小學數學教學中的“數形結合”思想運用

張 敏

(上海市徐匯區逸夫小學，上海 200237)

數學的學科特點是高度抽象與概括。數形結合思想可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。根據中低年級兒童的年齡和心理特點，兒童的認識都是要經歷一個直觀到抽象的過程。因此，教師在教學中要注意“數形結合”，從直觀到抽象，幫助學生更好地理解算理，辨析概念，發展空間思想，分析應用題的數量關系以及提高解題能力。

一、“數形結合”思想的內涵及理論基礎

1.“數形結合”思想的內涵

數形結合思想，其實質是將抽象的數量關系與直觀的圖形結構結合起來進行考慮的一種思想。[1]它既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，并充分利用這種結合，尋找解題思路。數形結合思想方法包含兩個方面：一是同數及形，即“數”上構“形”，對于表面上屬于代數類的問題，充分利用“形”，把其中的數量關系的幾何特征形象地表示出來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用；二是同形及數，即“形”中覓“數”，根據圖形結構關系特征，尋找恰當表達問題的數量關系式，將幾何問題代數化，利用代數的算法優勢，以“數”助“形”，使問題獲得解決。[2]

2.“數形結合”思想的理論基礎

(1)表征理論

本文主要研究數學的外部表征，即“數”與“形”的表征。不同表征傳遞的信息不同，“數”表征比“形”表征抽象，傳遞更為嚴謹的數學信息；“形”表征比較具體和直觀，因為圖形更貼近客觀世界，所以傳遞的信息更易被學生認知?；诖?，在解決數學問題時，學生將“數”與“形”表征相結合整體運用，所獲得的有效信息和線索更多。而當題目中的表征不適合問題解決時，學生會通過表征轉化獲得更適合的新表征，以便更快速有效地解決問題。

因此，在數學教學中，教師要給學生提供練習的機會，讓學生深入了解什么是“數”表征，什么是“形”表征。在練習過程中，學生會自主發現兩者之間的規律和內在聯系，形成有效的數學學習。

(2)認知建構主義理論

數學學習是指在教師的指導下，學生根據已有知識和經驗，主動建構學習的活動。學生對于數學知識的掌握不是被動的接受和模仿，而是運用自己已有的知識和經驗對新知識進行理解和解釋，以達到建構新認知結構的目的。學生需要在教師的指導下，經過親身實踐和體驗主動建構關于“數”與“形”的概念，加強自身對于“數”與“形”的體驗和理解，深度挖掘知識背后的聯系。這能夠促進學生對數形結合的實質意義的理解，促進學生構建多元的數學思維模式。

二、“數形結合”思想在小學數學教學中的表現

基于“數形結合”的理論基礎，本文通過具體案例讓學生深入了解什么是“數”表征，什么是“形”表征，并能夠運用自己已有的知識和經驗對新知識進行理解和解釋，以達到建構新認知結構的目的。

1.計算教學中的“數形結合”

當今社會，家長為了孩子不輸在起跑線上，早就開始搶跑。在讀小學之前，幼兒已經學會了很多的計算，有的甚至會多位數加減法。然而這些學生只是機械地“依樣畫葫蘆”，對于為什么這樣算根本就不清楚。學前搶跑反而阻礙了孩子數學思維能力的發展，因此教師要重視算理的教學指導，讓學生深入了解什么是“數”表征。

例如，一年級第一學期的“20以內的進位加法”的教學中，教師從生活情景中引出算式“5+9=”該如何算呢？學生紛紛開動腦筋，有的畫一畫數一數，有的用小圓片擺一擺，有的用數射線算一算等，呈現了各種方法。當交流比較哪種算法更好時，學生紛紛表示數的方法太麻煩。而小圓片和數射線的方法中，第一步也是最重要的一種方法就是“湊十法”，同時學生感受到先湊到10計算比較簡便。于是便出現了兩種方法，如圖1所示。

圖1 進位加法教學中的數形結合圖

教師引導學生說說擺的方法時， 可以問：(1)為什么要在9個小圓片的基礎上再增加一片？ (2)哪來的“1”，誰給的“1”？給完還剩幾？(3)算式怎么表示？在這樣的圖文結合中，引導學生根據算理列出算式，先算什么，再算什么，同時引導學生結合小圓片圖用數學語言完整地表述整個計算過程。

這兩種方法都是通過動手擺小圓片的過程，在直觀實物中建立表象。小圓片與算式匹配起來，真正做到“數形結合”，使學生對于進位加法的算理理解更加深刻，如此才能從真正意義上理解算理，掌握計算方法。在計算教學中，數形結合的教學方法能使學生更好地理解算理，更快地掌握計算方法，起到了事半功倍的效果。

2.概念教學中的“數形結合”

由于概念本身的高度概括和抽象難懂等特點，概念教學一直是教學中的難點，給教師帶來了一定的挑戰。有的教師讓學生把概念中的定義、公式一遍一遍地讀，學生還是一知半解。因此為更好地理解概念，教師應該從“數形結合”的教學思想出發，讓學生深入了解什么是“形”表征。同時也讓學生親自實踐，進行建構。

如在“有余數除法”的教學中，要讓學生首先感知“余數”的概念，余數是怎樣產生的？“余數一定要比除數小”這個結論又是怎樣得到的？這些概念對于學生來說都是非常抽象的。于是教師設計了如下活動：

(1)13顆糖，平均分給4個小朋友，每人得到幾顆？

(2)匯報交流，感受“分到不能分”。

回答1：13顆糖，平均分給4個小朋友，每人得到3顆，還剩余1顆。

回答2：13顆糖，平均分給4個小朋友，每人得到2顆，還剩余5顆。

這時候學生馬上舉手說糖還沒有分完，還可以每人再分一次，從直觀操作中感知：要分到不能分為止。

(3)數形結合中引出算式表示方法，認識算式各部分的名稱。

誰能把分的過程用算式表示出來？

引導學生思考：如果12顆糖平均分給4個人，每人分到3顆，算式我們會寫。但現在剩余1顆該如何表示呢？

由此引出算式：13÷4=3(顆)……1(顆)

請學生根據分糖的過程或者圖片，說說算式中每個數表示什么意思？

(4)分14、15、16顆糖，并把結果用算式記錄，觀察發現余數特點。

13÷4=3(顆)……1(顆)

14÷4=3(顆)……2(顆)

15÷4=3(顆)……3(顆)

16÷4=4(顆)

引導學生觀察，余數有什么特點？余數有1、2、3，會不會有4？為什么？結合分糖再次驗證“一定要分到不能分為止”，所以余數一定要比除數小。

由此可見，在“有余數的除法”教學中，讓學生通過“分一分”的實踐活動，用算式記錄分的過程實質就是“數形結合”的過程。通過這樣的教學方法，學生對于余數的產生、余數的含義以及余數和除數間的關系有了深刻的認識。

概念教學中教師切不可進行簡單教學，因為死記硬背是沒用的，一定要結合生活實際，通過“數形結合”教學，讓學生真正把握理解概念、建立數學模型，這樣的教學引導是至關重要的。

3.應用教學中的“數形結合”

應用教學是小學數學教學的重點，又是難點，需要學生用綜合能力來解決問題，因此如何將抽象的數學問題轉化為生活實例，把問題直觀簡單化至關重要。了解數與形的關系，獲得更多有效信息和線索，學生通過表征轉化，能夠獲得更適合的新表征，有效地解決問題。

比如三年級第二學期“怎樣圍面積最大”一節課，教師提供相同數量的火柴，要求學生圍一個面積最大的圖形，通過動手操作，觀察比較，發現要想圍出面積最大的圖形，必須是越接近于正方形面積越大。利用這個知識，再去學習“復習與提高”板塊——組兩位數使乘積最大，聯系起來學習就相當簡單了。比如8、4、6、2，任選兩個數組成兩位數，使乘積最大。學生知道第一步把最大的8、6兩個數分別放在這兩個數的最高位，“8□×6□”，后面該如何選擇，到底是“82×64”還是“84×62”，有的學生通過計算找到了乘積最大的，而有的學生根據周長一定圍出面積最大的知識得出：只要兩個數的差越小，乘積就越大，可以把兩數想象成長方形的兩條相鄰的邊，乘積就是其面積，因此可以通過建立新舊知識之間的聯系找到解題的關鍵。從“組乘積最大的兩位數”聯想到“怎樣圍面積最大的”知識，利用數與形的關系，通過表征轉換，起到了很好的教學效果。

又如在應用題的教學中，常見的“相遇”問題、“植樹”問題等都是可以通過畫圖等方法進行更加直觀地呈現，對于學生理解數量關系有重要的作用，這些思考方式其實也是一種數形結合思想。

三、數形結合思想在小學數學中的教學策略

小學數學教學中數形結合思想的本質是學生建立數形結合解決問題的意識，借助數與形的關系，進行相互的等價轉化，從而加深對知識的理解，化解難點，順利解決問題，發展思維能力。這個過程既需要教師對教材的深刻理解，尤其是對數學思想暗線的分析、目標的把握，也需要學生掌握數形結合的方法。下面具體介紹幾種“數形結合”思想在小學數學中的教學策略：

1.在數形結合中培養學生的抽象能力

教師在教學時要充分借助實物、幾何直觀，發揮數形結合的重要作用，從具體實例到一般意義的抽象概括，引導學生利用數形結合思想突破難點，培養學生的數學抽象能力。比如五年級第一學期在教學“平行四邊形面積”的時候，可以引導學生運用轉化的思路，通過剪拼，把平行四邊形轉化為已經學過的長方形，再進行面積公式的推導。通過數形結合的教學，引導學生巧用面積模型，自然理解了長方形面積公式，通過新舊知識聯系，掌握算理。只有將精確的數字運算和能表達問題的符號、圖形等配合起來，才會更好地體現數學抽象化的魅力，幫助學生更準確地把握“形”的特點。學生在建立了“形”的表征后，再用數字或字母總結歸納出來數學規律或法則，更易理解，也更能體現數學抽象化的魅力。

2.在數形結合中滲透模型思想

在數學中，常常借助字母、數字或其他符號建立起的關系式、表達式、方程、函數、圖表等，這些都是數學模型，用來表征特定的現實問題。這些知識往往非常抽象，學生理解起來很難，給教學增加了難度。在教學時要運用數形結合思想，借助于數形關系，進行轉化，從而加深對知識的理解，幫助學生建立數學模型。比如在四年級第二學期“位置的表示方法”的教學中，讓學生在具體情境中認識“列”與“行”，理解“數對”的含義，從具體的實物圖到方格紙的抽象過程，在滲透坐標思想的過程中抽象出“數對”概念，建立數與形的聯系，掌握數學抽象的概念，建立數學模型思想。

3.在數形結合中培養學生解決問題的能力

教師應該充分挖掘“數與形”的內在聯系，構造圖像，提高學生解決問題的能力。比如在教學“乘法分配律”時，可以引導學生從生活實例出發，讓學生計算一套桌椅的價格，自然引出兩種方法，通過觀察比較建立聯系，最后抽象出“乘法分配律”字母公式。學生在理解的基礎上把握字母公式，既輕松又簡單，這比死記硬背字母公式或者反復讀“乘法分配律”的一大段概念效果好得多。數形結合教學的最終目的是提高學生解決實際問題的能力。

關于數形結合思想，華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合千般好，數形分開萬事休?！币虼?，在日常教學中，教師要深刻理解數與形是數學的一體兩面，增強數形結合的意識，滲透數形結合的方法，引導學生以形釋數、以數注形，豐富和發展學生的數感與幾何直觀能力，提升學生初步的數學素養。

參考文獻：

[1] 申玉麗.新課標下對高一學生數形結合思想理解的研究[D].華東師范大學碩士學位論文，2010：12-24.

[2] 王舒瑤.數形結合思想在小學數學教學中的應用研究[D].西南大學碩士學位論文,2015:7-8.

[3] M·W·艾克森，M·T·基恩.認知心理學(第四版上冊)[M].高定國，肖曉云譯.上海:華東師范大學出版社,2004:365.

[4] 陳琦，劉儒德.當代教育心理學[M].北京:北京師范大學出版社,2007:160.

[5] 徐文龍.“數形結合”的認知心理研究[D].廣西師范大學碩士學位論文，2005:4.

[6] 鄭毓信.數學教育哲學[M].成都:四川教育出版社，1995:291.

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[9] 王亞輝.數學方法論——問題解決的理論[M].北京:北京大學出版社,2007.