考慮巷道周邊有非均勻作用力的基爾希解修正

侯公羽 謝冰冰 李子祥 韓育琛

（中國礦業大學（北京）力學與建筑工程學院，北京100083）

在巖體硐室工程穩定性分析中，通常需要對硐室開挖后的圍巖應力場和位移場進行理論求解。基爾希解（Kirsch Solution）自1898年求解出來后，對地下工程有較好的指導作用。但基爾希解的不足之一是沒有考慮巷道周邊的支護力的作用，顯然，巷道周邊的非均勻支護力［1-2］對圍巖的應力場和位移場必然會產生影響。

目前，已有不少學者對圓形巷道在對稱荷載作用下的彈塑性解進行了多方面的研究工作，取得了有價值的研究成果。羅超文等［3］基于水壓致裂法對地應力進行了大量測量，并對圍巖應力進行了分析研究；劉寧等［4］監測到了TBM掘進過程中圍巖的應力變化規律；孫闖等［5］將收斂—約束法應用于高應力軟巖巷道圍巖—支護相互作用分析中；侯公羽［6］根據開挖卸荷的概念和開挖面空間效應原理，提出圍巖彈塑性變形二次釋放的概念解，研究圍巖—支護之間的相互作用；侯公羽、牛曉松［7］采用與卡氏方程求解相同的求解條件和求解假設，分別采用Levy—Mises本構關系及Hoek—Brown屈服準則，對軸對稱圓巷的理想彈塑性問題進行了求解；Li、Wang等［8-9］引入與圍巖半徑相關的系數ε，利用復變函數方法給出帶內壓支護圓形壓力隧洞應力和位移彈性解；侯公羽等［10-11］對軸對稱圓巷在對稱的地應力和支護力作用下的圍巖流變變形進行了理論求解。但這些研究都局限于軸對稱荷載作用下這一理想條件對圓形巷道的作用結果，對實際工程中經常遇到的非對稱荷載作用下的情況還不能很好地解決。

嚴克強［12］首次對非對稱荷載作用下圓洞圍巖塑性區進行估算；侯公羽等［13］對兩向不等壓條件下軸對稱圓巷的彈塑性問題進行攝動求解，給出彈性區域考慮二階微量的應力分布和彈塑性交界線的攝動解析表達式；孫金山等［14］推導了非軸對稱荷載下圓形隧洞圍巖彈性區、塑性軟化區和塑性殘余區的應力場、應變場、位移場和塑性區半徑的近似解析解。這些成果雖然考慮了兩向不等壓的條件，但并未對支護力的影響給予考慮。

總體而言，對于非均勻地應力作用下的巷道/隧道圍巖的理論求解研究成果還非常少見。若要獲得突破性的求解進展，首先必須搞清楚其彈性解，進而才可能獲得其彈塑性求解。因為，圍巖彈性應力的求解同樣對圍巖塑性區的發展有著決定性的影響，圍巖塑性區半徑的求解也需要彈性解為其提供邊界條件。因此，深入地研究非均勻地應力作用下的巷道/隧道圍巖的彈性解，具有重要的理論意義和工程實用價值。

基爾希解為非均勻地應力作用下的巷道/隧道圍巖的理論求解奠定了一定基礎，但還不夠完善。因此，有必要對基爾希解進行必要的修正。

本研究采用基爾希解的求解思路，對巷道周邊存在的非均勻支護力的形式進行了合理假設，并結合彈性力學中半逆解法［15］進行了兩向不等壓條件下圓巷圍巖在有非均勻力作用時的彈性應力及位移進行了求解。通過算例的計算，對求解的方程和解析解進行了分析，研究了兩向不等壓條件下圓巷圍巖的應力及巷道周邊位移的變化規律。

1 軸對稱圓巷兩向不等壓地應力及非均勻支護力作用下的基爾希解修正

1.1 假設條件

（1）圍巖為均質的、各向同性的、線彈性的、無蠕變性或線粘彈性半無限體。

（2）原巖應力豎直向為 p0，水平向為λp0，λ＞1（λ＜1的情況類似，從略）。

（3）巷道斷面為圓形，長度為無限長（平面應變問題），深埋Z＞20R0（忽略影響圈內自重），結構對稱，荷載僅對稱于豎軸和橫軸。

（4）巷道周邊非均勻力如圖1所示，其函數形式為q=1+kcos2θ）（0＜k＜1），如圖1所示。詳細討論見1.3節。

1.2 圍巖—支護相互作用機制

對于地下洞室，如果不考慮開挖面空間效應的影響，那么，圍巖的彈塑性變形在被開挖體破碎的瞬間即發生并完成了，因此，在圍巖的彈塑性變形發生和完成之前，支護結構是無法及時架設的［16］。由于支護結構（如噴射混凝土、錨桿、格柵支撐等）都是被動受力的，即其作用力是在與圍巖的相互作用即變形協調中產生的，因此，在這種情況下支護結構是支護不到圍巖的彈塑性變形的［16］。

如果考慮了開挖面空間效應的影響，那么，支護結構是可以及時架設的，在這種情況下，支護結構是可以支護到圍巖的彈塑性變形的［17］。支護與圍巖因產生變形協調關系而發生相互作用，即：圍巖對支護結構施加擠壓作用，支護結構對圍巖產生被動的反作用力（即支護反力）。侯公羽等［17］對這一問題進行了詳細的研究，創造性地將巷道圍巖周邊的徑向位移、開挖面空間效應產生的虛擬支護力和支護結構產生的支護反力之間建立了力學與數學關系，對圍巖—支護相互作用的全過程進行了求解。

為什么要對基爾希解進行修正？因為：①基爾希解沒有考慮巷道周邊有支護反力作用情況的求解；②使用文獻［17］的方法對圍巖—支護相互作用的全過程進行解析時需要這個求解。因此，需要對基爾希解進行修正，即求解出考慮巷道周邊有非均勻支護反力作用的基爾希解。關于非均勻支護力形式的討論詳見1.3節。

1.3 關于巷道周邊非均勻力的分布形式的討論

對于非均勻的徑向圍巖壓力，目前沒有明確的分布曲線，常用一些函數曲線近似表示荷載分布規律的不均勻性［18］。例如：采用倍角余弦曲線的非均勻徑向圍巖壓力分布形式，即

也有采用了單角正弦函數形式，即

吳慶良等［18］為了克服式（1）和式（2）在 θ=0°、90°處荷載為零的缺點，又提出

式中，q為作用在巷道外側非均勻壓力，q頂為圓形頂點處的壓力，β為荷載分布規律的不均勻性系數，θ為圓筒不同位置的角度，m為荷載非均勻程度系數。

侯鵬翔［19］提出不均勻荷載的分布，即

式中，α為與水平方向的夾角，β意義同式（1）。

以上是圍巖對支護結構的荷載形式的研究，但由于非均勻的徑向圍巖壓力和支護力是一對作用力和反作用力，因此，綜合以上研究，本文提出巷道周邊非均勻的徑向圍巖壓力（即支護反力）的分布形式如公式（5）及圖1。

1.4 關于求解思路

如圖2在基爾希解（問題（i））的基礎上，本研究將求解的問題（ii）分解為模型Ⅰ和模型Ⅱ的疊加。

模型Ⅰ：兩向不等壓應力作用，豎向 p0，橫向為λp0，巷道周圍無作用力，如圖3所示。

模型Ⅱ：在巷道周邊作用非均勻力，如圖4所示。其函數形式為q=q0（1+kcos2θ），（0＜k＜1）。

1.5 問題（ⅰ）的求解（即原基爾希解［20］）

其中，M=r2。

1.6 對于只在巷道周邊作用非均勻作用力時（ⅱ）的求解

巷道周邊處的非均勻作用力的函數形式（如圖1）為q=1+kcos2θ），（0＜k＜1），可 展 開 為q=（1+0.5k）q0+（0.5kcos2θ）q0。

按疊加法可將非均勻作用力q分解為

1.6.1 問題（Ⅰ）的解

第一組面力所對應的問題是巷道內邊界所受等壓支護力為(1+0.5k)q0，邊界條件為

由拉梅解求解思路得出各個應力分量為

其 中 ，邊 界 條 件 (τrθ)r=R0=0 及 (τrθ)r=b=0 已 自 動 滿足。只需要代入其余2項即可，即將式（9）、式（10）分別代入式（13）得

再由 b＞＞R0，可令 R0/b→0，得各應力分量A=q0(1+k/2)R20，C=0，將其代入式（13）、式（14）、式（15）得

1.6.2 問題（Ⅱ）的解

運用彈性力學中半逆解法思路邊界條件為

可以看出，要滿足外邊界條件，則應力函數φ中應當含有cos2θ因子，而從內邊界到外邊界σr和τrθ都是變化的，即σr、τrθ與r有關，φ是r的函數。因此，可假設應力函數為φ=f（r）cos2θ，應力函數必須滿足相容方程?4φ=1.1。由此可得

化簡并整理得

上式的通解為

將式（20）代入應力函數，得

將式（21）代入如下應力分量

整理得

根據邊界條件求解積分常數，將式（21）～式（24）代入式（30）～式（32），并令 r→∞ 得 A=B=0，C=-q0k/4，D=q0k12。

將其再代入式（30）～式（32），得

將式（18）～式（20）與式（33）～式（35）分別對應相加，即可得到巷道周邊處有非均勻作用力條件下的應力解為

將基爾希解與此解進行疊加即為最終修正解

其中，M=。

2 與基爾希修正解對應的位移解

圍巖應力值求出后再根據幾何關系和本構關系求出位移解。其中，幾何關系如下

本構方程如下

將式（39）、式（40）代入式（45）并注意到ur=dr，且r→∞時ur=0可得徑向位移

其中，Q=r，N=(1+v)(2E)。

同理將式（39）、式（40）代入（46）并注意到uθ=-ur)dθ，可得切向位移

3 算例與分析

為了便于進行比較，本文算例基礎數據取用文獻［13］的數據，即：原巖應力 p0=13.1 MPa，圍巖彈性模量E=6 GPa，泊松比v=0.3，側向不均勻系數λ分別取1.1、1.2、1.3、1.4，k暫取0.5。

（1）應力分析。圖5條件為q0=0.5 MPa時，巷道周邊不同角度θ及不同λ值時，徑向應力σr及環向應力σθ的對比結果。從圖5可知，在圖5的條件下，角度θ和λ對環向應力σθ的影響規律是：①在巷道的周邊處，角度從0°增大至90°，其環向應力σθ大約從21～24 MPa增加到30～40 MPa；②從巷道周邊往里，隨著角度增大，不同λ值的曲線分布越來越發散。角度θ和λ值對徑向應力σr的影響規律是：角度越小，圍巖深處的不同λ值的曲線分布越發散；反之，則曲線分布越聚集，說明此種情況下λ值的影響較小。

（2）位移分析。圖6為λ=1.2，r=R0時，不同q0條件下任一角度的徑向位移ur的對比結果。圖7為q0=0.5 MPa，r=R0時，不同λ值條件下任一角度的徑向位移ur的對比結果。

由圖6可知，非均勻力q0越大時，巷道周邊任意角度徑向位移越來越小，但總的來看，影響不大。由圖7可知，側壓力系數λ變化時，對巷道周邊不同角度的徑向位移的影響較大。例如：隨著λ的增大，水平方向即0°處的徑向位移也增大，但隨著角度增加至90°處及豎直方向的徑向位移卻會減小。由此可知，巷道周邊存在的非均勻力及兩向不等壓力對巷道周邊的徑向位移的影響機理不相同。

4 結論

（1）采用了與基爾希解相同的求解思路，進行了以下工作：①將作用于巷道周邊處的非均勻力分解為對稱條件和非對稱條件的疊加，其中對稱條件下的應力解采用彈性力學中拉梅解的求解方法，非對稱條件下的應力解采用彈性力學中的半逆解法求解，將二者進行疊加即求得非均勻力作用于巷道圍巖周邊的彈性應力解的解析式；②將此解析式與原基爾希解再進行疊加即可得到基爾希解的修正解；③利用巷道圍巖的幾何方程和本構方程推導出了巷道周邊處的徑向位移和環向位移；④通過工程算例的計算，分別對比分析了λ和q0的變化對σr、σθ和巷道周邊徑向位移ur的影響。

（2）通過對算例的計算與分析可知，側壓力系數λ增大時，σr與σθ均增大，q0值增大時，σr增大、σθ減小。但是由于非均勻力q相比較原巖應力小得多［21］，因此，它對圍巖彈性應力的影響有限。

（3）本研究獲得的修正解具有重要的理論意義。與原基爾希解相比，將巷道周邊存在的非均勻支護反力考慮在內，更加合理地描述了巷道圍巖的實際受力狀態，進而能更加準確地計算巷道圍巖的彈性應力及位移場的分布情況。

（4）本研究提出的巷道周邊非均勻的徑向圍巖壓力（即支護反力）的分布形式并不是唯一的。按照本文的求解思路，讀者可以使用自己更易接受的分布形式，對基爾希解進行修正求解。

（5）利用本研究的修正解和文獻［17］給出的解析思路，可以進一步地探索非均勻地應力作用下的巷道/隧道圍巖與支護的相互作用機制以及全過程的求解。

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