簡單桁架結構剛度分析方法

(廣州大學　廣東　廣州　510006)

引言

隨著有限元法不斷完善，它的應用領域越來越寬，已成為設計領域中的重要的分析工具。有限單元法，也稱結構力學的矩陣分析方法，其主要內容包括以下兩部分：

首先是進行單元分析。把一個連續的結構分解成有限個單元的集合體，這些單元僅在有限個結點上相連接，這個過程稱之為結構的離散化。

其次是進行結構的總體分析。在單元分析的基礎上，再把各單元集合起來進行考慮，由各單元剛度矩陣集合形成結構的總體剛度矩陣。

本文僅涉及到桁架結構，作了以下兩個假設：桁架的桿件應力應變關系符合虎克定律；桿件各節點為無摩擦的鉸結點。

一、桿單元剛度矩陣

(一)局部坐標系下的單元剛度矩陣[1]

圖1　單元e受力圖

桿端軸向力與桿端位移間的關系為：

(二)整個坐標系下的單元剛度矩陣

1.桿端力和位移的坐標變換

[T]為正交矩陣

2.整體坐標系下的單元剛度矩陣

桿單元的桿端力和桿端位移在整體坐標系下的關系：

{F}(e)=[k](e){Δ}(e)

單元桿端力與桿端位移在局部坐標系下的剛度方程為：

等式兩邊同乘[T]T，得：

比較兩式，便得到：

3.結構總體剛度矩陣

空間桁架結構桿件較多，本文采用單元集成法求總體剛度矩陣[1]，

單元集成法分為兩步：

(1)由單元剛度矩陣[k](e)求單元貢獻矩陣[K](e)

首先給桁架結點位移(或結點力)進行兩種編碼：I.總碼，即在整個分析中，結點位移在結構中統一進行的編碼。II.局部碼，即在單元分析中，給個單元的兩個結點各自的獨立編碼。

(2)由單元貢獻矩陣[K](e)求總體剛度矩陣[K]

總體剛度矩陣[K]的求解就是單元的集成過程，將n個單元貢獻矩陣[K](e)中的元素進行累加。

經過上述的桁架結構的結構分析之后，接下來就是用MATLAB語言進行編寫遺傳算法，Matlab程序要實現的5個重要模塊分別為：單元剛度矩陣的求解、單元組裝、節點位移的求解、單元應力的求解、節點力的求解[4]。

二、經典算例

如圖2所示的結構，各個桿的彈性模量和橫截面積都為已知。試基于MATLAB平臺求解該結構的節點位移、單元應力以及支反力。這是一個16桿空間桁架，已知桿件截面尺寸相同，材料相同。彈性模量E=2.1×108KN/M2，截面面積A=3cm2。

圖2　十六桿平面桁架

解答：對該問題進行有限元分析的過程如下

(1)結構的離散化與編號

對該結構進行自然離散，節點編號和單元編號如上圖所示

(2)控制數據:單元數 節點數 單元類型數 荷載數：16,9,1,3

(3)結點坐標及約束信息(結點號，X坐標，Y坐標，Z坐標，X方向約束，Y方向約束，Z方向約束):

1,0,6,8,0,0,0;4,0,0,8,0,0,0;7,4,6,0,1,1,1;2,4,6,8,0,0,0;5,2,3,11,0,0,0;8,4,0,0,1,1,1;3,4,0,8,0,0,0;6,0,6,0,1,1,1;9,0,0,0,1,1,1

(4)單元信息(單元號，單元起始點，單元末端點，單元類型號)

1,1,2,1;5,1,5,1;9,1,6,1;13,4,6,1;2,2,3,1;6,2,5,1;10,2,7,1;14,1,7,1;3,3,4,1;7,3,5,1;11,3,8,1;15,2,8,1;4,4,1,1;8,4,5,1;12,4,9,1;16,3,9,1;

(5)單元類型參數(類型號，彈性模量，截面積)：1,2.1e+8,0.03，

(6)結點荷載(結點號，荷載作用方向，荷載大小)：3,2,20，4,2,20，5,2,20，

(7)計算結果的整理

通過主程序的運行得計算結果,整理如下

結點位移：(單位：×104m)

X方向位移：1-5號節點-0.1488E-06，-0.1311E-06，-0.1009E-06，-0.7894E-06，0.1567E-06；7,8,9節點均為0.

Y方向位移：1-5號節點分別為0.2098E-05，0.1997E-05，0.2297E-05，0.2110E-05，0.2534E-05；7,8,9節點均為0；

Z方向位移：1-5號節點分別為-0.6898E-07，-0.5700E-06，0.5713E-07，0.5763E-06，0.4728E-07；7,8,9節點均為0.

結點軸力和應力單位：軸力KN;應力×10MPa。

軸力1-16單元桿分別為：3.2398，-24.8701，-3.8998，5.1289，-8.0333，-7.5968，7.6019，8.0298，-5.5038，-44.4898，4.4961，45.5038，-50.4579，0.3998，49.5388，0.3989

應力1-16單元桿分別為：1.0798，-8.2789，-1.1389，1.7098，-2.6788，-2.5337，2.5401，2.6803，-1.7930，-14.8331，1.4991，15.1702，-16.8099，0.1402，16.5141，0.1371

三、結論

通過經典十六桿平面桁架案例模型中計算，發現結構桿件上的位移能夠準確地求解出來，而且精度高，各桿件的軸力和應力大小也在合理的代數計算值范圍內，與已有經典算例中的代數解相符，可以得出本次有限元程序是準確的。在現實中，大部分三維桁架結構更加復雜，可以在本文的基礎上將結構剛度分析在可以繼續擴展應用于復雜結構設計中，程序編寫上擴大節點應力搜索范圍，這對于實際工程中有更好的實用性。