理解經典電磁學理論

王 青

(清華大學物理系，北京 100084)

經典電磁學理論的核心是麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式。前者確定了電場強度和磁感應強度對給定的電荷電流源密度分布的依賴方程組(或者說已知電荷電流源的分布決定了電磁場)，后者則對給定的電場強度和磁感應強度給出了電荷電流源所受的電磁力(已知電磁場的分布決定了源的受力)，若再輔以牛頓第二定律并加上源所受的其他可能的非電磁力，則可以寫出電荷電流源的運動方程(或者說已知電磁場決定了電荷電流源的運動)，場方程和運動方程兩者結合起來就確定了一個電磁系統的完整運動規律。本文只限于討論真空中的電荷電流源及電磁場，如若考慮介質材料，須要在上面所討論的電荷電流源中加入由于介質的極化和磁化導致的極化磁化電荷電流的貢獻。

在學習、研究和應用電磁學理論時我們總希望能盡量深入地理解它，特別是能有直觀圖像的理解，麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式為什么會是這個樣子？一定是需要目前電磁學理論所給出的這種結構而不可能有所變化嗎？這個問題在一般的教科書和研究論文中進行深入論述的比較少，本文就此作一討論。

談論理解一個事物總要依據一些出發點，理解麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式同樣需要有出發點，教科書里一般有兩類理解方式：一是從實驗定律出發，另一是從作用量出發。對這兩種做法本文將分別在第1和第2節作一系統回顧和評述，在第3節給出一種自認為更優的新的理解方法，并進行討論。著名物理學家費曼曾經說過“從一個新角度看待舊問題是很有意思的”。如果覺得本文前面的基本內容過于基本和簡單，讀者可以直接從2.3節的對作用量做法的評述開始閱讀。

1　從實驗定律推導經典電磁學理論

通常的靜態和穩恒情形的麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式可以從實驗給出的電荷源之間相互作用力的庫侖定律、電流源之間相互作用力的畢奧 薩伐爾定律出發，將電場強度和磁感應強度分別定義為單位電量的電荷電流源所受的電力和磁力得到。具體地，若一團由電荷密度ρ1(r)電流密度j1(r)描述的穩恒電荷電流源與另外一團由電荷密度ρ2(r)電流密度j2(r)描述的穩恒電荷電流源相互之間發生電磁相互作用，庫侖定律和畢奧-薩伐爾定律及疊加原理告訴我們第二團電荷電流源對第一團電荷電流源的電磁作用力是

其中，ε0和μ0分別是真空的介電常數和磁導率;中括號里第一項是庫侖定律給出的電作用力;第二項是畢奧-薩伐爾定律給出的磁作用力，注意在式(1)中疊加原理所起的作用是使各個點電荷電流源之間的電磁相互作用力可相互疊加，因而使得總的兩團電荷電流源的總相互作用電磁力呈現為一個數學上的積分求和形式，如果是純粹的點源只需將點電荷的電荷密度的δ函數表達式代入式(1)(注意電流密度也可以用電荷密度來表達)即可完成式中的體積積分，得到點源之間的電磁相互作用力。式(1)給出的是二對一的作用力，反過來一對二的作用力只要把式(1)中的1和2下標進行交換就可得到。如果考慮電場強度和磁感應強度是單位電量的電荷電流源所受電力和磁力，可以進一步把式(1)改寫為

其中的電場強度E1(r1)和磁感應強度B1(r1)分別為

式(2)的第二個式子就給出了洛倫茲力公式，而式(3)和式(4)就分別給出了穩恒電荷電流源產生的靜電場的電場強度和靜磁場的磁感應強度。進一步從式(3)通過一些微積分運算，可以得到

其中去掉了腳標1。式(5)給出的是麥克斯韋方程組中的第一個方程，其積分形式為

通常稱為高斯定理，它表示一個體積內部的總電荷由體積表面的總電場強度的通量決定。式(6)只對靜電場成立，在電磁場隨時間變化時要擴展成實驗上的法拉第電磁感應定律，它將式(6)擴展為

式(7)給出的是麥克斯韋方程組中的第三個方程。類似地從式(4)通過一些微積分運算，可以得到

式(8)給出的是麥克斯韋方程組中的第二個方程，式(9)積分表達式是

通常稱為安培環路定理，它表示流過一個曲面的電流強度由曲面邊界上的磁感應強度的環量決定。麥克斯韋人為補放進式(9)里一個位移電流項以保證如下電荷守恒定律成立，即

因此式(9)被替換為

式(11)給出的是麥克斯韋方程組中的第四個方程，相應地式(9′)也需要補充進位移電流的貢獻。這樣從實驗定律出發，包括疊加原理、庫侖定律、畢奧-薩伐爾定律、法拉第電磁感應定律、電荷守恒定律(它可看作麥克斯韋在安培環路定理中補充的位移電流的依據)，就得到電磁學理論中的麥克斯韋方程組與洛倫茲力公式。

要想理解推導出的電磁學理論結果只需理解作為出發點的這些實驗定律。可惜這些實驗定律看起來似乎不那么好理解!為什么一定可以疊加？自然界存在的反例是除電磁力之外的另外兩種基本作用力：強相互作用力和弱相互作用力都不滿足疊加原理。電磁力為什么一定要平方反比？我們知道平方反比對應電磁力的量子-光子是無質量的，如果光子有質量，平方反比則會被改變。雖然人們到目前為止并未測量到自由空間中的光子具有非零質量，但實驗只能給出光子非零質量的上限值，永遠無法確認其精確為零。法拉第電磁感應定律就更令人費解了，為什么變化的磁場要產生電場？對動生電場，可以依據洛倫茲力推導出相應的法拉第電磁感應定律，但對感生電場似乎找不出為什么是法拉第電磁感應定律的理由。在后面的第3節將依據協變性給出一種理解和解釋。

有人認為這些是實驗定律，沒必要去理解它們，直接承認就是。這就相當于直接承認麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式而不去理解它們為什么是這樣一樣，是一種知其然但不求知其所以然的不求甚解態度。

有人借助麥克斯韋方程組中出現的各種量在不同慣性參考系之間的洛倫茲變換關系，要求方程的形式在不同慣性參考系中都必須一樣，則可以從一組無源的麥克斯韋方程組(方程(7)和(8))和另一組有源的麥克斯韋方程組(方程(5)和(11))中各自任選一個方程推導出每組各自剩下的另外一個方程。這使我們可以把原本需要理解的4個麥克斯韋方程約化成兩個，讓問題得以簡化。但遺憾的是這種處理只是簡化了對麥克斯韋方程的理解，尚未根本解決問題。因為剩下的兩個麥克斯韋方程的理解問題依然未被解決，且為了實現這個簡化還額外施加了協變性(即洛倫茲變換及方程在所有慣性系都形式一樣)的假設。

總的看來，雖然從實驗定律出發導出麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式是歷史原本的發展路徑，但從理解經典電磁學理論的角度，這不是一個有效的方式。

2　從作用量推導經典電磁學理論

從本節開始將使用狹義相對論協變的電磁學理論描寫方式，只在必須時才使用分量回到上節給出的麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式的傳統非協變的表達式。本節主要是介紹標準的理論物理是如何從作用量推導出麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式的，并進行評述。

在理論物理學中是把作用量作為物理系統的研究出發點，從作用量求極值得到體系的運動方程。一個帶電質點所對應質點運動軌跡的運動方程可以通過作用量對質點的運動軌跡求極值得到，它實際是牛頓第二定律，其中出現的力就是洛倫茲力，而從作用量對其中的電磁勢求極值就給出有源的兩個麥克斯韋方程，另外兩個無源的麥克斯韋方程對下面就要引入的電磁勢來說是恒等式，它們實際上是把電場強度和磁感應強度改用電磁勢來表達時的場強定義公式。

在作用量對電磁體系的描寫中，描述電磁場的基本物理量不再是電場強度和磁感應強度，而是最重要的基本量——四度電磁勢Aμ。為此需要先介紹它是如何引進的。為了保證物理方程在所有慣性系都具有相同的形式(這是狹義相對論中的第一條基本假設：相對性原理)，物理量必須是洛倫茲變換下的張量。電磁場在勢的層級必須是一階張量也就是四矢量，比它更低階的標量無法描述電磁場(還有一個次低階的1/2階張量也叫旋量在經典場論中不會出現)。因此我們就引入一個四度矢量——電磁勢Aμ來描述電磁場的行為(注意當指定其為四矢量時意味著已經確定了它在不同慣性系之間的洛倫茲變換關系)。在作用量體系中洛倫茲力公式和麥克斯韋方程組是分別從兩個獨立的系統進行推導的，一個系統負責導出洛倫茲力公式和兩個無源的麥克斯韋方程，另一個系統負責導出另外兩個有源的麥克斯韋方程，下面分別敘述。

2.1　從作用量推導洛倫茲力公式和無源的麥克斯韋方程

先考慮洛倫茲力公式的推導。對一個電量為q質量為m的點電荷在已知的外電磁勢Aμ中從固定的a點到固定的b點運動，需要確定它是從a走怎樣的軌跡運動到b的。取它在t時刻位于空間r處，用閔氏時空的四度坐標矢量xμ=(r，i ct)來描寫其軌跡，其中r是坐標四矢量xμ對應下腳標μ分別取1、2、3的3個空間坐標分量構成的普通矢量，i ct是坐標四矢量xμ對應下腳標μ取4的時間坐標分量，它是純虛的(本文的協變表達采用了老式的標記法，不區分協變和逆變指標，代價是在時間分量中引入虛數i)。而對應地描寫這個點電荷所產生電磁勢四矢量也可以分出其空間分量和時間分量，A是矢量勢;φ是標量勢或電勢。這個體系的作用量為

①要求S是標量;

②要求S用d xμ和Aμ以最為簡單的形式來構造。其中第①條用來確保作用量一旦在某個慣性系取極值，則在所有慣性系都為極值;第②條找不出合適的理由只能理解為大自然喜歡簡潔了。有了式(12)給出的對一個帶電質點在外電磁勢Aμ中的作用量，下面就證明通過把它相對帶電質點的軌跡d xμ求極值(因為協變的計算過程并不經常在教科書中出現，以下就把詳細的推導過程羅列出來)，就可以得到含有洛倫茲力的軌跡運動方程。0=δS

其中我們引進了四度速度矢量uμ

對式(14)等號右邊的第一項進行交換δ和d對xμ的作用，δd xμ=dδxμ，然后分部積分，把d改為作用在前面的muμ+q Aμ上，差別是全微商導致的邊界項沒有貢獻，并把式(14)等號右邊第二項的腳標交換名稱，得到

由于上面公式里的δxμ是任意的，因此得到方程

是由電磁勢構造的二階反對稱場強張量。式(16)即是描述此帶電質點的相對論協變的牛頓第二定律運動方程，它給出四度力矢量Kμ為

F即是這個帶電質點受到的洛倫茲力，從式(18)可以寫出其第i個分量為

我們看到這個洛倫茲力對電磁勢的依賴是通過由電磁勢構造的二階反對稱場強張量Fμν(共有6個獨立分量)來實現的，把其中的3個獨立空間分量定義為磁感應強度，另3個獨立的空間和時間的交叉分量定義為電場強度，即

則式(19)就恢復成通常所見的洛倫茲力公式

到此為止，我們在一個在外電磁勢中運動的帶電質點體系中通過對作用量求極值推導出了帶電質點所受的洛倫茲力。注意這里的電場強度和磁感應強度是為了描述帶電質點所受的外電磁力而通過式(17)和式(20)引入的有效導出量，它們不是體系的基本物理量，體系的基本物理量是四度電磁勢Aμ。

當引進了場強以后，發現這樣引入的場強張量自然滿足下面的方程

它是無源的麥克斯韋方程組的協變表達形式，對定義式(17)來說它是恒等式。將式(22)改用式(20)中引入的電場強度和磁感應強度來表達，經過一些計算可以證明它的腳標全都是空間分量的非平庸部分時，即是式(8)，而它的腳標兩個是空間分量一個是時間分量的非平庸部分時，即是式(7)。由此在從作用量求極值推導出來的洛倫茲力中引入了電場強度和磁感應強度后，進一步推導出了4個麥克斯韋方程組中的兩個無源方程式(7)和式(8)。尚未推導的就只剩下4個麥克斯韋方程組中的兩個有源方程了。

在進入另外一個系統之前，先來討論目前系統的一些性質。注意式(12)給出的作用量在電磁勢的如下規范變換下是保持不變的，即

因為規范變換對式(12)等號右邊的第二項只在a和b這兩個帶電質點運動軌跡的頭和尾邊界上造成影響，而不影響我們所關心的軌跡中間。我們的討論固定了軌跡的兩端a和b，只討論兩端點之間的中間可能的軌跡變化，因此可以認為式(12)第二項在規范變換式(23)下保持不變，簡稱規范不變，而式(12)第一項因為根本不依賴電磁勢Aμ因而也是規范不變的，因此稱這個在外電磁場中運動的帶電質點體系具有規范不變性。而推導出的結果——運動方程(16)和引申導出的無源麥克斯韋方程(22)顯然都是規范不變的，因為由式(17)定義的二階場強張量Fμν本身在規范變換式(23)下就是不變的量。這里引進的規范不變性，在本文最后將升級成我們理解電磁作用最最重要的基本對稱性。

2.2　從作用量推導有源的麥克斯韋方程

現在考慮一團用四度電流密度矢量jμ=(j，i cρ)描寫的已知的電荷電流源所產生的電磁場系統，其中，j是電流密度;ρ是電荷密度，這個體系的作用量是

式(24)等號右邊的第一項只包含電磁勢Aμ，是描述一個無源電磁場的作用量項，第二項是電磁勢和電荷電流源的相互作用項，它實際就是式(12)中等號右邊的最小耦合項，只不過現在把原來的單個點電荷推廣到很多電荷分布的情形了。為了看到這一點首先注意到一般的四度電流密度回到針對電量為q的點電荷時可以寫為

其中利用了在電磁學里對一團以相同速度v運動的密度為ρ的電荷，其電流密度可以寫為j=ρv的結果。把式(24)中的四度電流密度項針對電量為q的點電荷特別地寫出來，并利用式(25)及對電量為q位于r′處的點電荷的電荷密度為ρ(r)=qδ(r-r′)，可以得到

其中空間體積積分由δ函數可以被積出來，結果約束到點電荷所在的空間位置，時間積分則直接通過被置換成對點電荷時空軌跡d xμ的積分。式(26)正是式(12)中的最小耦合項，也就是說雖然現在與上面2.1節中討論的是不同的系統，但出現在作用量中的電荷電流源與電磁勢Aμ的相互作用項是完全一樣的。

現在討論在2.1節中的最小耦合項導致的規范變換對稱性對很多電荷分布的情形是什么要求？把式(26)右邊滿足的規范不變性施加到式(26)的左邊，利用式(23)我們得到

其中進行了分部積分并略去了不起作用的邊界項。由于α是任意的，因此式(27)成立要求

這是著名的電荷守恒的協變表達式，用分量寫開就是

因此對一團電荷電流系統，要求其規范不變就導致電荷守恒，或者說電荷守恒背后的對稱性原理就是規范對稱性。

既然式(24)中的第二項滿足規范不變或者電荷守恒，把這個性質外推到強行要求式(24)的第一項也必須是規范不變的，即

③要求S規范不變。

這個第一項同樣滿足2.1節對作用量提的兩條要求①和②，而目前的規范不變(或電荷守恒)可以被看作是對那兩條要求再進行補充的第③條要求，它對式(12)給出的作用量是恒滿足的。注意要求③對第一項是很不平庸的，如果沒有這個要求，則在第一項里可以出現更加簡單的項：還可以在這項前乘個常數。這個項對應電磁場量子-光子的質量項，沒有這項也就對應前面曾經提到的光子沒有質量，或者說規范對稱性禁戒光子具有質量。實際上即使滿足上面①～③條要求，在式(24)中原本還可以允許存在一個和第一項類似的項的εμνσρ是四階全反對稱張量，ε1234=1，對腳標交換偶次數值不變，交換奇次多出一個負號，腳標中有兩個或兩個以上相同則為零)，還可在這項前面乘以一個常數。只是這項是一個時空坐標的全微商項：

若把它加到作用量中，考慮到還有一個時空體積積分這個項就變成在時空邊界(包括空間無窮遠的邊界和時間的起始時刻和終了時刻的邊界)上場的貢獻。而在我們的討論中，時空邊界上的場要么是趨于零的要么是固定的，式(30)提供的這項對實際關心的時空邊界內部的場的變化是沒有貢獻的，因此這項可以在作用量式(24)中不予考慮。值得指出的是，如果是討論有限大的介質中的電磁場，式(30)可能會貢獻介質邊界的一些效應因而不能被忽略，這些效應往往和拓撲有關，例如當今在凝聚態物理中熱門的拓撲絕緣體就和這項有關。

下面將通過式(24)給出的作用量對電磁勢Aμ求極值，得到兩個有源的麥克斯韋方程：

由于δAν是任意的，因此上式為零意味著

這就是有源麥克斯韋方程的協變形式，具體計算時可以發現它的時間分量是式(5)給出的麥克斯韋方程，空間分量是式(11)給出的麥克斯韋方程。以上是對已知的電荷電流源從作用量式(24)出發對電磁勢求極值推導出了兩個有源的麥克斯韋方程(5)和(11)。

2.3　對從作用量導出經典電磁學理論的評述

在引進了電磁勢后，從作用量出發，可以嚴格推導出洛倫茲力公式和麥克斯韋方程組，在這個體系中對經典電磁學理論的理解就轉變為對電磁勢的引進，對式(12)和式(24)中的作用量為什么這樣選取的理解和對為什么作用量要取極值的理解。本節開始已經討論過電磁勢的引進理由，下節還會對它進行更加深入的討論，在這里不再贅述。由于作用量是由前面提出的3個基本要求①、②、③來確定的，因此問題進一步轉化為對這3條基本要求和為什么作用量要取極值的理解。下文將逐條討論。

對基本要求①，在經典理論中只要求作用量的極值，而把作用量取為標量似乎有些要求過高了，因為沒有見到非標量的其他各種張量在洛倫茲變換下完全無法保持極值性質的討論，①在經典理論中提供的應該是充分條件，而不是充分必要條件。如果進一步考慮量子物理，在量子理論中，從路徑積分的角度可以看出，不只作用量取極值的軌跡對物理有貢獻，所有可能的軌跡都會有貢獻，且不同軌跡對物理的貢獻是以其作用量相應取值作為權重的(權重因子正比于eiS/?)，因此要保證物理不隨慣性系選擇而改變，所有作用量的可能取值都不能隨慣性系的選擇變化，這正是對作用量為標量的要求。

對基本要求②，初看起來挺自然的，但細究現實世界確存在不選最簡單理論結構的例子。在量子場論中可以證明一個量子場論的體系可以用一個有效的經典場論體系來描寫，并且量子場論提供了一套完整按照普朗克常數正冪次展開的計算這個有效經典場論體系的作用量的方法[1]，結果這個有效作用量在最低階(普朗克常數的零次冪)就是量子體系的作用量，后面再加上正比于普朗克常數各階冪次的量子修正。如果原來量子體系的作用量滿足了基本要求②，那么這個有效作用量就顯然不再滿足了，因為那些來自量子修正的項顯然要比原來出現在量子體系里的作用量中的項要復雜得多，因而破壞了簡單性原則。注意這里量子物理所起的效果是破壞確定作用量的基本要求，而在上面對①的討論中確是反過來，量子物理是更加支持確定作用量的基本要求。

對基本要求③，由于規范不變性是一個很抽象的對稱性，要求物理體系滿足這個對稱性在直觀上并不好理解。在目前已知的除引力外的3種物質間的基本相互作用原始都具有某種規范對稱性，或者說規范對稱性加上基本要求①和②完全決定了這些基本相互作用，但實驗證實了對弱作用的規范對稱性發生了自發破缺。在下一節的新的理解方式中，我們將放棄①和②，將③最后上升為唯一用來決定和理解理論的基本要求。直觀上從規范對稱性導出的電荷守恒定律(如果是其他的規范對稱性也就對應其他荷的守恒定律)相對規范對稱性似乎更好理解一些，畢竟它只是說孤立的電荷不會產生或湮滅。

對作用量取極值這一經典力學體系最基本的最小作用量原理，看起來很自然和優美，但如在對①的討論中提到的，當進入量子物理后，就不再只是作用量的極值對物理有貢獻了，非極值也會有貢獻，因此似乎極值原理在自然界也并不總普適，而只針對經典體系適用。實際上即使只對經典體系，筆者也在文獻[2]中介紹和討論過一些可能不存在作用量的電磁體系。

本節是把電荷電流源與場分開看成各自獨立的系統進行討論的，為使討論完備，下面補充討論把兩者結合起來的自作用體系。有人說既然在2.2節引進了電磁場的作用量，也就是式(24)中的第一項，為什么在式(12)中不考慮這一項的貢獻呢？我們可以辯解說式(12)描寫的是在外電磁場情形下的體系，純電磁場的項不應該參與對作用量求極值因而不產生貢獻。但仔細檢查求作用量極值的步驟式(14)，其中確實含有對電磁勢的變分δAμ，只是由于外電磁勢是固定的不再是獨立變分變量，這個變分進一步被約化成對其所依賴帶電點電荷的時空坐標的變分：

它說明即使電磁勢本身是固定的，由于帶電質點在其中運動，含電磁勢的項仍可能會對變分有貢獻。由此確實應該把式(24)中的第一項加入式(12)。以下看看真把它加進去的效果。利用式(31)的推導過程，可以讀出加進這項導致在式(14)中需要新補充一項：

其中的δxσ只在前面的場強和電磁勢中所依賴的坐標位于粒子的軌跡上時才不為零，而帶電質點的軌跡是在四維時空中的一條曲線，在這條曲線(無窮細)上式(34)前面的時空積分體積元d t d V→0，因而導致式(34)實際上為零。式(31)最后一個等式的右邊第二項不像第一項(也就是式(34))在帶電質點的軌跡曲線上為零，是因為其中的電流密度在軌跡上出現了δ函數的無窮大，它和無窮小的時空體積聯合給出了有限的貢獻。因此得到結論，即使把式(24)中的第一項加入式(12)，由于新加項的實際貢獻為零，因此對2.1節的結果式(16)沒有任何影響，也就是洛倫茲力公式是不變的。而把式(24)中的第一項加入式(12)后，式(12)所描寫的系統中的電磁場就通常不再被理解為系統之外的電磁場了，而是系統本身的帶電點電荷所產生的電磁場。對這樣一個源和其產生的場結合起來的自作用體系，我們現在證明了洛倫茲力公式仍然是正確的!雖然在原始洛倫茲力公式的場強中若考慮受力電荷所發出的場會產生不知如何處理的無窮大。

上面討論問題類似地也可以反過來問，既然在2.1節引進了帶電質點本身的作用量，也就是式(12)中的第一項，那么為什么在式(24)中不考慮這一項的貢獻呢？這里的回答是平庸的：完全可以在式(24)中加上這一項(當然要針對每個點電荷都加相應的一項)，但在式(31)的對有源麥克斯韋方程的推導的過程中，由于這些新加的項和動力學變量電磁勢無關，因而對求極值沒有影響，也就對最后推導出的有源麥克斯韋方程沒有影響，或者說對自作用電磁體系的電磁場仍然滿足有源的麥克斯韋方程。因此不管如何組合，場方程和洛倫茲力公式都總是成立的(無源的部分如前面的討論——只依賴定義式(17)，和作用量選擇無關)。

3　對經典電磁學理論依據電磁勢的新理解

從理解經典電磁學理論的角度看，第2節依據作用量的方法顯然比第1節依據實驗的方式好，還有沒有更好的方式呢？有的!這是本節要介紹和討論的內容。判斷是否更好就看是否發展了一些新的更簡潔、更直觀的理解方式來替換第2節中所給出的3條基本要求和最小作用量原理。

首先用四度電磁勢Aμ來描述電磁場的行為，這是第2節給出的作用量的理解方式中同樣要做的假設，理由已在第2節一開始介紹過了，這個假設雖然不夠直觀但確是無奈而又必須的基本選擇。實際上電磁勢是整個電磁作用最為基本而又神秘和難以理解的基元，電磁場作用量中電荷電流源與電磁場相互作用的最小耦合項中現身的不是電場強度和磁感應強度而是電磁勢，這一現象本身就顯示電磁勢在電磁作用理論中的地位遠比電場強度和磁感應強度重要。電磁勢的空間分量是電磁學中的矢量勢，它在電磁學和電動力學中是最難讓人理解的量。很多人說它沒有物理意義，因為其含有規范變換自由度(實際上到本文最后，我們將把這種規范變換自由度導致的規范對稱性上升為理解電磁理論的第一原理，而將電磁勢反過來看成是實現這種對稱性的手段和工具);又有人說它有物理意義，因為AB效應確實給出可觀察的現象;楊振寧先生在研讀早年法拉第寫的據說沒有一個公式的三卷不朽巨著《電學的實驗研究》后撰寫了《麥克斯韋方程和規范理論的概念起源》，楊先生在該文中提到，法拉第的書中的電緊張態(實際就是矢量勢)頻繁出現在書的各處，并且又被頻繁賦予各種其他的名字，諸如特殊態、強度態、特殊狀態等，但從始至終未給出清晰的定義。法拉第是特別以物理圖像和直觀見長的大物理學家，他都描述不清這個矢量勢，可見要想直觀出其真面目何其之難!因此對電磁勢的理解目前我們可能只能止步于此。

一旦有了電磁勢Aμ，就可以人為地利用式(17)定義二階反對稱場強張量Fμν。人們會問，為什么要特別選擇如此的方式構造這樣一個反對稱的場強張量？目前最可信賴的回答就是我們需要一個最為簡單并且在式(23)給出的規范變換下保持規范不變的量。或者換句話說：是要求理論具有規范對稱性導致我們引入了這個規范不變的量。而如2.1節最后的部分所討論的，從Fμν的定義又可以直接給出無源的麥克斯韋方程組式(22)。首先就從四度電磁勢的存在及二階反對稱場強張量的定義出發導出了無源的麥克斯韋方程。

進一步注意到對引進的用四度矢量勢定義的二階反對稱場強張量Fμν，它自然滿足方程：

這提示我們若按式(32)定義一個四度電流密度jμ，這個四度電流密度將滿足電荷守恒式(28)。注意在這里有源的麥克斯韋方程式(32)不是推導或假設出來的，而是作為對電荷電流源的定義而出現的，也就是說我們用有源的麥克斯韋方程通過電磁場來定義電荷電流源的密度。進一步利用式(20)從二階反對稱場強張量出發再定義具體的電場強度和磁感應強度，因而式(32)的分量形式就如2.2節最后所述變成式(5)和(11)。按現在的做法，式(5)被理解和解釋為用電場強度的散度?·E定義了體系的電荷密度ρ，而式(11)被理解和解釋為用磁感應強度的旋度?×B和電場強度的時間變化率定義了體系的電流密度j。而傳統對這兩個有源的麥克斯韋方程的理解是：我們事先已經從別的地方分別定義或引進了電荷密度ρ、電流密度j、電場強度E和磁感應強度B，式(5)和(11)這兩個方程只是建立起這些量之間的關系，把它們相互關聯起來。而我們現在放棄了來自別處的電荷密度ρ和電流密度j定義，改為采用這兩個方程來定義它們，也就是放棄了原來電荷電流的實體定義，而改用電磁場來定義和描述它們，這樣做合理嗎？有依據嗎？目前能夠挖掘出的合理性有如下3條：一是如此定義的電荷密度ρ和電流密度j滿足電荷守恒定律式(29);二是在電磁學的鏡像法中，源的分布完全是由場來決定的，并且我們經常賦予現實以虛幻的“鏡像”電荷電流源來描述實際的電磁場分布，鏡像源并不是真實存在的源，而只是在非求解區域虛設的圖像感很強直觀的源，只不過它們在求解區產生物理的電磁場;三是如果我們接受電荷電流分別是電場和磁場源的圖像這一觀念，在場的力線圖上確能夠看出源的獨有的特點。在三維歐幾里得空間中數學上的場論給出對矢量場的空間分布只存在兩種類型的源，分別用散度和旋度代表。散度的直觀圖像是場點單位體積的通量，直接對應場力線的發散或收斂源，也就是?·E從電力線看確實是電場發散和匯聚的核心，也就是源;而旋度的直觀圖像是場點單位表面的環量，直接對應場力線的渦流源。?×B從磁力線看確實是磁場渦旋的中心，也就是源。從這個角度，麥克斯韋方程組另外兩個無源的方程原本也應該拿來定義磁荷和磁流的源，只是自然界中不存在磁單極因此那兩個方程定義的是零磁荷磁流源。這也反映了這樣一個事實：只要從四度電磁勢出發，就自然不會存在磁單極!這也可以看成一種對磁單極不存在的理論詮釋。

上面的討論若要更完備則在式(11)中還額外要考慮麥克斯韋人為加入方程的位移電流，其直觀圖像應回溯到原始麥克斯韋文章中給出的渦旋模型，現代的理解是在考慮了介質這一項從原來恰好是極化隨時間變化額外產生的電流項，如此反襯理解原來的應該是個代表電流效應的項。另一個不依賴介質對的理解是，由于我們通過式(17)和(20)就可以知道電場強度和磁感應強度在洛倫茲變換下是相互轉換的(也就是電場和磁場只是一個統一的電磁場的不同側面)，另外也同時知道?和在洛倫茲變換下也是相互轉換的，由此?×B和在洛倫茲變換下就是相互轉換的，一個在所有慣性系都具有同樣形式的方程若具有?×B項，則一定也會有項，因為即使沒有換個慣性系也會通過洛倫茲變換冒將出來，類似地若方程里有?×E項，則一定也會有項，這就形成第1節說的不容易理解的法拉第電磁感應定律。在這里電場強度和磁感應強度在洛倫茲變換的具體變換性質是非常重要的，例如它們就決定了?·B和在洛倫茲變換下不會像?×B和那樣可以相互轉換，?·E和在洛倫茲變換下也不會相互轉換。這樣看似乎比較復雜，反而是在1+3維閔氏時空中用二階場強張量的協變散度來定義協變的四度電流密度，也就是式(32)，可以比較簡明直接地說明問題。從協變性的角度看，由于電場強度和磁感應強度是電磁場的不同側面，一個的旋度一定會導致另一個的時間微商，或從圖像上隨時間變化的一個一定會產生另一個的渦旋，也可以說對電場強度和磁感應強度這一對物理量，一個的時間變化率也是另一個的渦旋源。簡潔地說就是一個場渦旋的源有物理的流密度還有另一個場的時間變化率。如此我們可以說從場的角度來定義和理解產生場的源既是合理的也是自然和簡單的，在這樣的詮釋框架里，源不再是基本的而是場的衍生物，是場的發散和匯聚或渦旋的核心。這是一個完全依據場所建立的簡潔直觀的物理圖像!

以上這種討論因為直接針對麥克斯韋方程組似乎可以被拿來應用到第1節，也就是在第1節里不必退回到實驗定律的原始形態，姑且把做了一定推導演繹后得到的麥克斯韋方程就看成是變形了的實驗結果，這樣似乎也可以從它們來直接理解電磁學理論。其實不然，因為如果直接針對麥克斯韋方程組，就得假設存在電場強度和磁感應強度，這比假設存在四度電磁勢要復雜(一個是6個變量，另一個是4個變量)，而且還看不清楚其洛倫茲變換關系。若一開始就假設二階反對稱場強張量Fμν，可以確定其洛倫茲變換關系，但只要沒有其與電磁勢的關系式(17)，雖然對有源的麥克斯韋方程組，確可把它們看成是對電荷電流源的定義，我們仍舊無法推出無源的麥克斯韋方程組，因此也就無法解釋為什么沒有磁單極。

另一種質疑此種理解有源麥克斯韋方程組的可能是：假如現實的電磁場對應的光子有非零質量，那么規范對稱性破缺了，電荷守恒將不再成立。這時由于我們仍用電磁勢作為理論的基礎，因而無源的麥克斯韋方程(22)仍然成立，但有源的麥克斯韋方程組(32)就不再成立了，需要在其中加上一個光子質量項的貢獻。如果堅持使用原來的對應零質量光子的式(32)，我們失去了把它作為電荷電流源定義的基礎，因為它定義的電荷電流源是滿足電荷守恒的，而實際的情形卻不是，因此這時的式(32)給出的不是物理電荷電流源的正確定義，而當失去了這個電荷電流源的正確物理定義后，原來的對應零質量光子的式(32)也就不再有物理意義和價值了。那么可否把加進了光子質量項的修改了的式(32)作為電荷電流源的定義呢？雖不能說不行，但沒有了電荷守恒約束，我們現在無法知道用這個修改了的式(32)定義的源是否真是物理的電荷電流源，因為缺乏一個像原來電荷守恒那樣的可觀察的實驗定律的佐證或支持。而從場的力線分布看，修改式(32)對應的分量方程(5)和(11)也都要修改要加進光子質量的貢獻，我們可以把這些新的光子質量項看成是有效的電荷電流源，由于這些有效的電荷電流源依賴電磁勢因而它們會在全時空都有分布。因此在現在的時空中既有原來的物理電荷電流源，又混有新加的有效電荷電流源，它們都可以使電力線發散或匯聚，磁力線渦旋(由于式(22)仍舊成立，磁力線不會發散或匯聚永遠只是渦旋，而電力線確可以渦旋)，因而從直觀電磁場的力線分布，分辨不出哪些發散、匯聚和渦旋的核心是來自物理電荷電流源，哪些又是來自有效電荷電流源。至少不再有通過場的分布來直接鑒別物理電荷電流源的能力，而必須通過某種方式先扣除掉(例如根據光子的質量大小)有效電荷電流源后，才可能從場的分布得到物理的電荷電流源。從這個角度說，現在現實(光子無質量)的麥克斯韋方程組相比它的其他各種可能的變形或異化來說直觀物理圖像最為清晰、簡單和自然。當然可能有人會進一步質詢說，前面討論的位移電流，也就是電場強度的時間變化率，不也在全時空產生了有效的電流密度(對應地磁感應強度的時間變化率產生了有效的磁流密度)貢獻了嗎？在那里得到物理的電荷電流源不也得扣除位移電流嗎？筆者認為那里首先也是最為重要的是物理的電荷電流源仍有電荷守恒定律支持，而這個守恒定律的指引，就體現為在協變表達式(32)下，物理的四度電流密度就是二階場強張量的四度全散度。而在光子有質量的情形，我們對物理的電荷電流源不再有電荷守恒定律支持，也就沒有相對應的表達式。實際上對光子有質量的情形，也不是不可以保留電荷守恒的要求的。只是那會對四度電磁勢額外導致一個約束條件，即要求其四度散度為零，也就是滿足洛倫茲規范。這樣額外加入理論的約束條件很不自然，而為了能超出這個約束，則我們需要在理論中引入一個新的標量場。這導致場論中的Stueckelberg理論。具體討論可見本人的文章[3]，不在這里詳述。因此即使強行要求電荷守恒成立雖然在理論上也是可行的，但會把理論搞得更加復雜。

我們現在已經建立起了麥克斯韋方程組，所依據的除了基本的四度電磁勢Aμ的定義外，借助了電荷守恒定律(或其背后的規范不變性)用來支持我們對電荷電流源的定義。這個守恒定律也不是假設的而是推導出來的，我們做的只是把推導出來的式(28)或式(29)詮釋為我們所熟悉的電荷守恒定律而已。一旦有了這樣的詮釋，我們就為電荷密度和電流密度的定義奠定了堅實的物理基礎。剩下的就是如何理解洛倫茲力公式了，當談及洛倫茲力時首先就涉及力的定義，在2.1節我們是通過從作用量求極值推導出帶電質點的運動方程，再與標準的經狹義相對論修正的牛頓第二定律對比認出了洛倫茲力(這里還隱含了對牛頓第二定律結構的認識)。由于我們目前已經已經引進了電場強度和磁感應強度，而且知道了他們之間的洛倫茲變換關系(這些可以通過式(17)的二階張量的洛倫茲變換關系及式(20)對電場強度和磁感應強度的定義推導出來)。如果我們進一步假設電場強度就是靜止的單位電荷所受的力，則當電荷勻速運動形成穩恒電流時，我們可以將電荷靜止系(那里沒有磁場)中電荷所受的力用靜止系的電場強度乘上電荷的電量表達出來，而利用洛倫茲變換，靜止系的電場強度又可以表達為運動系的電場強度和磁感應強度的組合，且這種組合方式恰好就具有洛倫茲力的結構，只是相差一個整體的和速度相關的因子，再利用狹義相對論力學中力的洛倫茲變換把力從電荷靜止系變換回運動系，這個額外的因子正好就消掉了，我們就推導出了運動系中看到的電荷受力的洛倫茲力公式，這是一種依據電場強度的力的含義及洛倫茲變換的洛倫茲力的推導。按照上面對麥克斯韋方程組的推導和理解，我們不再依靠作用量及最小作用量原理，而改用推導出的電荷守恒定律來支持定義電荷電流源的方式來理解有源的麥克斯韋方程。是否可以按照類似的思路和做法來處理洛倫茲力呢？答案是肯定的，下面同樣放棄作用量及最小作用量原理，也不采用使用電場強度定義力的方式，而改用推導出能動量轉化和守恒定律來定義力的方式來理解洛倫茲力公式。以下先依據已知的通過電磁場定義的電荷電流源及麥克斯韋方程組推導協變的電磁場的能動量轉化與守恒定律。先定義一個四度力密度

將fμ認定為四度力密度，是因為有如下恒等式：

其中，

在式(37)第一行第一個等號右邊利用了式(32)將四度電流密度替換為了場強張量(因為按照我們的詮釋，式(32)就是用來定義四度電流密度的)，在式(37)第四行最后一項重新標記了下標，在式(37)第七行的最后一項利用了式(22)。把式(37)和定義式(36)結合起來就是

式(39)詮釋為它是體系能動量轉化與守恒定律的協變表達式，其中的二階對稱張量Tμν是體系的能動量張量，也就是用場強定義的電磁場的能動量密度和能動量流密度。利用式(20)并與教科書對比很容易讀出其純空間分量Tij是動量轉化與守恒定律中的電磁場動量流密度張量的分量，純時間分量T44是能量轉化與守恒定律中的電磁場能量密度的負值，而時間空間交叉分量Ti4=T4i是能量轉化與守恒定律中的電磁場能流密度的第i個分量乘以系數i/c，同時也是動量轉化與守恒定律中的電磁場動量密度的第i個分量乘以系數i c。

正是依據能動量轉化與守恒定律式(39)，才可以把fμ詮釋為體系中的四度電磁力密度，因為當它為零時，體系的電磁能動量是分別守恒的。只有其不為零時，才會使電磁能動量出現向機械能動量的轉化。當然這種力密度的詮釋隱含了對能動量轉化和守恒定律結構的認識，就像第2節里要隱含對牛頓第二定律結構的認識類似(注意這里說的隱含對結構的認識是指定律的結構是推導出來的，但如何認識這些結構確是需要假設的)。能動量轉化和守恒定律現在被用來直接定義洛倫茲力，這一點與前面電荷守恒定律只是用來支撐和佐證通過有源麥克斯韋方程定義的電荷電流源的作用是不一樣的，雖然它們都是從原始四度電磁勢一步步嚴格推導出來的，那里守恒定律和定義以電荷電流密度為代表的物理量是兩件獨立的事情，這里守恒定律和定義以洛倫茲力為代表的物理量合成一件事情了。

注意式(36)定義的力密度對電量為q的位于r′處的點電荷利用式(25)及點電荷的電荷密度為ρ(r)=qδ(r-r′)變成

上式是一個四矢量的力密度，對其進行簡單的空間體積積分后即可得到力，但由于空間體積不是洛倫茲變換不變量，所得到的力將不再是四矢量。為了得到以四矢量形式出現的力，我們需要改造空間積分的積分體積元，可以證明是一個洛倫茲變換不變的空間積分體積元。因為在洛倫茲變換下導致的體積收縮被后面乘的因子所貢獻的膨脹效應所抵消。這個體積元在速度遠小于光速時回到原始的普通空間體積元d V。用這樣一個洛倫茲不變的空間體積元對式(40)實施空間體積積分，就得到四矢量形式的力，即

它正好是式(18)給出的四度力矢量。

有了針對fμ的四度電磁力密度的解釋，其空間分量f就是普通的電磁力密度，利用式(20)和式(25)，就得到了針對力密度的標準的洛倫茲力公式：

到此最后推出了洛倫茲力公式，它實際是以作為洛倫茲力定義的面目出現的，所依賴的支撐是推導出的能動量轉化與守恒定律。

在對麥克斯韋方程組的理解中，除了將其作為電荷電流源的定義外，還討論了其從場強的力線觀看的直觀圖像。下面相應地討論在場強的力線圖上能看出些什么力的信息。式(39)的空間分量為

其中，

是電磁場的動量流密度，它是三維空間的二階對稱張量，f就是式(42)定義的洛倫茲力密度，g=ε0E×B是電磁場的動量密度。將式(43)等式右邊第二項移到等號左邊，再對等式兩邊針對任一體積V進行體積積分，得

其中，等號左邊是體積V中體系的總動量，也就是體積V中的所有帶電體的機械動量和電磁場的動量之和，的時間變化率，等式右邊是此體積表面所受的總的面積力，其單位表面所受的面積力為

其中，n是表面的法向單位矢量，式(45)右邊的體積表面面積分元可以寫為dσ=n dσ。式(45)表明體積V內的總動量變化率可由體積表面的受力來表達，而帶電體機械動量的時間變化率就是帶電體所受到的洛倫茲力，即

類似地把

理解為體積V內的電磁場所受的某種體積力。可以通過計算從式(45)右邊讀出的電磁場在任意一個表面所產生的單位表面的面積力f表面進一步細化為

其中，fE是純由電場貢獻的單位表面受力;fB是純由磁感應強度貢獻的單位表面受力，且

其中，eE和eB分別是在電場強度和磁感應強度與界面表面法向矢量n分別所在的平面里的沿表面切向的單位矢量，θE和θB分別是在電場強度和磁感應強度與界面表面法向矢量n分別所在的平面里電場強度和磁感應強度與界面表面法向矢量n之間的夾角。式(49)、(50)、(51)給出的f表面實際上就是法拉第對電磁場力線受力的橡皮筋圖像的精確定量描述。它給出對一個電場強度(或磁感應強度)分布空間中沿電力線(或磁力線)的一個力線的流管，計算式(50)(或(51))得到此管兩端受的是拉力，側面受到的是壓力。更一般地，對空間任何一塊體積V，如果把包圍這個體積表面的所有由 式(49)給出的表面力都積分起來，由式(45)、(47)、(48)知這就是該體積中的電荷電流源所受到的洛倫茲力和電磁場受的體積力的疊加。如果只關心這個體積中的電荷電流源受到的洛倫茲力，就可以通過將體積表面來自電磁場的表面力扣除體積里面電磁場受到的體積力得到。注意表面力式(49)和由式(48)決定的電磁場所受的體積力都是由電磁場來描述的，并且它們對電場強度和磁感應強度的具體依賴結構雖然不容易理解但卻是嚴格推導出來的。這給出了一個對電荷電流源所受的洛倫茲力的純電磁場描寫，就像前面用電磁場描寫電荷電流源一樣。

將力用場強的圖像詮釋與前面的電荷電流源用場強的圖像詮釋做一對比，這里用電磁場給出的表面力對應式(5′)左邊的電場在體積表面面積分給出的電場強度的通量，或在等式兩邊同時做了曲面積分后的式(11)左邊的磁感應強度在曲面邊界曲線積分給出的磁感應強度的環量，而在從表面力甄別洛倫茲力的過程中要被扣掉的電磁場的體積力式(48)則對應把在等式兩邊同時做了曲面積分后的式(11)擴充人為加進來的位移電流項，式(5′)沒有對應的項。在目前這種都用場強的圖像來詮釋電荷電流源和其受力的圖像里，源的討論和力的討論很重要的共同點是都需要先計算電磁場在所討論區域的邊界作貢獻，對式(5′)和本節談的受力邊界都是包圍區域體積V的表面，對在等式兩邊同時做了曲面積分后的式(11)邊界是包圍區域曲面的曲線。正是這些來自邊界上的電磁場的貢獻決定了區域內部包含的電荷電流源及其受力(還要扣掉位移電流和電磁場受的體積力)，這現象體現和蘊含了一些全息的特點，即邊界上場的信息決定了內部源的信息。

在我們這種新的對電磁學理論的理解和詮釋中，從假設四度電磁勢存在而導出的守恒定律(包括電荷守恒和能動量轉化與守恒)對我們詮釋電荷電流源的密度及洛倫茲力起了非常基礎和關鍵的支撐作用。守恒定律中的守恒量的認定和詮釋恰恰是抽象的物理思想和現實的日常生活中體會總結和提煉出來的概念相互融合的連接之處，就像趙凱華先生在其紀念費曼百年的力作[4]中提到的費曼所編的積木數目守恒的例子那樣：“一個孩子有28塊積木，這些積木完全一樣，而且不可破壞。每天早晨媽媽將這孩子和他全部的積木關在一間房子里，晚上她回來后總仔細地把積木的數目點過。不錯，多少天來一直是28塊。一天積木只剩下27塊，她在室內細心地尋找后，發現有一塊積木在小地毯下面。又有一天積木剩下26塊，室內遍尋不著，然而窗子開著，她探頭向外張望，發現兩塊積木在外邊。再有一天，她驚愕地發現積木變成30塊。后來她才知道，是一個小朋友帶著他同樣的積木來玩過，多出來的積木是這孩子留下的。她處置了多余的積木后，把窗子關起來，再不讓別的孩子進來。于是在相當一段時間里情況正常，直到有一天她只能找到25塊積木。這孩子有個玩具箱，媽媽想打開這箱子找積木，孩子尖叫起來，不讓她開箱。媽媽只好稱一下這箱子的重量。她以前知道，每塊積木重3盎司，28塊積木在外時箱子的重量為16盎司，她計算一下得到：眼前積木數25+(箱重-16盎司)/3盎司=常數28。于是她確信，缺失的積木被鎖在玩具箱里。這箱子沒再打開過，可是積木又少了許多。仔細調查發現，澡盆里臟水的水位升高了。顯然，孩子把一些積木丟進了澡盆。但是水太渾濁，媽媽無法看清，然而她知道，澡盆里的水原來有6英寸深，每塊積木使水位升高1/4英寸，于是她的計算公式里又添了一項：眼前積木數25+(箱重-16盎司)/3盎司+(澡盆的水位-6英寸)/(1/4英寸)=常數28。隨著事態一步步地復雜化，越來越多的積木跑到她無法看到的地方。可是她找到一系列附加項，需要添加到她的計算公式里，以代表那些看不到的積木塊數。這個復雜的公式保持著28那個數目不變。”在自然界發現存在某種量在系統的演變過程中保持不變，在費曼的例子中是小孩子玩的積木數目，而在本文討論的電磁學理論中是假設了四度電磁勢存在后所推導出的電荷和能動量，我們所做的只是把它們詮釋為某種守恒定律，而通過這種詮釋在本文中就進一步認定出來了電荷電流源和洛倫茲力。

到此為止僅僅依賴四度電磁勢，和對從它演繹出的電荷守恒定律和能動量轉化守恒定律的詮釋，不再依靠作用量及其確定作用量的各種基本要求和最小作用量原理，我們完整地推導出了麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式。其中推導出的電荷守恒定律用于支撐和詮釋電荷和電流密度，能量和動量轉化與守恒定律用于定義力密度。

4　結語

在本文所描述的對電磁學理論的理解中，電荷密度、電流密度和其受力都是通過電磁場來定義的，特別是電荷電流源是可以十分清晰地直接從場的力線分布來鑒別出來的(而偏離現在的經典電磁學，如前面討論的有質量光子的理論就不再有這么簡潔清晰的圖像或要構造更為復雜的理論);而整個對電磁理論的理解最后全都歸功于最最基本的存在四度電磁勢Aμ!或者換句話說只要存在四度電磁勢，并認定理論具有規范不變性，最自然和簡單地就演繹出了現在標準的經典電磁學理論，而不是其他。如果進一步非要把四度矢量勢的存在和要求它生成的規范變換對稱性兩者之間再作一抉擇的話，則應該選擇規范對稱性。因為若要具有規范對稱性(更嚴謹一點是由式(23)定義的規范變換導致的規范對稱性，也是在理論物理中稱之的U(1)規范對稱性)，則必須存在四度電磁勢，或者換句話說，四度電磁勢實際只是實現規范對稱性的工具和手段。因此結論是規范對稱性導致了我們的經典電磁學理論!我們在現代意義上回到了楊振寧先生指出的法拉第巨著里所特別強調的電緊張狀態對經典電磁學有著根本的影響的結論!而區區一個看似簡單不太起眼的為實現規范對稱性而引入的四度電磁勢Aμ，在一步步不斷地巧妙構造和詮釋下，居然最后完整地搭建起了整個經典電磁學理論的大廈，描述自然界的理論居然如此簡潔而精妙，實在令人嘆為觀止!