

(1.西南石油大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，四川 成都 610500；2. 西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都 610500)

0 引言

21世紀(jì)是地震頻發(fā)的年代，長(zhǎng)輸埋地管道作為重要的生命線工程，在地震發(fā)生時(shí)的破壞，會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失，甚至引發(fā)一系列次生災(zāi)害。管道作為1種結(jié)構(gòu)形式，在進(jìn)行抗震分析時(shí)，首要考慮的就是適當(dāng)?shù)牡卣饎?dòng)模型以及輸入方式。相關(guān)研究表明，不同地震動(dòng)模型會(huì)使得結(jié)構(gòu)的反應(yīng)變化呈現(xiàn)明顯差異。隨機(jī)振動(dòng)是1門用概率與統(tǒng)計(jì)方法來(lái)研究受隨機(jī)載荷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)、識(shí)別及可靠性的技術(shù)學(xué)科[1]，經(jīng)典的隨機(jī)振動(dòng)理論是1種基于數(shù)學(xué)分析的體系，但在工程分析中無(wú)論是線性或非線性的結(jié)構(gòu)都難以得出解析解，且計(jì)算工作量巨大[2]。在很多實(shí)際工程問題中獲得樣本需要巨額成本或者根本不可能獲得足夠樣本信息。因此，以概率模型為基礎(chǔ)的概率可靠性分析，通常需引入一些專家概率分布的假設(shè);但對(duì)于傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)而言，概率分布相對(duì)于真實(shí)值只有微小的偏差都可能導(dǎo)致很大的分析誤差[3]。針對(duì)地震信息記錄客觀因素限制所導(dǎo)致的地震實(shí)際激勵(lì)信息樣本十分有限，劉寧宇[4]建立了基于非概率凸模型過(guò)程理論描述傳統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程的非隨機(jī)振動(dòng)分析方法，解決了樣本信息缺乏的不確定振動(dòng)分析。

傳統(tǒng)的可靠性分析是基于大數(shù)據(jù)支持下的概率分析，但實(shí)際工程中基于專家經(jīng)驗(yàn)的函數(shù)分布建立，帶有較強(qiáng)的主觀性；設(shè)計(jì)階段的可靠度分析，結(jié)構(gòu)參數(shù)也只能假定其分布規(guī)律；而復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分析不能以1個(gè)數(shù)學(xué)分布函數(shù)來(lái)描述。為了解決工程上的小樣本、貧信息以及設(shè)計(jì)階段參數(shù)問題，上世紀(jì)90年代初，Ben-Haim和Elishakoff將非概率凸模型理論引入到不確定分析中，并首次提出了非概率可靠性方法[5-7]；歐進(jìn)萍等[8-10]則提出了模糊隨機(jī)振動(dòng)理論并用于地震荷載作用下具有模糊信息結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力可靠性分析。與模糊數(shù)學(xué)對(duì)不確定樣本信息模糊化思想相似，非概率的集合理論凸方法僅需知道任意時(shí)刻的樣本邊界信息而非精確概率分布函數(shù)，因此在處理非精確概率分布的隨機(jī)變量問題時(shí)表現(xiàn)出一定優(yōu)越性，而一維的凸模型為區(qū)間模型。Zhan等[11]基于多橢球凸模型描述了不確定但有界的變量，提出了1種用于安全邊緣量化的非概率可靠性指標(biāo)的數(shù)學(xué)定義;Guo等[12]對(duì)比了參數(shù)不確定但有界結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的非概率可靠性方法和基于可靠性的設(shè)計(jì);在對(duì)壓力管道進(jìn)行可靠性分析時(shí)，邵世飛等[13]為了彌補(bǔ)管道數(shù)據(jù)的不確定信息，運(yùn)用非概率可靠性方法評(píng)價(jià)了壓力管道的非概率指標(biāo)。

綜上，凸模型理論為僅有小樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際工程中關(guān)于隨機(jī)振動(dòng)分析以及可靠性設(shè)計(jì)提供了新的研究思路，并成為隨機(jī)過(guò)程和概率可靠性理論的補(bǔ)充。

1 非隨機(jī)過(guò)程

1.1 非隨機(jī)過(guò)程定義

傳統(tǒng)的隨機(jī)過(guò)程是指定義于1個(gè)參數(shù)集的每一點(diǎn)處都有相對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量，其數(shù)值的大小是隨著時(shí)間不斷變化的。事物變化的全過(guò)程進(jìn)行1次觀測(cè)得到的結(jié)果是1個(gè)時(shí)間t的函數(shù)[14]。非概率凸模型過(guò)程描述不確定性激勵(lì)，而非隨機(jī)過(guò)程利用凸模型過(guò)程描述。

凸模型過(guò)程定義為：

任意時(shí)刻ti∈T，i=1，2，…，n。

X(ti)=[XL，XR]，且(X(t1)，X(t2)，…X(ti))的聯(lián)合分布區(qū)域?yàn)?個(gè)凸集。

不確定過(guò)程X(t)的所有可能的類型和形狀都將包含在上邊界和下邊界組成的區(qū)域內(nèi)。如圖1所示。

圖1 凸模型過(guò)程Fig.1 Convex model process

一維凸模型為區(qū)間模型。當(dāng)X(t)為一維區(qū)間數(shù)時(shí)，XL(t),XU(t) ∈R，則X(t)=[XL(t)，XU(t)]，則X為區(qū)間數(shù)[15]。

模型的幾何特征可由中點(diǎn)和半徑描述：

式中：XC(t)為中值函數(shù)，表示時(shí)間的變化趨勢(shì)；XR(t)為半徑函數(shù)，表示變化的幅度；ηx為變異系數(shù)函數(shù)，表示不確定水平[5]。

非隨機(jī)過(guò)程可分為：中值恒定、半徑恒定、變異系數(shù)恒定。分別如圖2、圖3和圖4所示。

圖2 中值恒定的非隨機(jī)過(guò)程Fig.2 Median constant’s non-random process

圖3 半徑恒定的非隨機(jī)過(guò)程Fig.3 Constant radius’s non-random process

圖4 變異系數(shù)恒定的非隨機(jī)過(guò)程Fig.4 Non-random process with constant coefficient of variation

1.2 地震荷載的非平穩(wěn)非隨機(jī)過(guò)程模型

實(shí)際地震動(dòng)的非平穩(wěn)性表現(xiàn)為強(qiáng)度和頻率的非平穩(wěn)性[16]。大多數(shù)工程僅將地震荷載作為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與一個(gè)強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)的乘積來(lái)反應(yīng)地震荷載強(qiáng)度的非平穩(wěn)性。

A(t)=g(t)X(t)

(1)

式中：g(t) 為強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)；X(t)為利用區(qū)間理論處理后的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

在工程抗震中常選用下面的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)g(t)為[17]：

(2)

式中：c為衰減系數(shù)；選值參見文獻(xiàn)[18]；t1為主震平穩(wěn)段開始時(shí)刻;t2為主震平穩(wěn)段結(jié)束時(shí)刻。t1，t2選值如表1所示。

表1 主震時(shí)間Table 1 Main time of earthquake

平穩(wěn)非隨機(jī)區(qū)間過(guò)程X(t)的模型為[4]：

(3)

式中：XR(t)為半徑函數(shù)；K1為常數(shù)；XC(t)為中值函數(shù)；K2為常數(shù)；rXX(t1,t2)為自相關(guān)函數(shù)，與時(shí)間差|t2-t1|相關(guān)，與t1與t2的值無(wú)關(guān)。

2 埋地管道的動(dòng)力分析

2.1 埋地管道的應(yīng)力分析

大量研究表明[19-20]，埋地管道在遭受地震荷載的時(shí)候，軸向受力影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫向影響，故本文僅考慮管道在軸向抗震問題。根據(jù)非隨機(jī)振動(dòng)分析方法[21]，當(dāng)隨機(jī)過(guò)程被處理為區(qū)間過(guò)程，則結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也應(yīng)該為有上、下界的區(qū)間形式。

國(guó)內(nèi)外研究表明[22-23]，地震荷載作用下埋地管道的軸向變形大大超過(guò)彎曲變形，故本文僅討論管道軸向動(dòng)力響應(yīng)。

2.1.1 基本假定

作以下假設(shè)：

1)假定沿管道的場(chǎng)地條件以及土體參數(shù)均不變。

2) 與地基土阻尼相比管道阻尼極小，可忽略其本身的材料阻尼。

3)管道周圍的土體簡(jiǎn)化為連續(xù)均勻分布的阻尼器和彈簧，如圖5所示。

圖5 埋地管道簡(jiǎn)化示意Fig.5 Buried pipeline’s simplified diagram

2.1.2 動(dòng)力方程的建立及求解

建立管道在地震作用下的軸向動(dòng)力方程為：

(4)

式中：m為管道的質(zhì)量；u(t)為管道的軸向位移；c為管道周圍介質(zhì)的阻尼系數(shù)；k為管道周圍的剛度系數(shù)；K為管道的軸向剛度；ug(t)為場(chǎng)地在地震作用下的軸向位移。

根據(jù)屈鐵軍等[24]研究結(jié)果，管道的軸向位移為場(chǎng)地位移引起的靜態(tài)位移uS(t)和管道的慣性與阻尼引起的動(dòng)態(tài)位移uD(t)2部分組成。令：

(5)

式中：x為所求地點(diǎn)的位置坐標(biāo)；l為所選取管道長(zhǎng)度；qi(t)為廣義坐標(biāo)。

根據(jù)振型分解法求得[24]：

(6)

(7)

(8)

有關(guān)研究表明[25]，內(nèi)力分析時(shí)，動(dòng)態(tài)位移遠(yuǎn)小于擬靜態(tài)位移。因此本文忽略管道的動(dòng)態(tài)反應(yīng)。根據(jù)式(5)-(8)，可以得出管道在地震作用下的軸向位移通式為：

(9)

(10)

再根據(jù)σ=εE可得管道的應(yīng)力σ：

(11)

2.2 埋地壓力管道的動(dòng)力響應(yīng)分析

當(dāng)埋地管道僅受內(nèi)壓作用時(shí)，用圓柱殼彈性理論求解管道的應(yīng)力狀態(tài)[26]，則：

(12)

式中：t為管道任意位置當(dāng)前壁厚；D為管道直徑；E為彈性模量；ν為泊松比；P為內(nèi)壓；w為管壁上任意點(diǎn)的徑向位移，是軸向坐標(biāo)x的函數(shù)。

在x=0時(shí)，周向應(yīng)力σφ最大，由上式可得：

(13)

埋地長(zhǎng)輸管線受土壤的阻力而不能自由伸長(zhǎng)，造成泊松應(yīng)力，如圖6所示。

圖6 壓力管道受力Fig.6 Pressure pipeline’s stress diagram

軸向應(yīng)力σx可描述為：

(14)

式中：ν為泊松比，本文取0.3。

2.3 隨機(jī)時(shí)空地震荷載的埋地壓力管道的動(dòng)力響應(yīng)

由2.2節(jié)可知，埋地壓力管道僅在壓力作用下會(huì)產(chǎn)生周向應(yīng)力σφ和軸向應(yīng)力σx，那么，當(dāng)軸向應(yīng)力σx與地震荷載下管道軸向應(yīng)力σe共同作用時(shí)，管道軸向應(yīng)力σ1為：

σ1=σx+σe

(15)

當(dāng)軸向應(yīng)力σx，周向應(yīng)力σφ，徑向應(yīng)力σr與地震荷載下管道軸向應(yīng)力σe共同作用時(shí)，如圖6所示，利用von-Mises屈服條件得管道應(yīng)力σs為：

2σs2=(σ1-σφ)2+(σφ-σr)2+(σ1-σr)2

(16)

因管道為薄壁構(gòu)件，徑向應(yīng)力可忽略不計(jì)，即：

σr=0

(17)

因上述3個(gè)截面內(nèi)無(wú)剪力，故σφ，σx，σr分別為3個(gè)主應(yīng)力。則：

(18)

因此，由式(13)、式(15)可得，σs為：

(19)

3 非概率可靠性

3.1 區(qū)間可靠性

設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)Z為

Z=R-SZ=g(x)=g(x1,x2,…,xn)

(20)

式中：R代表結(jié)構(gòu)抗力；S代表載荷作用效應(yīng)。當(dāng)Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)是安全的；當(dāng)Z<0時(shí)，結(jié)構(gòu)是失效的；當(dāng)Z=0，代表結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)。對(duì)不確定參數(shù)進(jìn)行區(qū)間處理，設(shè)不確定參數(shù)x=[a,b]，則利用區(qū)間中點(diǎn)xC和區(qū)間半徑xR來(lái)反映模型的幾何特征：

對(duì)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換：

κ=xC+xRγ

(21)

式中：γ為標(biāo)準(zhǔn)化的區(qū)間變量。

代入功能方程式(20)可得：

Z=RRγR-SRγS+(RC+SC)

(22)

式中：RR為應(yīng)力的區(qū)間半徑；SR為強(qiáng)度的區(qū)間半徑；RC為應(yīng)力的區(qū)間中點(diǎn)；SC為強(qiáng)度的區(qū)間中點(diǎn)。

當(dāng)Z為線性或非線性功能函數(shù)時(shí)，β的物理意義為標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量的擴(kuò)展空間里，以無(wú)窮范數(shù)‖‖∞度量從坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離。

基于區(qū)間模型的非概率可靠指標(biāo)β定義為：

(23)

式中：ZC為功能函數(shù)中點(diǎn)；ZR為功能函數(shù)半徑。

3.2 埋地壓力管道非概率可靠性模型

埋地壓力管道的極限狀態(tài)功能函數(shù)一般形式為：

Z=g(x)=g(x1,x2,…,xn)

(24)

對(duì)于埋地壓力管道在非隨機(jī)過(guò)程地震荷載下的極限狀態(tài)功能函數(shù)為：

Z(t)=σr-σs(t)

(25)

式中：σr為埋地壓力管道的極限應(yīng)力值；σs(t)為埋地壓力管道隨時(shí)間變化的應(yīng)力值。

將其中的不確定參數(shù)處理為區(qū)間模型，則根據(jù)區(qū)間運(yùn)算的性質(zhì)[27]，則功能函數(shù)Z為Z=[ZL,ZR]。

式中：ZR為區(qū)間變量的上界；ZL為區(qū)間變量的下界。

利用非可靠性理論，可定義管道的非概率可靠性指標(biāo)為：

(26)

當(dāng)非概率可靠性指標(biāo)β>1時(shí)，則Z>0，此時(shí)結(jié)構(gòu)安全可靠；當(dāng)1<β<1時(shí)，則Z>0或著Z<0都有可能，則結(jié)構(gòu)可能安全可能失效，從工程實(shí)際上認(rèn)為，此種情況結(jié)構(gòu)不可靠；當(dāng)β<1時(shí)，則Z<0，此時(shí)結(jié)構(gòu)失效[28]。而利用β的值可以評(píng)價(jià)管道的安全程度，β的值越大就表明管道的安全程度越高。

4 非隨機(jī)過(guò)程下壓力埋地管道應(yīng)力強(qiáng)度分析

本文以某成品油管道為例，分析其在非隨機(jī)過(guò)程下的應(yīng)力強(qiáng)度，并進(jìn)行非概率可靠性分析。參考文獻(xiàn)[24]，選取該管段中的200 m進(jìn)行分析。管徑為457 mm，管材為X60，設(shè)計(jì)壓力為10 MPa，標(biāo)稱壁厚為8.7 mm，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.3，屈服應(yīng)力區(qū)間為[389，423] MPa，剪切波速取為283 m/s2，管道的軸向剛度為1.28×109N/m2，周圍介質(zhì)的剛度為9.52×107N/m2，場(chǎng)地土的加速度區(qū)間為[-4.671，3.417] m/s2。此時(shí)為平穩(wěn)區(qū)間過(guò)程，XR(t)為0.627 m/s2，XC(t)為4.044 m/s2。在很多實(shí)際問題中，激勵(lì)的解析表達(dá)式難以獲得，故本文以埋地管道為例提出求解場(chǎng)地位移的方法作為場(chǎng)地軸向位移的依據(jù)，即：

根據(jù)GB 50470-2008《油氣輸送管道線路工程抗震技術(shù)規(guī)范》[29]。

當(dāng)只考慮一維運(yùn)動(dòng)時(shí)，假定地震波為剪切波，即：

(27)

式中：Tg為地震動(dòng)反應(yīng)譜特征周期，根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《中國(guó)地震動(dòng)參數(shù)區(qū)劃圖》(GB 18306)獲取。

土體中將其進(jìn)行非平穩(wěn)化可得：

(28)

C參照文獻(xiàn)[18]統(tǒng)計(jì)分析取值，C=0.3；t1=5 s；t2=10 s。

則載荷的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程如圖7所示：

圖7 地震荷載的非平穩(wěn)區(qū)間過(guò)程Fig.7 Non-stationary interval process for earthquake load

則場(chǎng)地位移的區(qū)間為：

(29)

根據(jù)文獻(xiàn)[30]，該函數(shù)為非線性關(guān)系，即需建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型求解此函數(shù)的上、下界：

(30)

s.t. -0.03≤ug≤0.02

根據(jù)式(30)，利用優(yōu)化工具，求解出，地震作用下應(yīng)力區(qū)間[-31.05，20.70] MPa，根據(jù)第四強(qiáng)度理論，可得[229.63，242.28] MPa。

參數(shù)的區(qū)間數(shù)為：

xC=235.96;xR=6.33

即可建立功能函數(shù)：

Z=σr-σs

(31)

將其標(biāo)準(zhǔn)化為：

Z=17γr-6.33γs+170.05

區(qū)間非概率可靠性指標(biāo)為：β=7.29>>1。

區(qū)間可靠性模型計(jì)算的非概率指標(biāo)大于1，即結(jié)構(gòu)的失效域和安全域不相交，如圖8。說(shuō)明該結(jié)構(gòu)可靠，且無(wú)量綱的β越大，結(jié)構(gòu)的安全程度越高。

圖8 位移區(qū)間Fig.8 Displacement’s interval chart

5 有限元模擬

5.1 基本參數(shù)

本文以Abaqus作為有限元計(jì)算軟件。采用非線性的面-面接觸來(lái)建立管土相互作用三維有限元模型，剛度大的管道外壁選為主表面，剛度小的土體選為從表面，法向接觸行為采用“罰”接觸，摩擦系數(shù)選用0.5。管道由實(shí)體單元模擬，埋深為3 m。土體由實(shí)體單元模擬，本構(gòu)關(guān)系為Drucker-Prager(D-P)模型。材料基本參數(shù)見表2。

表2 材料基本參數(shù)Table 2 Material’s basic parameters

5.2 有限元模型

模型中管道遠(yuǎn)端僅約束軸向位移。土體施加載荷的兩對(duì)稱表面、上表面自由，其他面均為對(duì)稱約束。選用8節(jié)點(diǎn)線性六面體減縮積分單元(C3D8R)[31]。模型的網(wǎng)格劃分如圖9所示。

圖9 網(wǎng)格劃分Fig.9 Divide grid diagram

圖10 上邊界載荷下的von-MisesFig.10 Von-Mises diagram under upper boundary load

圖11 下邊界載荷下的von-MisesFig.11 Von-Mises diagram under lower boundary load

有限元分析結(jié)果表明，基于實(shí)際工程中地震貧數(shù)據(jù)的情況，對(duì)地震荷載進(jìn)行非平穩(wěn)性區(qū)間過(guò)程(非隨機(jī)過(guò)程)的處理是合理的，且是針對(duì)地震荷載的隨機(jī)過(guò)程的補(bǔ)充。

6 結(jié)論

1) 在只有小樣本的工程地震分析中，建立了非平穩(wěn)區(qū)間過(guò)程的地震荷載。這對(duì)于實(shí)際工程設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，建立地震荷載響應(yīng)邊界更易于隨機(jī)振動(dòng)分析在工程上的推廣。

2) 利用管道動(dòng)力求解中的級(jí)數(shù)解法簡(jiǎn)化了地震作用下埋地管道的動(dòng)力特性的求解。

3) 在無(wú)法建立概率密度函數(shù)和隸屬函數(shù)函數(shù)的情況下，即傳統(tǒng)的概率可靠性分析結(jié)果不可信的前提下，建立了以埋地壓力管道的非概率凸集合可靠性分析的模型。

4) 利用凸模型理論得出埋地壓力管道在非平穩(wěn)區(qū)間過(guò)程激勵(lì)下的非概率可靠性指標(biāo)，是對(duì)管道結(jié)構(gòu)的概率可靠性分析的補(bǔ)充，為建立長(zhǎng)輸成品油管道在非隨機(jī)荷載作用下的非概率可靠性分析奠定了基礎(chǔ)，對(duì)于結(jié)構(gòu)評(píng)估及可靠性設(shè)計(jì)具有重要的工程意義。

[1] 朱位秋.隨機(jī)振動(dòng)[M].北京：科學(xué)出版社，1992.

[2] 劉章軍.基于隨機(jī)振動(dòng)理論的抗震分析方法研究進(jìn)展[J].地震工程與工程振動(dòng)，2006，26(4)：47-51.

LIU Zhangjun. Research progress of seismic analysis method based on stochastic vibration theory [J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2006，26(4)：47-51.

[3] 張慶飛.一種新型非概率凸模型及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)不確定分析技術(shù)[D]. 長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)，2013.

[4] 劉寧宇. 非隨機(jī)過(guò)程模型及非隨機(jī)振動(dòng)分析[D].長(zhǎng)沙： 湖南大學(xué)，2016.

[5] BENHAIM Y. Convex models of uncertainty in radial pulse buckling of shells [J]. Journal of Applied Mechanics，1993，60(3)：683-688.

[6] ELISHAKOFF I. Whys and hows in uncertainty modelling [J]. Information Processing & Management，1985，21(6)：V-XV.

[7] BEN-HAIM Y. A non-probabilistic measure of reliability of linear systems based on expansion of convex models[J]. Structural Safety, 1995, 17(2): 91-109.

[8] 歐進(jìn)萍，王光遠(yuǎn)．基于模糊破壞準(zhǔn)則的抗震結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性分析[J]．地震工程與工程振動(dòng)，1986(1)：1-11.

OU Jinping，WANG Guangyuan. Dynamic reliability analysis of seismic structure based on fuzzy failure criterion [J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1986(1)：1-11.

[9] 王光遠(yuǎn)，歐進(jìn)萍．結(jié)構(gòu)模糊隨機(jī)振動(dòng)的理論與應(yīng)用[J]．地震工程與工程振動(dòng)，1992(3)：16-25.

WANG Guangyuan，OU Jinping. Theory and application of structural fuzzy random vibration [J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1992(3)：16-25.

[10] 歐進(jìn)萍，王光遠(yuǎn)，汪培莊.模糊過(guò)程與模糊微分方程的解法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，1991(2)：1-10.

OU Jinping，WANG Guangyuan，WANG Peizhuang. Solution of fuzzy processes and fuzzy differential equations [J].Fuzzy Systems and Mathematics，1991 (2)：1-10.

[11] KANG Z, LUO Y, LI A. On non-probabilistic reliability-based design optimization of structures with uncertain-but-bounded parameters[J]. Structural Safety, 2011, 33(3): 196-205

[12] GUO S X, LI Y. Non-probabilistic reliability method and reliability-based optimal LQR design for vibration control of structures with uncertain-but-bounded parameters[J]. Acta mechanica sinica, 2013, 29(6):864-874.

[13] 邵世飛，周昌玉，常樂.壓力管道應(yīng)力強(qiáng)度非概率可靠性分析[J].南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，38(3)：44-49.

SHAO Shifei，ZHOU Changyu，CHANG Le. Analysis of non-probabilistic reliability of stress intensity in pressure pipelines [J].Journal of Nanjing University of Technology (Natural Science Edition)，2016，38(3)：44-49.

[14] 劉次華. 隨機(jī)過(guò)程及其應(yīng)用[M]. 3版.北京：高等教育出版社，2004.

[15] 邱志平.非概率集合理論凸方法及其應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2005.

[16] AMIN M. Nonstationary stochastic model of earthquake motions[J]. Journal of Engineering Mechanics.ASCE, 1968, 94.

[17] DAVENPORT A G. Note on the distribution of the largest value of a random function with application to gust loading[J]. Proceedings of the Institute of Civil Engineers, 1964, 28(2): 187-196 .

[18] 陳永祁，劉錫薈，龔思禮. 擬合標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜的人工地震波[J]. 建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，1981，2(4)：34-43.

CHEN Yongqi，LIU Xihui，Gong Sili. Artificial seismic waves fitting the standard response spectrum [J]. Journal of Architectural Structure，1981，2(4)：34-43.

[19] LEE D H, KIM B H, LEE H, et al. Seismic behavior of a buried gas pipeline under earthquake excitations[J]. Engineering Structures, 2009, 31(5):1011-1023.

[20] QU T J, WANG J J, WANG Q X. A practical model for the power spectrum of spatially variant ground motion[J]. Acta Seismologica Sinica, 1996, 9(1):69-79.

[21] JIANG C, NI B Y, HAN X, et al. Non-probabilistic convex model process: A new method of time-variant uncertainty analysis and its application to structural dynamic reliability problems[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2014, 268(1): 656-676.

[22] 翟賀，李鵬程，李志明. 地震行波作用下埋地管道彎曲變形分析[J]. 防災(zāi)減災(zāi)學(xué)報(bào)，2014(1)：16-19.

ZHAI He，LI Pengcheng，LI Zhiming. Analysis of bending deformation of buried pipeline under seismic traveling wave[J]. Journal of Disaster Preparedness and Prevention，2014(1)：16-19.

[23] 梁瑞，馬東方，俞樹榮，等．埋地管道在地震載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析[J]．石油機(jī)械，2007，35(12)：16-18, 94-95.

LIANG Rui，MA Dongfang，YU Shurong，et al. Dynamic response analysis of buried pipelines under earthquake loads[J]. Petroleum Machinery，2007，35(12)：16-18, 94-95.

[24] 屈鐵軍，王前信. 地下管線在空間隨機(jī)分布的地震作用下的反應(yīng)[J]. 工程力學(xué)，2003，20(3)：120-124.

QU Tiejun，WANG Qianxin. The response of underground pipelines under random spatially distributed earthquakes [J]. Engineering Mechanics，2003，20(3)： 120-124.

[25] 屈鐵軍，王前信. 地下管線多點(diǎn)地震激勵(lì)縱向振動(dòng)的級(jí)數(shù)解[J].地震工程與工程振動(dòng)，1993(4)：39-46.

QU Tiejun，WANG Qianxin. Series solution of multi-point seismic excited longitudinal vibration in underground pipelines [J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1993(4)：39-46.

[26] 張鵬．在役原油長(zhǎng)輸管線剩余工作能力研究[D]．哈爾濱：哈爾濱建筑大學(xué) 哈爾濱工業(yè)大學(xué)，1997.

[27] 郭書祥，呂震宙，馮元生. 基于區(qū)間分析的結(jié)構(gòu)非概率可靠性模型[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18(1)：56-60.

GUO Shuxiang，LYU Zhenzhou，F(xiàn)ENG Yuansheng. Structural non-probabilistic reliability model based on interval analysis [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics，2001，18(1)：56-60.

[28] 魏宗平. 在役腐蝕管道動(dòng)態(tài)非概率可靠性分析[J]. 工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào)，2014，21(1)：27-31.

WEI Zongping. Dynamic non-probabilistic reliability analysis of corroded pipelines in service [J]. Journal of Engineering Design，2014，21(1)：27-31.

[29] 中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.油氣輸送管道線路工程抗震技術(shù)規(guī)范：GB 50470-2008 [S].北京：中國(guó)計(jì)劃出版社，2009.

[30] 王曉軍，王磊，邱志平.結(jié)構(gòu)可靠性分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)的非概率集合理論[M].北京：科學(xué)出版社，2016.

[31] 趙瀟.采空沉陷區(qū)埋地管道應(yīng)力變形分析及遠(yuǎn)程檢測(cè)[D].成都：西南石油大學(xué)，2015.