小學數學典型錯例分析及矯正策略

數與代數

【錯例】

一輛汽車行駛10千米耗油0.8升，平均每千米耗油多少升？平均每升油能行駛多少千米？

每千米耗油：10÷0.8=12.5（升）

每升能行駛：0.8÷10=0.08（千米）

【診斷】

1.數量關系的建構缺失。新教材沒有采用系統的應用題編排方式，而是把解決問題教學與各部分知識的教學有機地結合在一起，淡化了應用題解題方法的訓練，淡化了數量關系的概括。

2.“平均分”的要領不清。低年級在教學“平均分”時，特別注重以下兩個問題的研究：一是什么叫平均分；二是怎么平均分。主要采取動手操作的教學方式幫助學生理解平均分的意義，獲得平均分的方法，求得平均分的結果，引進除法算式。而對平均分的要領——把“什么東西平均分”“平均分成幾份”卻研究得不多，這恰恰是解決上述幾個問題的關鍵。

3.大數除以小數的負遷移。學生在低、中年級所接觸到的用除法解決的問題，都是用“大數除以小數”列式計算，從來沒有出現用“小數除以大數”的現象。長此以往，學生在不斷地練習中，逐漸形成這樣一種條件反射——當發現需要用除法解決問題時，根本不加考慮，直接用“大數除以小數”列式計算。

【對策】

1.關注平均分的過程。在教學“平均分”時，我們不能把目光僅僅停留在理解“什么叫平均分、怎樣平均分”上，而要重點研究“把什么東西平均分”“平均分成幾份”。在指導學生進行每一次平均分的過程中，不斷引導學生體會平均分時必須搞清楚這兩個關鍵問題。

2.建構平均分的模型。注重研究平均分的現象，透過現象抽象出具有一般規律性的知識，并加以總結、提煉，適時形成數量關系。同時幫助學生把教材中分散編排且未對數量關系進行整理的“解決問題”加以分析，及時進行必要的梳理與整合，使學生較好地理解和掌握“平均分除法”數量之間的內在聯系，引導學生建構“平均分除法”的數學模型。

3.抑制負面條件反射。在解決平均分問題時，教師可以隨機出現“大數除以小數”或“小數除以大數”的平均分現象，甚至還可以不出現數據，直接用文字敘述。用這樣的方式引導學生關注平均分的過程，體會用算式表示的方法。通過只列式不計算的策略，可以有效避免學生計算上的困難，并及時引進“小數除以大數”的算式。這樣“大數除以小數”或“小數除以大數”的算式反復呈現，破壞學生對“大數除以小數”等于平均分的非本質屬性的建立，使其無法形成條件反射，從而避免負遷移對小數除法乃至分數除法的干擾。

【錯例】0.5和0.9之間有（無數）個一位小數。

【診斷】

“熟”生“笨”。學生因為經常進行機械重復的練習，使得連題目都不用仔細看就知道了“答案”，造就了一批因“熟”生“笨”的學生。學生經常做類似“0.3和0.4之間有無數個小數”的題目，那么0.5和0.9之間肯定也有無數個小數。學生在潛意識中就將“一位小數”偷換成了“小數”。

【對策】

重視題組教學。設計練習時不能只關注量的積累，更重要的是要多采用同素材、異解題的題組訓練，引導學生在思中感悟，在辨中明理，理解對比題組之間的區別與聯系。比如出這樣一組對比題：

（1）0.5和0.9之間有（ ）個小數。

（2）0.5和0.9之間有（ ）個一位小數。

將這兩道題進行對比，題（1）沒有規定小數的位數，所以應填“無數”。而題（2）明確規定只能找一位小數，符合要求的只有0.6、0.7、0.8三個小數，所以應填“三”。

【錯例】

【診斷】

1.對運算定律和性質理解不透。學生在新學時，由于練習題型單一，大量的簡單模仿使學生忽視了對運算律或性質的實質性把握，內涵理解不夠徹底，所以到了綜合運用時出現誤判，導致錯用運算定律和性質。

2.強烈的簡算預期干擾了運算。長時間計算優化意識的培養，學生容易見到算式就觀察數字特點，千方百計地使用簡便算法，從而弱化了運算的限制條件，加大了學生的誤判。

【對策】

1.結合生活情境加深對運算律或性質的理解。在教學中要借助數學知識的現實原型，著力引導學生將簡便計算應用于解決現實生活中的實際問題，同時注意解決問題策略的多樣化。如理解減法性質：可以結合生活中的付錢問題，設計“先付前一樣物品的錢”“先付后一樣物品的錢”“兩樣物品一起付錢”等問題，讓學生借此解決實際問題，理解所學運算定律，構建運算定律模型。

2.用自己的語言多角度理解運算律或性質。現行的教材沒有對運算律進行完整意義上的描述，把歸納、總結交給了學生。學生可以根據自己的知識經驗理解，但不能僅僅滿足于用字母表示運算律，而是要多角度理解其內涵，把新知重組到自己的知識體系中去。

【錯例】

【診斷】

1.知識負遷移產生錯誤猜想。學生在學習了乘法分配律之后，計算類似45÷9-27÷9時，嘗試著把算式寫成（45-27）÷9，發現這樣改寫是成立的，于是他們認為類似也是成立的，從而猜想“除法分配律”的存在。

2.湊整的“條件反射”導致忽視運算順序。在數學學習中，一些具有特殊性的表現形式往往成為學生感受信息刺激強弱的干擾因素。觀察，學生把注意力集中在了算式的湊整上，忽視了整體的運算順序。

【對策】

1.指導學生經歷由猜想到驗證的過程。學生從乘法分配律猜想“除法分配律”是很自然的事，教師應該引導學生進行驗證，在這個過程中不斷明確兩者的區別，讓負遷移成為學生正確進行簡便運算的教學資源，幫助學生避免受知識負遷移的影響。

2.培養學生的整體意識。教師在新授教學中，應有意識地強化“弱刺激”(算式整體)，引導學生予以注意，并積累辨別經驗；在指導學生觀察時，應注意引導他們將整體印象與細節觀察相互補充，以區別類似“25×4÷25×4”和“(25×4)÷(25×4)”等不同算式。

【錯例】把5米長的鐵絲平均截成6段，每段長米，每段是這根鐵絲的（）。

【診斷】

1.與原有認知產生沖突。一般來說，如果總數比份數大，學生都能快速和準確地求出每份數。比如把8米長的鐵絲平均分成4份，那么每份是8÷4=2（米）。一旦變成總數比份數小時，比如“把5米長的鐵絲平均截成6段”，學生往往會無從下手。這說明學生對“每份數=總數÷份數”還是掌握的，問題出在總數和份數的數字大小與學生原有認知產生沖突。

2.沒有完全理解分數意義。學生不能準確理解哪個問題求的是分率，哪個問題求的是具體數量，“每段長（ ）米”是每份數的具體數量，“每段是這根鐵絲的（ ）”是每份數與總數量的比較關系，即分率。

【對策】

1．區分分率和具體數量。分率是反映兩個數量之間的比較關系，后面沒有單位名稱，表示具體數量的分數后面有單位名稱。在教學中，可以這樣引導學生區分：“每份占總量的幾分之幾”“甲是乙的幾分之幾”表示的是分率。求分率首先要有標準量，如上面的“總量”“乙”就是標準量。“每段長幾分之幾米”“每份是幾分之幾千克”表示的是具體數量。問題一“每段長多少米”求的是具體數量。把5米平均分成6份，列式就是5÷6＝問題二“每段占全長的幾分之幾”，求的是分率。以鋼管的全長為標準，把1個整體平均分成6份，每份就是

2．數形結合理解題意。此類題目可以通過畫圖等數形結合的方法來解決，學生比較容易理解。

【錯例】

一堆7噸的煤，如果每天用煤量相同，4天燒完，其中3天燒的占這堆煤的（）。

【診斷】

1.知識的負遷移影響。平時簡單、機械、重復的練習使學生忽視了問題的本質特征，被問題的非本質特征所迷惑，形成片面經驗：求誰是誰的幾分之幾，就是把條件中出現的兩個數寫成分數的形式。

2.多余條件干擾。一般“求一個量是另一個量的幾分之幾”時，問題中兩個量在條件中都是已知而且是唯一的，而這里的“7噸煤”對學生的思考形成了干擾。

【對策】

1.用分數的意義正遷移。“求一個量是另一個量的幾分之幾”是基于分數意義基礎上的教學。因此，在教學用分數表示兩個量的關系時，應架設“橋梁”把這個知識點實施正遷移，把“求一個量是另一個量的幾分之幾”納入分數意義的認知結構，從而實現知識的正遷移。

2.加強比較，厘清認識。教師應注意變換練習題的形式，可以增加對比題，使學生厘清知識間的異同點，不被非本質特征所迷惑。如設計以下題組進行對比練習：

（1）甲堆煤有9噸，乙堆煤有7噸，乙堆煤質量是甲堆煤質重量的（ ）。

（2）一堆煤有9噸，第1天用去3噸，第2天用去2噸，第2天用去這對煤的（ ）。

（3）一堆9噸的煤，如果每天用煤量相同，5天燒完，其中3天燒的占這堆煤的（ ）。

【錯例】

水果批發市場運來兩批蘋果，第一批運來噸，比第二批少運來噸，一共運來蘋果多少噸？

錯解一：

錯解二：

【診斷】

1．受到思維定勢的影響。長期受慣性思維定勢的影響，認為“多”就加，“少”就減，根本不理解題目的意思。

2．缺少數量關系的分析。比第二批少運來噸，說明第一批少，第二批多，要求第二批有多少噸，必須用第一批的噸加上少的噸，而不是用噸減去少的噸。

【對策】

1．加強審題習慣培養。提醒學生看清題意，不要簡單地認為“多”就加，“少”就減，應加強對審題習慣的培養。

2．引導分析數量關系。要求一共運來多少噸，必須知道第一批和第二批各運來多少噸，根據題意，已知第一批運來噸，再根據比第二批少運來噸，求出第二批有多少噸，然后才能用“第一批運來的噸數”加“第二批運來的噸數”。

3．重視數形結合思想。平時加強數學思想方法的滲透，本題可用數形結合以及轉化的數學思想方法進行教學。學生可以用畫線段圖的方式來幫助理解題意，哪個量多，哪個量少，通過畫圖一目了然，培養學生畫圖的習慣。

【診斷】

1．這類題本身比較難理解。源于“求一個數比另一個數多（少）百分之幾”實際上是一個“省略型”句式，即“比較量”與“標準量”比較隱蔽。

2.學生沒有理解百分數的意義。問題中“誰是誰的百分之幾”搞不清楚，或者無法正確地理解問題的本質。

3.學生審題不仔細。憑感覺認為只要把兩個量相除就能得到分率，沒有細細推敲這里的單位“1”是哪個量，就草率列出“50÷200=25%”這樣的算式。

【對策】

1．理解百分數意義。這是“求一個數比另一個數多（少）百分之幾”的實際問題，難在如何正確地理解“多（少）百分之幾”，明確其指的是哪兩部分相比。不但要使學生明確“多（少）百分之幾”是一個“省略型”句式，而且要讓學生知道“省”在哪，為什么這樣“省”，體會到“多（少）百分之幾”表述的合理性。

2．結合生活原型。求一個數比另一個數多（少）百分之幾的問題，涉及對兩個量的雙重比較，既有差比，也有倍比。因此在教學中要突出比較，在比較中讓學生體驗到新知學習的必要性。新課教學時最好選擇學生比較熟悉的比較原型，如商品降幅，少選用工農業生產中出現的問題，借助生活原型幫助學生理解數學模型存在的現實意義，了解這類問題的結構特征之后，再來解決其他對于學生來說比較生僻的工農業生產中的問題。

3.追問揭示本質。鍛煉學生數學語言表達的能力，如上述題中，問題“降低了百分之幾”還可以怎么問？是哪兩部分相比？如何把省略句中的省略成分補充進去，使之成為完整句？為什么要這樣補充？這些追問可以讓學生深刻理解這種語言表達方式的真正含義。

【錯例】

一種商品現在售價200元，比原來降低了50元，比原來降低了（C）。

【錯例】

（1）用長42厘米、寬28厘米的長方形紙片拼成一個正方形（中間沒空隙），最少需要多少張這樣的紙片？

（2）現有一張長42厘米、寬28厘米的長方形紙，要把它剪成大小相同的正方形且無剩余，正方形的邊長最長是多少？

錯解1：將算出來的42與28的最大公因數與最小公倍數直接當成問題的答案。

錯解2：兩道題的解題思路相反，即第一題求兩數的最大公因數，而第二題求兩數的最小公倍數。

【診斷】

1.從教師層面分析。一方面覺得概念教學與問題解決放在一起教學難度增大；另一方面認為公因數（公倍數）是為約分（通分）服務的，為以后的分數計算服務。課堂中往往將公因數（公倍數）的應用僅僅停留在幾個數的關系上，也有教師直接從概念出發進行教學：如出示42和28請學生先找出他們的因數，再找一找哪些因數是公有的，誰是最大的。學生缺乏對于公因數（公倍數）概念的感性認識基礎，碰到需要用公因數（公倍數）解決問題的時候就不大清楚了。

2.從學生層面分析。對于學生來說，理解公因數（公倍數），找兩個數的公因數（公倍數）并不困難，難的是拿到一道題后，如何判斷這題該用什么知識來進行解答。從錯解1中可以看出有一部分學生憑生活經驗或者說是數學的直覺，知道用公因數或公倍數的知識來解答，但是對于求出來的公因數和公倍數是題目中的哪個量并不清楚，導致了錯解。

【對策】

1.重視概念的比較。引導學生從最大公因數與最小公倍數的概念、方法與應用等方面進行比較，促使他們認清本質。

2.重視概念的感悟。在教學公因數、公倍數時，充分合理地利用教學資源，注重學生的動手操作，使他們在解決問題的過程中獲得感悟，為抽象概念提供感性認識的基礎。

3.重視數與形的結合。就該題而言，教師可以利用畫圖的方法，幫學生建立起數與形的空間聯系。教學分析時，可引導學生將兩題所表達的意思用圖示的方法畫一畫，在畫的過程中明確該選擇什么知識進行解答，并通過圖示對比，明確所求的最大公因數（最小公倍數）表示的是拼（剪）后正方形的邊長，再進行計算。

【錯例】

小明和媽媽去超市購物，發現相鄰的兩家超市同一品牌的商品原來的銷售價格都相同，但現在各自出了一則公告：

小明應建議媽媽去哪家超市購物？為什么？

（100-25）÷100 八五折=85%

=75÷100 75%＜85%

=75% 小明應建議媽媽去甲超市購物。

【診斷】

1．缺乏生活經驗。以上的素材對成人來講很熟悉，但對生活經驗缺乏的學生來講可能比較陌生。

2．審題不清。錯誤地認為滿100元送的25元購物券是現金返還，而實際上應該理解為多給25元實物。

3．分析問題不全面。沒有結合實際情況分析問題，甲超市購滿100元才有優惠，如果購物不足100元，是沒有優惠的。

【對策】

1．溝通數學與生活的聯系。進行情景化的課堂教學，注重緊密聯系生活實際，充分利用學生在日常生活中熟知的景點購票，商場購物、新聞消息等，讓學生真正體會到數學源于生活。建議學生更多地參加生活實踐，豐富生活閱歷，在生活中學習數學，理解數學，感知數學。

3．理解折扣的意義和方法。幫助學生充分分析打折的計算方法，在動手做題前，必須真正理解現價、原價，避免盲目計算。

3．通過比較強化認識。通過對比練習讓學生理解“滿送”和“滿減”的概念，并進一步加深學生對折扣的理解。可以設計這樣一道對比題：媽媽到超市買東西，發現相鄰的三家超市同一品牌的商品原來的銷售價格都相同，現在各自出了一則廣告：甲超市——購物滿100元，送購物券20元，乙超市——所有商品一律八折，丙超市——購物滿100元減15元。你建議媽媽去哪家超市購物？為什么？

【錯例】

鋪設一間辦公室，用邊長4分米的方磚鋪地，需要750塊，如果改用邊長5分米的方磚鋪地，需要多少塊？

解：設需要x塊。

5x=4×750

x=3000÷5

x=600

【診斷】

1．受思維定勢的干擾。學生一般在大量練習中所接觸的兩個成反比例的量都是直接的，很多學生只粗淺地看了一下題，就慣用反比例解決問題的基本模式來解此題。這是造成錯解的主要原因。

2．學生解題思路不清晰。本題兩個成反比例的量中有一個量是隱蔽的，學生不能透過“每塊方磚的邊長”，求出與塊數成反比例的“每塊方磚的面積”這個隱蔽的量。

3．反比例意義的教學不扎實。在判定兩個量是否成反比例時，往往是直接提供兩個相關聯的量讓學生判定，而很少呈現諸如“房間地面的面積一定，（ ）與（ ）成（ ）比例”這種開放式的判斷，促進學生對反比例意義的深入理解與把握。

【對策】

1．加強正反比例意義的理解和判斷。不僅要讓學生會找準不變量是比值（商）一定還是積一定，判定是正比例關系還是反比例關系，還要會分析題中成正比例或反比例的是哪兩個量。

2．加強對比練習，打破思維定勢。可設計對比性的題組，打破思維定勢，提高分析能力。如“正、反比例的對比”“基本的和稍復雜的對比”等。

3．培養學生認真審題的習慣。有些學生是由于粗心大意沒看清題目造成的，這就要求學生認真分析題中的數量關系，明確成比例的是哪兩個量后再解答。

（崇 沖）

圖形與幾何

【錯例】

1.臺灣島是我國的第一大島，它的面積約是36000（公頃）。

2.5340000000米=（53.4或534000）萬千米

【診斷】

1.單位建構不深刻。學生對于單位之間的進率，以及單位之間的化聚，往往掌握得較好。對于較小的如1厘米、1平方分米、1立方米等單位的認識也比較深刻，但對較大的長度、面積、體積單位所代表的實際大小卻沒有確切的概念，不能將諸如“公頃、平方千米”“千米、萬千米”等與生活緊密聯系，遇到需要將這些知識運用到生活中時，缺乏有效的解決策略。

2.生活經驗有缺失。一般而言，學生對于“土地面積單位和較大的土地面積”在實際生活中的接觸基本為零，感覺“公頃”已經是一個很大的面積單位了，加上36000也是一個比較大的數，容易形成感覺上的偏差，覺得第1題填寫“公頃”也是可以的。

3.前攝抑制負遷移。日常練習中多要求把數改寫以“萬”為單位或以“億”為單位的數。受此影響，看到第2題中既要改寫以“萬”為單位，又到聚到“千米”，自然而然就負遷移到以“億”為單位的數的方法。出現后一個答案，顯然是審題不清或對“萬千米”這個概念缺少真正的理解。

【對策】

1.理解較大單位的含義。利用生活中的資源，通過數學活動，讓學生在建構較小單位實際大小正確表象的基礎上，通過將較小單位依次疊加，如由1平方米、10平方米、20平方米……10000平方米（公頃）……1000000平方米（平方千米），在單位逐漸變化的過程中，推理、感悟、理解較大單位的表象，培養利用較小單位進行較大單位估測的能力，建立對大數據單位的體驗。

2.積累實用的生活經驗。引導學生將單位與數據相結合，對較大的實物或單位進行探究與思考。可以通過查閱資料，并與資料進行比較的方法，或是幫助學生建立參照體系，與參照物進行比較的方法，感悟、積累更多較大單位的實際經驗和關于較大數量的體驗。

3.注重靈活的思維方法。當學生遇到新的問題時，要引導學生善于分步探究、化難為易，分層遞進，靈活解題。如把“米”改寫成“萬千米”，可以先思考1千米=1000米，把含有“米”的數改寫成含有“千米”的數，然后想“千米”和“萬千米”之間的進率，把以“千米”為單位的數改寫成以“萬千米”為單位的數，再思考、總結出“米”與“萬千米”之間的進率，并推廣到“千克”與“萬噸”等單位之間的進率等，達到“做一題會一類”的練習效果。

【錯例】

像上面這樣，把一張正方形紙連續對折兩次，然后沿虛線剪開，得到兩部分，其中一部分展開后得到的圖案是（ A ）。

【診斷】

1.空間想象能力薄弱。把正方形經過數步操作，可以得到展開后的圖案。而學生的思考往往比較單一，只盯著沿虛線剪開后的圖形。通過對剪開后剩下圖形的考察，感覺應該有個尖尖的角，至于展開后形成什么樣的圖案，卻想象不出來。

2.動手操作意識弱化。在教學平行四邊形、三角形、梯形、圓面積公式推導時，教師會讓學生根據教材要求，動手操作體驗，但在解決實際問題時，很少會遇到需學生動手操作的題目。因此即使遇到類似本題，只要按提供的步驟，對正方形進行實物操作，再展開就能得到直觀結論，學生卻想不到通過動手操作去解決問題。

【對策】

1.優化空間想象。學生對規則的平面圖形都很熟悉，能夠建立起相應的幾何模型，解決問題時，有時無需畫出圖形也能根據文字描述輕易解決。但當出現不規則的平面圖形時，沿用規則圖形的表象卻解決不了。因此，教學中要引導學生善于借助規則圖形，把不規則圖形形象化、具體化。如可以，通過想象，把沿虛線剪開后的圖形一步一步進行倒推（如圖），即可得到展開后的圖案。

2.倡導動手實踐。許多數學規律都是通過實際動手操作找出來的。有時候，當公式不能解決問題時，不妨引導學生往后退，退到問題的原點。如果學生按題目要求，拿出一張正方形紙，再根據步驟一步步操作，最后展開圖案，就能得到正確答案。

【錯例】

把20本練習本摞成一個長方體，它的前面是一個長方形。再把這摞練習本均勻地斜放，這時前面變成了一個近似的平行四邊形。近似平行四邊形的面積（A或B）長方形的面積。

【診斷】

1.思維定勢影響。學生接觸最多的是類似這樣的題：用手捏住四根木條釘成的一個長方形的兩個對角，把它向相反方向拉成一個平行四邊形，此時，平行四邊形的底就是原來長方形的長，平行四邊形的高比長方形的寬短，兩相比較，周長不變，面積變小。受此影響，看到題目，學生馬上就得出“平行四邊形的面積（小于）長方形的面積”的錯誤結論。

2.概念混淆不清。把周長和面積概念混淆，題目中比的是面積，而學生最容易看出大小的卻是“平行四邊形的周長要比長方形的周長長得多”，但面積大小不能一下子看出來，因此，錯誤地推理得出“平行四邊形的面積（大于）長方形的面積”。

3.背景提煉能力不足。把平面圖形放到立體圖形中進行思考、比較，無疑比直接給出平面圖形進行比較要難，需要學生經歷從立體圖形的背景中提煉出平面圖形的過程，對于空間想象力弱的學生而言，會有不知所措、無從下手的感覺。

【對策】

1.直達問題本質。從條件復雜的數學問題中找到能解決問題的條件，去除背景、去偽存真、化繁為簡，直達問題本質，是一種基本的數學素養。如果學生能夠一下子從“體”中抽象出“面”，把關注點主要集中于長方形的面積和平行四邊形的面積，可以使探究更為流暢而有效。

2.豐富活動體驗。組織學生進行實際的操作活動，引導學生在對20本練習本進行操作的過程中，經歷猜想（面積誰大誰小）、操作、分析（探究面積大或小的原因）、歸納（每一本練習本側面積不變，總面積也不變）、比較（跟木條釘成的長方形框架變化成平行四邊形比較，兩者有何不同）等由現象到本質的體驗，不僅得出的結論全面，而且注重了方法的滲透和思維的延伸。

3.注重思考方法。教學中，既要根據題目要求，引導學生深入探討面積之間的關系，也要引導學生探討周長之間的關系；既要引導學生把平行四邊形與長方形比較，也要引導學生把長方形與平行四邊形比較，使學生得到的數學經驗完整而有序。

【錯例】

學校有一個周長是25.12米的圓形花壇，在花壇的外圍修一條寬2米的環形小路，這條小路外圍的周長是多少米？

3.14×（25.12÷3.14+2）=31.4（米）

【診斷】

1.脫離生活實際。學生能根據公式通過花壇周長求出花壇的直徑，再根據新的直徑求出小路外圍的周長。但由于缺乏生活體驗，誤以為用花壇的直徑加上小路的寬度就是小路外圍的直徑。

2.思維缺乏縝密性。解決圖形問題時，學生缺乏借助直觀圖形幫助數學思考的意識，缺乏深入思考的數學習慣，僅憑感覺“寬（多）2米”確定是要加上2米，卻分不清到底是半徑多出2米，還是直徑多出2米。

【對策】

1.豐富生活經驗。如果學生沒有親身經歷的生活體驗，遇到的數學問題即使來源于生活現實，對他們來說仍然是無源之水。因此，可以組織學生通過實地考察、親身參與測量、交流討論等方式，使學生感悟“寬2米”其實是比原來的半徑多2米，或者說比原來的直徑多兩個2米，而不是直徑加2米。

2.養成畫圖習慣。良好的畫圖習慣既是學生空間想象力的依托與回歸，也是學生借以解決圖形問題的“利器”。引導學生遇到圖形問題時，首先要根據題意畫出圖形，再根據圖形理清相關條件之間的關系，有序思考，縝密推理。如圖，就能很清楚地看出，小路外圍的直徑比花壇的直徑多出兩個2米。

3.優化數學思維。學習數學最重要的是提升數學思維，而數學思維的訓練，需要教師在日常的教學中多引導，教給學生思考問題的方法，養成良好的思維習慣。比如，本題中涉及“一一對應”——半徑要與半徑對應，直徑要與直徑對應。

【錯例】

用棱長1厘米的小正方體，拼成一個稍大的正方體，至少需要（4）個小正方體。

【診斷】

1.缺少概念本質建構。長方體、正方體在生活中所見甚多，學生的生活經驗積累較為豐富，因此，在將直觀物體抽象成立體圖形的教學過程中，有些教師常常忽視學生對概念本質的構建，導致學生的生活經驗與數學知識相脫節，概念模糊，進而無法有效地從概念系統的角度，理清大小不同正方體之間的內在聯系。

2.空間想象能力薄弱。學生的空間想象力不足，沒有從三維空間的角度真正建立起正方體的概念，只是憑已有知識經驗，從二維平面上思考，得出的是4個小正方形可以拼成一個較大的正方形，忽視了立體圖形屬于三維空間的事實。

3.解決問題方法單一。教師在日常教學中，往往以結果作為重要的教學目標追求，而忽視了教學過程的精細化，如從多個角度（空間想象、實物操作或數學推理計算等）激發學生思考、用多種方法解決數學問題的能力，學生思維途徑的單一，導致缺少解決問題的策略支撐。

【對策】

1.豐富直觀感知，建立空間觀念。幾何圖形是從大量的實物形體中抽象出來的共同特征的集中表現。教學時，要聯系生活實際，提供大小不同、材質不一的正方體實物，讓學生仔細觀察、充分感知共同特征，抽象出幾何圖形；再聯系實際，根據幾何形體到生活中去找實物，在觀察、比較、語言描述中，不斷優化認識，建立正方體的表象，形成對正方體的空間知覺。

2.動手操作體驗，促進意義建構。動手操作是探究幾何形體共同特征的重要手段。要放手讓學生用手摸一摸，用自己的話來說一說，閉上眼想一想。在長方體與正方體的比較中，慢慢抽象出“正方體是方方正正的，它有6個面，每個面大小一樣”的特征，從而建立起正方體清晰而深刻的表象。

3.精心設計練習，優化解題策略。不同思維特點的學生，有不同的解決問題的方法，如可以通過三維空間想象出每層有（2×2）個，兩層共8個；也可以拿出小正方體實際操作一下；還可以思考，稍大些的正方體棱長是2厘米，體積是2×2×2＝8（立方厘米），8立方厘米中有8個1立方厘米等。學生可以根據自己擅長的方法尋求解決問題的策略，適合的才是最好的。教師可以安排以下的練習進行鞏固：

（1）由8個小正方體拼成的大正方體，至少再添上（ ）個這樣的小正方體才能拼成一個更大的正方體。

（2）如圖，是由棱長1分米的小正方體組成的圖形，要拼成一個正方體，至少還需要（ ）個這樣的小正方體。

（3）用若干個棱長1厘米的小正方體鐵塊焊接成的幾何體，從正面、側面、上面看到的視圖均如圖所示。那么這個幾何體至少由（ ）個小正方體鐵塊焊接而成。

【錯例】

按要求畫圖：先把圖1繞點O逆時針旋轉90度，再向左平移4格。

錯解：中間圖和左側圖

【診斷】

1.本質認識發生偏差。學生雖然整體上掌握了旋轉圖形的三個要素，卻沒有發現，操作中因為旋轉邊的長度人為發生了變化，致使圖形的形狀發生了改變；平移時，移動的4格是對應點與對應點之間的格數，或對應邊與對應邊之間的格數，而不是圖形與圖形中間空格的距離。

2.缺乏有效驗證方法。對圖形進行旋轉和平移的操作缺少有效的驗證方法和手段，一旦學生形成了不正確的認知，即使再做一遍，可能還會出現相同的錯誤。

【對策】

1.豐富素材，增強感知。充分發揮多媒體直觀形象的作用，為學生提供豐富的感知素材，如生活中風車的旋轉、鐘表表針的旋轉、窗戶的平移等動態過程，以及點的移動，線段和常見的圖形的移動與旋轉，加強學生對平移、旋轉中圖形的感知。

2.指導方法，操作強化。引導學生用規范的語言描述旋轉和平移的過程，如旋轉，要說清楚是“哪條線段或哪個圖形繞哪個點、旋轉的方向和旋轉的角度”，三個要素缺一不可。在掌握方法的基礎上，放手讓學生按要求進行操作，再在比較與交流中加深認識。也可通過用剪一幅跟原圖完全一樣的圖，在原圖上，按要求進行平移或旋轉，驗證學生操作是否正確，增強對圖形運動的感悟。

3.循序漸進，分層遞進。用于旋轉和平移的圖形都要遵循由淺入深、由簡單到復雜的原則。無論是點、線段，還是平面圖形，都要讓學生反復體會、甄別對錯、尋找規律，直至把旋轉與平移熟練掌握，能夠綜合運用解決問題。

【錯例】

把一個圓錐形零件浸沒在底面直徑是20厘米的圓柱形容器中，這時水面上升9厘米，這個圓錐形零件的體積是多少立方厘米？

【診斷】

1.缺少思維探索歷練。學生解答圓錐體積問題時，首先想到的是利用公式求體積，而沒有從本質上去理解，這里“圓錐形零件的體積”已經轉換成了“圓柱形水的體積”，即“圓柱形容器內水上升的體積=圓錐形零件的體積”，運用V柱=πr2h求體積。

2.缺失系統建構經驗。學生在解決圓錐體積時，已經形成了一定的思維定勢，遇到求圓錐體積只會簡單地套用公式。當條件或問題稍有改變，學生就會一片茫然。

【對策】

1.聯系實際，有的放矢。引導學生認真讀題，畫出示意圖，再聯系生活實際，展開合理想象：上升的水的體積是圓錐形還是圓柱形？也可以通過實際演示，引導學生理解圓柱內水面上升9厘米的含義。

2.尋找關系，轉化問題。把圓錐浸沒在圓柱容器內的前、后不同情況進行對比，尋找出等量關系：圓錐形零件的體積=圓柱形容器內水上升的體積，通過將所求問題進行合理轉化，進而得到正確答案。

3.變式練習，提升思維。通過變式練習，完善學生認知，提升思維能力。如：

（1）在一個底面半徑20厘米、高30厘米，盛有水的圓柱形容器中，放入一個底面半徑6厘米的圓錐，圓錐完全浸沒水中。已知水面上升了3厘米，求這個圓錐的體積。

（2）一個盛有水的圓柱形容器，底面直徑3分米，在其中浸沒一個底面半徑是6厘米，高4厘米的圓錐形物體，水沒有溢出來，水面上升了多少厘米？

（3）在一個底面周長28.26分米、高20厘米，盛有水的圓柱形容器中，放入一個底面周長14.13厘米的圓錐，圓錐完全浸沒水中。已知水面上升了0.5厘米，求這個圓錐的體積？

（劉愛東）

統計與概率

【錯例】

幼兒園小朋友做紅花，李昊桐做了7朵，張子涵做了5朵，楊嘉浩和劉若冰共做了12朵。平均每人做多少朵紅花？

（7+5+12）÷3

=24÷3

=8（朵）

答：平均每人做8朵紅花。

【診斷】

1.舉例缺乏變式。在教學時教師選擇的教學素材過于標準化，學生對平均數的概念理解不深，沒有深入理解平均數產生的背景、意義，導致學生出現上面錯誤。

2.缺乏自主建構。教師對學生的指導不當，學生數學思考不深入，導致數學思維膚淺，制約了對平均數的理解與建構。

【對策】

1.增加變式練習，凸顯知識本質。數學知識遵循著由淺入深、循序漸進的原則，因此在學生掌握了基本計算平均數的方法后，在教學中教師應適當增加變式練習。如，一個書架上第一層放書32本，第二層放書和第三層共46本。平均每層放多少本書？引導學生思考“平均每層放書多少本”“這一問題是求幾層的平均數”“題目中怎么只有兩個數”，在類似追問過程中，逐漸使學生明白“32+46”表面看是兩個數的和，其實質表示三層書的總本數，所以應該除以3。實踐表明，通過這樣的變式練習，凸顯“平均數”的知識本質，學生深入理解平均數后再完成錯例中的練習，正確率會得到提高。

2.注重過程教學，培養檢查習慣。培養學生檢查的習慣，首先要使學生了解檢查哪些方面，如核對題目是否抄對，書寫是否規范，過程是否完整，解題方法是否得當，結果是否正確等。其次要教給學生一些檢查的基本方法，如對于計算平均數，可以通過估算或逆運算來檢查。第三，教師要對主動檢查的學生予以表揚和鼓勵，通過正強化和替代強化培養學生檢查的習慣。

【錯例】

下表是某商場2013年至2017年銷售額增長率，選擇什么樣的統計圖表示下面數據更合適？

__年份_增長_率__2013__2.3%_2014__3.4%__2015__3.8%__2016__5.2%_2017_5.9%

答：選用扇形統計圖表示以上數據更合適。

【診斷】

1.扇形統計圖理解不透徹。學生在學習扇形統計圖時常見的數據均為百分數，這樣的例證讓學生誤以為只要有百分數的數據就一定用扇形統計圖。學生忽略了扇形統計圖的本質作用——表示部分數量與總數之間的關系。

2.知識間的關系混淆不清。條形統計圖主要能夠看出各數據的多少，便于互相比較；折線統計圖主要能夠清楚地看出數據增減變化的情況；扇形統計圖主要能夠看出各部分數量與總數之間的關系。三種統計圖雖有不同，但也存在聯系。正是三種統計圖復雜的關系，學生在根據統計數據選擇合適統計圖時會造成一些障礙。

【對策】

1.注重復習，夯實基礎。日常教學中三種統計圖的教學時間跨度較大，學生容易遺忘，因此學生在學習扇形統計圖前，教師應加強條形統計圖與折線統計圖的復習，為扇形統計圖的學習夯實基礎。

2.加強對比，消除混淆。在數學學習中學生常出現以下錯誤，如混淆相似的概念、混淆相似知識的性質等。因此在學生掌握了扇形統計圖的特征和作用后，教師應適當加強三種統計圖的對比，從而幫助學生理清知識之間的區別與聯系。

【錯例】

下面是某糖廠去年上半年生產情況統計表，請根據表中的數據填空。

計劃產值（萬元）完成產值（萬元）__第一季度第二季度___合 計360_____（400）（760）_____（378）______（440）818______超額率（百分號前保留一位小數）5%____10%（15%）__

【診斷】

1.思維定式干擾。“計劃產值”與“完成產值”兩列“合計”一欄的計算，均用第一季度產值數據加第二季度產值數據，學生受這種計算方法的負遷移影響，誤認為“5%+15%=15%”是“合計”一欄中的超額率。

2.概念理解不清。超額率，學生在計算“合計”一欄差額率的時候，沒有使用，而是把第一季度和第二季度的超額率相加。

【對策】

1.打破思維定式，靈活解決問題。在解決問題過程中，有許多問題是互相聯系又互相區別的。計算“計劃產值”和“實際產值”時，“合計”部分分別用第一季度產值加第二季度產值，而“合計”一欄中的超額率的計算有其獨特性。在日常教學中應該培養學生認真審題并獨立思考的習慣，打破在解決問題過程中的思維定式，靈活解決問題。

2.深刻理解概念，及時鞏固練習。要加強對各種百分率的變式練習，比如，學生會計算一、二季度的超額率后，思考半年的超額率應該如何計算，并組織學生對比發現變中有不變，即計算超額率的計算方法不變，使學生在復雜的情景中能夠把握概念的本質屬性，從而提高解題正確率。

【錯例】

下面統計表是未來三天的天氣預報。

___日期_天氣預報23日__雪___24日__多云____25日_陰__

23 日（一定）下雪。（請用“一定”“可能”“不可能”填空。）

【診斷】

1.缺乏生活經驗。小學數學學習與生活是緊密相連的。但由于小學生不善于用數學眼光觀察生活，不善于積累生活經驗，因此經常會出現違背生活實際的“數學錯誤”。

2.隨機性理解不足。用“一定”“可能”“不可能”等詞語來描述生活中一些事件發生的可能性時，易帶個人感情色彩來判斷事件發生的結果。

【對策】

1.溝通數學與生活的聯系。一方面要注意引導學生對生活實際的觀察，以調整、積累生活經驗。如為了更好地理解上題，教師引導學生對比天氣預報信息與真實天氣情況，體會天氣預報中的天氣信息是一種不確定現象。另一方面，還可以引導學生把所學知識應用到生活實際中，積累生活經驗。

2.展示錯誤，開展糾錯。日常教學中教師應充分利用典型錯例引導學生辨析、討論，使他們在主動分析自己和別人錯誤的過程中，達到糾正和規避數學錯誤的目的。如在教學中引導學生對“一定下雪”與“可能下雪”兩種不同答案展開辯論。通過學生充分討論與辨析，積累生活經驗，增強學生對隨機性的體驗。

【錯例】

下面是王叔叔某次騎自行車情況的統計圖，請看圖填一填。

1．王叔叔一共騎車行了（30）千米。

2．他中途休息了（1）小時。

【診斷】

1.在解決問題過程中審題不清。審題是解題的起始環節，是正確解題的基礎。學生在解題時往往對此缺乏充分的認識，常常掉以輕心，在沒有仔細審題的情況下盲目作答，致使數學錯誤的發生。

2.從圖中解讀數學信息能力薄弱。在日常教學中，教師一般注重培養學生通過閱讀文字信息找出相應數學信息的能力，但對于從圖中尋找相關數學信息的培養不夠重視。

【對策】

1.提高審題技能。可以分三個步驟：第一步為細讀，學生要一字一句地讀，初步了解題意；第二步為推敲，學生在細讀的基礎上收集數學信息，推敲數學信息之間的數量關系，初步形成解題思路；第三步為提取，在推敲的基礎上，進一步化繁為簡，提取有價值的數字信息，揭示數量關系，形成解題思路。

2.培養讀圖能力。在解決問題時，學生往往忽略閱讀標題、橫軸與縱軸信息等。閱讀上圖時，學生首先要明確這張統計圖表示王叔叔騎自行車的情況，其次通過閱讀橫軸信息獲知橫軸數據表示時間，每一格表示0.5小時，通過閱讀縱軸信息獲知縱軸數據表示路程，每一格表示5千米。有了這樣的認識基礎，才能夠正確解讀出圖中各部分折線表示的意義。

【錯例】

下面統計表是我國土地利用類型的大致構成情況。_________________________________________

可利用土地工礦、交通、城市用地和內陸水域等__________________________15.7%草地 林地 耕地32.6%16.6%13.5%難利用土地沙漠、石頭、山地、永久積雪和冰川_____21.6%

耕地面積占可利用土地面積的百分之多少？

答：耕地面積占可利用土地面積的13.5%。

【診斷】

1.統計表信息理解能力薄弱。學生在解決這一問題時混淆了單位“1”。統計表中“13.5%”表示耕地面積占我國土地面積的13.5%，其中單位“1”是我國土地面積。而問題“耕地面積占可利用土地的百分之多少”中的單位“1”指的是可利用土地的面積。

2.缺乏數學與生活的聯系。學生在解決此類問題時，對“可利用土地”“難利用土地”等不了解。

【對策】

1.加強統計表數據的理解。在教學過程中，利用情境讓學生對比“耕地面積占我國土地面積的13.5%”與“耕地面積占可利用土地面積的百分之多少”這兩個數學信息的區別與聯系，從而發現對應量都是“耕地面積”，但單位“1”卻不同，不僅加深了單位“1”的認識，也提高了學生閱讀理解統計表中數學信息的能力。

2.加強數學與生活的聯系。創設情境需結合學生的生活實際，設計出既能活躍課堂氣氛又能激起學生學習動機的情境，使學生自主參與到數學活動當中，切實體會到數學來源于生活，服務于生活。