大學物理熱學教學的幾點釋疑

鄭文珍

(衢州學院教師教育學院，浙江 衢州 324000)

熱學是理工科大學物理教學中的基本內容之一[1]，它的基本理論和研究方法對提高學生的基本科學素養、增強邏輯思維和分析判斷能力、深刻把握宏觀世界的微觀機理等都有著其他課程無可替代的作用;對現代科技發展的物理支撐和新技術、新材料的開發應用也有著十分重要的意義。但由于熱學內容是學生第一次接觸到用宏觀實驗規律和微觀統計理論兩種思維方式處理具體物理問題，概念眾多，思維跳躍性大，看似幾塊獨立的內容而又相互關聯、相互制約，要弄清這些問題，對大學一年級的學生來說，確實存在著較大的難度，甚至無所適從。如何解決這個矛盾，幫助學生更直觀地明了熱現象的物理本質、建立起更明晰的熱物理圖像、突破學習中的困惑和難點，也就成了熱學教學中一個十分緊要的問題。在實際的教學過程中，筆者針對學生出現的困難，在充分強調對基本概念理解的同時，對部分內容作了一定的拓展或延伸，重點釋疑，使學生能從不同角度理解熱現象的物理本質，強化了學生對宏觀與微觀之間物理本質聯系的理解，收到了較好效果。下面略舉幾例予以說明。

1　最概然速率vp與最概然動能εp的關系

由麥克斯韋氣體分子按速率分布規律，在溫度為T的平衡態下，理想氣體分子的最概然速率vp定義為與速率分布函數f()v的極大值相對應的速率。它表明，若把氣體分子的速率等間隔劃分，即取Δv一定，則理想氣體在該溫度下分布在vp附近單位速率區間內的分子數最多，容易得出[2]

也就是說，與最概然速率vp所對應的分子動能為k T。

但由麥氏分布律，很容易導出氣體分子按動能的分布規律為[3]

比較式(2)和式(4) ，顯見，與最概然速率vp所對應的動能ε(vp)并不等于最概然動能εp。原因何在？面對這一矛盾的結果，學生往往感到茫然。仔細分析不難發現，出現上述矛盾結果，其核心就在于是對哪個物理量取間隔，亦即是d v還是dε。f(v)是在速率v附近單位速率區間內的分子數占總分子數的比率，是對速率v取間隔;而f(ε)則是在能量ε附近單位能量區間內的分子數占總分子數的比率，是對能量ε取間隔。上述兩種分布函數中的最概然值是對不同的統計間隔而言的，因而得出了不同的結果。所以我們在討論統計分布函數的最概然值時一定要強調是對什么統計間隔而言的[4]，否則就會出現理解上的困難或概念上的不自洽。明白了這一點，上述問題也就從根本上得到了解決。

2　對η=1-的非近似證明

幾乎所有的大學物理教材在推導卡諾循環效率時都是利用理想氣體狀態方程、熱力學第一定律及絕熱過程相關方程得到這種方法物理過程清晰、簡明易懂，很容易解決教學上求熱機效率的方法問題。但細究起來又出現了一個疑點：在作上述推導時都假定了熱容量C和絕熱指數γ皆為常數這一條件，但C實際上是一個與溫度有很大關系的物理量[2]。因此，從嚴格意義上來說上述推導結果只是一個近似的結果。在實際教學中，筆者在講述了上述推導方法后，又給出了一個改進的證明，就是在證明過程中只利用熱力學第一定律和理想氣體狀態方程，而并不直接出現熱容量C和絕熱指數γ，從而避免了本是精確結果卻被近似化的尷尬。

如圖1所示的卡諾循環，對1 mol理想氣體，p V=RT，即有p=。在a→b等溫膨脹過程中，系統吸熱，對外做功。系統吸收的熱量為

在b→c絕熱膨脹過程中，系統內能減少，對外做功，所做的功為Wb→c=u( T1)-u( T2)。在c→d等溫壓縮過程中，外界對系統做功，系統放熱Q2=|Wc→d|。系統所做功為

圖1　卡諾循環

在d→a絕熱壓縮過程中，外界對系統做功，系統內能增加。系統做功為Wd→a=u( T2)-u( T1)。

在一個循環過程中系統對外所做凈功為W=Wa→b+Wb→c+Wc→d+Wd→a，故

考慮到絕熱過程b→c和d→a，由式(8)，可得

對于一個循環，其特征是系統的內能不變。而在卡諾循環中，兩個等溫過程系統的內能不發生改變，所以有

將式(11)代入式(7)，得到

從而由式(12)及式(5)，可得卡諾循環的效率為

其結果與各教材結果一致。

但在以上證明中，因未直接應用熱容量C和絕熱指數γ，故不用考慮具體的隨溫度變化的相關C和γ值，也就舍去了C和γ不隨溫度變化這一近似性前提，其結果也就顯得更有說服力。

3　范氏氣體的內能和熱容量

在眾多的實際氣體物態方程中，范德瓦爾斯方程是最早和最有影響力的實際氣體物態方程[8];且因其形式相對簡單、物理意義明確而受到廣泛應用，并由此建立了低溫物理學，在今天的節流效應中也有廣泛的應用[9]。

對于1 mol范氏氣體，其物態方程為

式中，a、b為范氏修正量;v為氣體的摩爾體積。

(1)內能

在考慮了氣體分子引力和體積的情況下，范氏氣體在膨脹時不僅要反抗外力做功，還要克服分子間的內引力做功，此內引力即為分子之間的吸引力。對1 mol范氏氣體，其由分子吸引力產生的內壓強為當氣體膨脹時，此內力所做的功為?W=此功即為勢能的增量d EP，則

式中C為積分常數，若取v→∞時EP=0，則C=0，所以

由于氣體分子作無規則熱運動的動能只與溫度有關，故1 mol范氏氣體分子作無規則熱運動的動能與1 mol理想氣體分子的動能相同[3]，只由溫度決定，即EK=CV，mT。故對于1mol范氏氣體，其內能為

上式表明，以范氏氣體為代表的實際氣體的內能由溫度T和體積V共同確定，u=u(v ，T)。當實際氣體的內能保持不變時，體積的膨脹必然導致溫度的降低[10]，從而促成了節流制冷效應的實現。

(2)范氏氣體的熱容量

考慮1 mol范氏氣體，根據熱力學第一定律及式(18)，它在一個物態變化過程中所吸收的熱量為

在一個等體過程中，v=常數，d v=0，故?QV=d u=CV，md T，所以

由式(20)可知，范氏氣體的定體摩爾熱容量CV，m與理想氣體的定體摩爾熱容量相同，是內能對溫度的一階導數。如果忽略溫度變化對熱容量的影響，則范氏氣體的定體摩爾熱容量亦為一常數。

而在定壓情況下，對于1 mol范氏氣體，?Qp=其定壓摩爾熱容量C，為pm

對式(14)兩邊取微分，并注意到p=常數，可得

結合式 (14)、(22)進行化簡，可得 ?Qp=代入式(21)，從而得到范氏氣體的定壓摩爾熱容量為

式(23)表明，對于范氏氣體，其定壓摩爾熱容量并不滿足理想氣體所遵從的邁耶公式Cp，m=CV，m+R，也不再是一個常數，而是一個與溫度和體積直接相關的量，并且與溫度和體積呈現相對復雜的非線性關系。