基于傳遞特性的行星齒輪耦合故障研究★

徐亞南， 徐玉秀

（1.天津工業大學 機械工程學院， 天津 300387； 2.天津工業大學 現代機電裝備技術重點實驗室，天津 300387）

引言

由于風機齒輪箱工況復雜，易發生兩種及以上的耦合故障，其實驗信號中表現出了區別于兩種單獨故障時的故障特征。常用的時頻分析方法難以滿足對耦合故障中行星齒輪故障特征的識別。

在進行齒輪箱故障識別與診斷工作時，國內外學者大多從齒輪箱傳動系統動力學建模、箱體表面振動響應的信號處理和齒輪箱系統傳遞特性研究三方面入手，通過建立剛柔耦合動力學模型，求解得到了內部動態激勵信號[1]，推導出行星齒輪箱振動信號方程式，并進行相應的頻譜分析[2-3]。在基于行星齒輪箱傳遞機理上，建立了單級行星齒輪齒輪傳動系統的振動信號模型。對于行星齒輪公轉調制作用而產生的動態信號[4]，建立信號傳播模型，應用最小二乘法類似方法，對信號傳播模型進行參數估計，得到單一故障、耦合故障狀態下多信號傳播路徑的傳遞函數。

1 風機齒輪箱模擬實驗

由于風電齒輪箱信號采集存在一定困難，所以采用圖1所示的模擬試驗臺作為研究對象，1為電機，2為轉頻調節器，3為定軸齒輪箱，4為測點，5為行星齒輪箱，6為負載加載器。通過對試驗臺的研究，能模擬出正常、故障狀態下的運行狀態。

圖1 齒輪故障模擬試驗臺

通過以故障齒輪替代正常齒輪的方法，分別實驗并測取正常狀態、行星齒輪缺齒狀態、行星齒輪均勻磨損狀態、行星齒輪缺齒-行星齒輪磨損的耦合狀態下齒輪箱箱體表面加速度響應信號。試驗時，輸入軸轉頻fd=40 Hz，輸出軸加載電壓為10 V，加速度傳感器靈敏度為100.2 mV/（m·s-2）。通過計算可知該轉頻下各級嚙合頻率分別為高速級嚙合頻率f1=1160 Hz、中速級嚙合頻率f2=417 Hz、低速級嚙合頻率f3=101.5 Hz。

通過觀察圖2中正常信號2-1與下頁故障信號2-2、2-3、2-4可知，當行星齒輪發生缺齒故障時，引起行星齒輪嚙合頻率101.5 Hz幅值的升高，同時280 Hz幅值也發生了升高。當發生行星齒輪磨損故障時，除406 Hz被激起外，1200 Hz也升高明顯。當發生兩種故障同時存在的耦合故障時，除40 Hz、101.5 Hz、406 Hz以及1200 Hz的增高外，還存在異于兩種單獨故障時的故障頻率460 Hz的發生。由于故障并不是線性疊加，該故障頻率的產生無法通過正常頻譜分析解釋，因此引入傳遞函數進行分析。

2 齒輪故障模擬試驗臺仿真模型

由于故障齒輪模擬實驗只能獲取箱體表面的振動信號，對于箱體內部齒輪相互嚙合時的接觸力信號無法直接通過傳感器測量獲取，因此需要通過動力學仿真的方式對風機傳動系統進行建模。為滿足建模精度要求，采用建模軟件UG進行試驗臺建模，通過ADAMS/Exchange接口與專業的動力學仿真軟件ADAMS進行數據轉換。在建模時，為了提高精度，將定軸齒輪箱及行星齒輪箱與軸的接觸點設為剛性區域，其他部分為柔性區域。

對于建立好的傳動系統剛柔耦合模型，對其進行Dynamic仿真，提取正常狀態、兩種單故障狀態以及行星齒輪缺齒-行星齒輪均勻磨損耦合故障狀態下齒輪箱中高速級嚙合、中速級嚙合、低速級內外嚙合的接觸力模擬信號。

圖2 各工況下實驗信號

3 傳遞函數及ARX模型選擇求解

3.1 傳遞函數的定義

對于實際的振動系統來說，建立系統的多自由度振動微分方程，得：

式中，[Kg]為復剛度矩陣。并對公式（1）進行拉氏變換，得：

式中，[Z（s）]為系統的動剛度。在一定的激勵作用下，動剛度與系統的響應{X（s）}成反比，即動剛度會阻礙的系統振動，故又稱[Z（s）]為系統的機械阻抗，其倒數稱為傳遞函數，用[H（s）]表示，即：

由公式（1）得：

對于實際的振動系統來說，用ω代替s，不會失去有用的信息，故對公式（2）兩邊進行傅氏變換，得：

3.2 傳遞函數ARX模型的選擇及求解

對于給定的系統，可以通過選擇時域響應或頻域響應，對系統進行辨識。由于連續的系統傳遞模型在擬合時存在解不唯一或擬合結果不穩定等缺點，通常不對連續模型直接辨識，更多的是將連續的系統模型進行離散化處理，通過系統辨識獲得離散的傳遞函數后，再對離散模型進行連續化處理[5]。

離散系統傳遞函數為：

它對應的差分方程為：

式中：ε（t）為殘差信號，這里為方便起見，輸出信號簡記為 y（t），且用 y（t-1）表示輸出信號 y（t）在前一個采樣周期處的函數值，這種模型又稱為自回歸歷遍模型（ARX模型）。

對于多輸入單輸出ARX模型，其對應的差分方程為：

式中：d 為各個延遲構成的矩陣；A（z-1）和 B（z-1）均為p×q多項式矩陣，且

即拉氏域內的傳遞函數變為傅氏域內的頻響函數。傳遞函數由系統本身所決定的，與輸入量沒有關系。當獲取系統的傳遞函數之后，可以根據輸入量獲取系統的輸出量，或者可以根據所需的輸出量來求取輸入量。通過頻響函數[H（ω）]可充分描述系統的動態特性。

系統辨識常用的軟件為MATLAB，其優點在于內置辨識工具箱中包含各類系統辨識模型，并且擁有強大的計算能力。本文所運用的ARX模型辨識系統可以通過函數arx（）實現，在確定了分子多項式階次m-1，分母多項式階次n以及系統純滯后d之后，使用arx（）函數可以直接辨識出系統的Ai和Bi矩陣。

4 故障特征傳遞特性分析

4.1 傳遞函數分析

以正常狀態、行星齒輪缺齒故障狀態、行星齒輪均勻磨損故障狀態、行星齒輪缺齒-行星齒輪均勻磨損耦合故障狀態的嚙合接觸力為輸入信號，各種狀態的實驗信號為輸出信號，分別建立以上四種狀態下的傳遞函數，如圖3所示。

比較圖3-2和3-1，當發生行星齒輪缺齒故障時，高速軸轉頻fd（40 Hz）幅值增加，同時未知頻率280 Hz幅值也發生升高。

圖3 各狀態下的傳遞函數

比較圖3-3和3-1，當發生行星齒輪單磨損故障時，未知頻率406 Hz以及1200 Hz幅值增大。通過簡單計算406 Hz恰好為低速級嚙合頻率f3（101.5 Hz）的四倍頻。

比較圖3-4和3-1，當發生行星齒輪缺齒-行星齒輪均勻磨損耦合故障時，主要的故障特征頻率有 40 Hz、406 Hz、460 Hz和 1200 Hz。

傳遞函數中表現出了與頻譜相一致的特征頻率，驗證了傳遞函數的正確性。通過以上分析，280 Hz為行星齒輪缺齒所特有的故障頻率，406 Hz為均勻磨損所特有的故障特征頻率，460 Hz為耦合故障所特有的故障頻率，因此針對這幾個頻率，對其貢獻量進行詳細分析。

4.2 貢獻量分析

為了更清楚地描述傳遞函數中各頻率的產生原因，分別對各故嚙合接觸力在故障頻率處的貢獻量進行分析，如圖4所示。

圖4 不同狀態下各嚙合接觸力對特定頻率貢獻量統計

通過圖4-1可知，在280 Hz處，高速級嚙合接觸力貢獻量由正常狀態下的33%增加到66.3%，缺齒故障引起了高速級嚙合接觸力傳遞路徑的改變。

通過圖4-2，在406 Hz處，低速級內嚙合接觸力和外嚙合接觸力分別由正常狀態下的26.1%和22.4%升高到37.1%和31.6%，即由于行星齒輪均勻磨損故障，引起了低速級內、外嚙合接觸力傳遞路徑的改變。

通過圖4-3可知，當發生耦合故障時，在460 Hz處高速級嚙合接觸力由正常狀態下的28.2%升高到45.9%，即由于耦合故障的發生，導致高速級嚙合接觸力傳遞路徑的改變。對于耦合故障，由傳遞函數不難發現，在400 Hz到500 Hz左右的頻率范圍內，高速級嚙合所對應的接觸力對傳遞路徑的貢獻量最大，說明行星齒輪耦合故障發生時對高速級嚙合振動造成了一定影響，引發了460 Hz幅值的增大。

5 結語

通過ARX模型，建立了正常狀態、行星齒輪缺齒、行星齒輪均勻磨損和行星齒輪缺齒-行星齒輪均勻磨損耦合故障狀態下的傳遞函數。通過對兩種單故障的分析，引出了耦合故障中的連帶故障特征頻率460 Hz。通過對各類故障傳遞函數中各嚙合接觸力幅值及貢獻量的變化情況，總結了耦合故障的傳遞特性，解決了460 Hz的來源問題，實現了對行星齒輪缺齒-行星齒輪均勻磨損該耦合故障的診斷。

[1]徐玉秀，趙曉菲，熊一奇.基于傳遞路徑的多級齒輪箱齒輪裂紋故障識別[J].儀器儀表學報，2016（5）：1018-1024.

[2]Inalpolat M,Kahraman A.A theoretical and experimental investigation of modulation sidebands of planetary gear sets[J].Journal ofSound and Vibration,2009,323(4):677-696.

[3]Inalpolat M,Kahraman A.A dynamic model to predict modulation sidebands of a planetary gear set having manufacturing errors[J].Journal ofSound and Vibration,2010,329(4):371-393.

[4]熊一奇,徐玉秀.基于信號傳播模型的行星齒輪缺齒故障識別[J].儀器儀表學報，2016（2）：249-255.

[5]齊曉慧，田慶民，董海瑞.基于Matlab系統辨識工具箱的系統建模[J].兵工自動化，2006，25（10）：88-90.