梁培基“泥腿子”數學家的幻方傳奇

張盛秋

在旅美數學家李學數2017年出版的著作《數學和數學家的故事》中，有一個章節用了整整40頁專門介紹河南封丘農民梁培基。

寫數學家的書為何會與農民扯上關聯？原因其實很簡單——這位農民幾十年如一日瘋狂研究的對象并非莊稼，而是數學——偏居于村野的梁培基，雖面朝黃土但心向數學，憑著對數學著魔般的熱愛，他居然僅憑古老的算盤為計算工具，打破了組合數學研究中“幻方”的世界之最，并在《數學傳播》《數學研究與評論》以及組合數學界的權威雜志加拿大溫尼伯大學計算機系的JCMCC等國內外數學刊物上發表了幾十篇論文，不得不令人稱奇。

一本書，打開奇妙世界

人的一生中會經歷很多偶然，而某些偶然中，又似乎深藏著必然。很多時候，不回頭看一看，我們真的不知道它有多么奇妙。梁培基雖自幼聰慧，尤其數學天分過人，但因家境貧寒，他僅讀到初中二年級即回鄉務農，成了一個地道農民。上世紀80年代初，一個偶然的機會，他買到一本冷門書，而這本書居然神奇地改變了他的人生軌跡。

那是1980年初夏，梁培基成為村辦廠的一名采購員。為此，他終于有機會離開他生活的小村走進鄭州城里。那天在完成采購工作后，他順路拐進一家書店，準備給孩子們買點課外書輔導功課用。他做夢也沒想到，此次買回的一本書不但開闊了孩子們的眼界，還令他的人生大大地拐了個彎。此后，他無法自拔地對迷宮般的數學幻方著了魔，開始幾十年如一日如癡如醉的鉆研。

那本具有魔力的書是上?？茖W技術出版社的《世界之最》，而令梁培基深陷其中的，則是書中介紹的奇妙的雙重幻方。雙重幻方，因各線積和都相等而表現出一種雙重的美妙，早已引起世界上很多數學研究者的興趣。在那本書中，收錄有美國數學家霍納（W.Horner）1955年創造出的8階雙重幻方——這是由64個數字組成的“方陣”，無論是按橫方向、豎方向，還是按對角線方向，每組8個數之和均為840，其積也相等，均為2058068231856000。這組幻方以幻和、幻積均最小而被列為“世界之最”。自幼愛好數學的梁培基捧著此書反復研讀，被雙重幻方的奇妙之處深深吸引住，并開始“自不量力”地試圖自己構造幻方。

作為農民不種地卻研究起天方夜譚般的數學難題，梁培基的舉動很快引起村鄰們議論。但已深深沉入幻方世界的他無暇顧及這些，開始利用一切可利用的時間進行研究，幾乎達到廢寢忘食地程度。為了驗算他自己所構造的幻方的正確性，缺乏現代化計算設備的梁培基因陋就簡，居然將十幾個算盤擺成一字長蛇進行運算，場面甚是壯觀。也許熱愛真的能戰勝一切，經過不解努力、反復探索，梁培基終于弄清了雙重幻方構造的規律，并構造出幻和幻方均小于8階的雙重幻方，打破了之前美國數學家霍納保持的世界之最。一個僅讀到初中二年級的農民，僅憑十幾臺普通的算盤居然完成了數學家們在計算機上都未能完成的研究，這不是奇跡又是什么？梁培基的這一創舉很快被中國珠算協會列為“中國珠算十大偉績”之一，同時，他的幻方研究成果也被臺北《數學傳播》刊發。此后，梁培基再接再厲繼續在幻方的迷宮里“攻城略地”，16階、32階、64階雙重幻方也陸續問世。

一封信，結識千里恩師

成功打開幻方迷宮大門的梁培基，更加癡迷地在這個王國里探尋。他探尋的方式即不知疲倦地研讀與幻方相關的書籍——那些被普通人視為“天書”的艱澀內容，他常常讀得津津有味。當然，也有他讀起來感到艱難費力的時候。那一年，他在北京一家書店淘到一本數學家梁宗巨教授所著《世界數學史簡編》，細讀之下發現書中竟躺著不少“攔路虎”。向來不服輸的梁培基晝夜苦思然而始終無解。終于，某一天清晨醒來，愁眉不展的他忽然腦筋一轉想出高招——給書的作者寫信討教啊，不懂就問，也沒啥丟臉的。

于是，梁培基非常認真地給遠在遼寧的梁宗巨教授寫了一封信，向他討教書中問題，并同時介紹了自己的研究及所得。半個月后，梁培基收到了梁宗巨教授的回信。他欣喜異常，甚至有點不敢相信這是真的，那一天，他做了一個美夢——感覺我正在爬山，爬到半山腰爬不動了，這時只覺得有人從身后拖住我往上一推，上去了……

梁教授的確是將梁培基往上推一下的那個人。他在回信中不但認真解答了梁培基的一連串問題，還花了好幾天時間驗證這位農民數學狂人的計算結果并幫助修改了論文。1982年4月，在梁宗巨的力薦下，梁培基的第一篇論文《雙重幻方》終于發表在《數學研究與評論》上。

成功造出8階、16階幻方之后，梁培基曾一度迷失探索方向，將主要精力投注于構造更大的幻方。當時一門心思“求大”的他甚至已經造出了128階雙重幻方。正當他為自己構造的超級大幻方沾沾自喜之時，梁宗巨教授及時喚醒并為他指引研究方向：幻方階數越低越難造，在階數相同的幻方中，數字越小越難得。比方都是8階雙重幻方，則數字越小越可貴。真是一語點醒夢中人，在梁教授指引下梁培基立即改變探索方向，開始向最小的幻方進發。經過幾個月的海量驗算，他成功造出其和、其積分別最小的8階及9階的幻方。至此，這位農民數學家已經取得了最小8階、最小9階雙重幻方以及當時最大128階雙重幻方3項研究成果，其研究所得接連發表于臺北《數學傳播》。

此后梁培基再接再厲，與獲“歐拉獎”的首位華人數學家朱烈教授等人合作，把雙重幻方研究拓展到nk階。這一研究成果由朱烈教授撰寫成英文，發表于加拿大的JCMCC雜志。

1982年8月，梁培基到東北出差，得有機會拜望仰慕已久的梁宗巨教授。終于得見恩師的梁培基抓住時機向梁教授請教了很多數學方面的問題，老先生都耐心地一一作答。

那一次拜望給梁培基留下永恒的記憶也留下永久遺憾，此后不久梁教授即辭世西去。時至今日提起老先生，他依然動容：“梁教授不是我的恩師，卻勝似我的恩師。雖然我沒有機會直接聽他授課，但老先生通過信函往來對我的指導，尤其是在研究方向方面的指引，是促使我踏上數學研究正確軌道的重要引路人?！?/p>

由于解決了雙重幻方的一些難題，1985年5月，梁培基被破格邀請參加在廣州召開的“中國組合數學第二屆年會”，并做了專題報告。美國加州大學數學系教授孫述寰教授高度評價了梁培基在組合數學專業研究領域所做的工作：“梁培基先生雙重幻方的工作是有意義的，這種研究在海外做的人不多，他能單獨工作并得到這些結果，難能可貴……建議給以適當的獎勵，以利今后的研究?！痹诹硪淮螌W術會議上，中國數學會理事張忠輔先生對梁培基說：“小梁啊，用你的新方法，居高臨下把‘和幻方再解決一下……”梁培基依言求解，用正交拉丁方的方法，解決了用計算機構造“和幻方”的快速方法，研究成果發表于《云大學報》。后來他又與張教授合作發表了“雙重數組方程解”等三篇論文。

一根筋，只做幻方達人

在幻方這個大迷宮里，路途千回百轉沒有盡頭，梁培基的研究工作也同樣沒有盡頭——攻克一個難題，他會立即轉向一個新的難題，在相鄰的兩個難題之間，則是絞盡腦汁的思考和一絲不茍的驗證過程，這樣的過程在局外人看來枯燥無比，而對梁培基而言其樂無窮。

1996年，經過反復研究驗算，沉寂多時的梁培基終于又有了新的閃亮時刻——這一次他得出一個最快捷簡便的4k階“和幻方”的造法，并將其命名為“快速書寫法”，因為其構造速度之快就好像在空白紙上書寫自然數差不多，方法簡單，幾分鐘就能掌握。梁培基為此還編了朗朗上口的歌訣：“方陣分為井字形，四角中心順序行，其余四邊逆序寫，4k階幻方頃刻成?！贝恕芭紨惦A幻方快速構作”研究成果發表于《數學傳播》。

美國科學家富蘭克林生前曾創造出舉世無雙的“曲線求和幻方”，被《有趣的數論》一書譽為“最神奇的幻方”。但遺憾的是，他的幻方兩條對角線之和不等于幻方的幻和。而梁培基在1990年時構造出既滿足富蘭克林的幻方性質，又使兩條對角線之和等于幻方之和的新方法，稱為“優化富蘭克林幻方”。富蘭克林生前還有一個美好的愿望，就是構造幻方不要過多復雜的計算，或調換位置，就像書寫自然數一樣快捷。而梁培基1996年給出的“直接書寫法”正是富蘭克林生前所期盼的。這位科學家當年恐怕做夢也沒有想到，他所留下的遺憾和愿望，竟然在多年后被中國農民數學家雙雙破解了。

因為對數學的癡迷研究，梁培基以僅讀過初中二年級的農民身份躋身組合數學研究的專業領域，被破格錄用為國家干部，并被破格評為副研究員，破格參加若干學術會議，而他的論文則發表于《數學傳播》《數學研究與評論》《自然雜志》《數學通報》以及組合數學界的權威雜志、加拿大溫尼伯大學計算機系的JCMCC。

面對諸多榮譽，梁培基很淡定。當有人稱他為“專家”、“教授”時，他連說不敢，表示自己只是蕓蕓眾生中喜歡幻方的小卒一個。而當有電視臺記者稱他為數學家時，他則幽默地糾正為“家學數”，理由是他沒有上高等學校深造，也沒有出國留學，是在自己家里研究數字的。

梁培基一心癡迷于數學，無論看到什么都能與數字掛鉤。有一次，他看到一個叫“605”的玉米種，就神秘地說：嗯，這個玉米可以種。”有人問為什么，他答：“605=5×121，而1、2、1是“起步走”的口令，預示著這個品種剛剛起步，而且是一個像軍人一樣有嚴格紀律的團體?？吹桨l問者意猶未盡，他又補充說：“你看，121=11×11，這1111像挺立的玉米桿，估計還能抗倒伏咧！”如此這般一番數字化解釋，令周圍的聽眾都忍俊不禁，不得不服。他不但樂于偶爾以數字方式“幽上一默”，同時也很樂于用他所擅長的數字組合方式來關注國事——新中國成立60周年時，他用15個自然數構建了一副別具一格的五星圖，用以濃縮共和國60年來的重大事件；當十九大召開之時，他又滿腔熱情的構造了一個新的數字五角星，用以濃縮中國共產黨所走過的歷程。如今他雖已是耄耋老人，但一天都沒有停止過以各種方式對于數字組合進行探索研究……