美國MCM/ICM特等獎論文對大學數學創新教育的啟示

梅正陽

?

美國MCM/ICM特等獎論文對大學數學創新教育的啟示

梅正陽1，2

（1．華中科技大學 數學與統計學院，湖北 武漢 430074；2．華中科技大學 工程建模與科學計算湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430074）

中國高等學校大學數學教育以知識點、理論推導和計算方法為主，側重應試教育，在創新性教育方面存在明顯不足，采用對比分析方法，介紹了美國大學生數學建模競賽的發展過程，對照分析了中美特等獎論文的創新點和思維特色，得到了大學數學創新教育的幾點啟示，并提出了努力方向．

美國大學生數學建模競賽；特等獎；創新教育

1 美國大學生數學建模競賽發展的3個主要階段

在美國大學生數學建模競賽產生之前，有一個著名的“普特南數學競賽”即The William Lowell Putenam Mathema- tical Compitition[1]．普特南數學競賽始于1938年，其最初的命題原則是“以審慎的態度擬定涉及微積分、解析幾何和初等力學標準教程的重點問題，強調對于教材細節充分、準確、清晰的掌握”，學生以個人形式參賽，完全閉卷，這顯然是一種課程綜合和提升性的測試．第二次世界大戰后，命題原則被修改成“不太強調對于標準教材的完全和熟練掌握，而更加注重邏輯分析和邏輯推理能力”，即開始重視競賽能力．到20世紀60年代，對參賽選手的能力要求進一步提高，賽題除了增加微分方程內容外，還涉及數論、集合論、群論以及算法等內容，競賽考試分為兩場，上午A試6道題，下午B試6道題，各3小時，有著比較濃厚的純數學意味，使得普特南數學競賽具有培養數學家的功能．事實上，包括菲爾茲獎得主米爾諾、奎倫等，諾貝爾獎得主費曼、威爾遜等許多杰出人物都曾經是普特南數學競賽的獲獎者．正是由于純數學的特征，使得參賽學生得分很低（滿分120分），大約一半的學生只能得1分或2分，還有不少學生得零分，甚至有許多參賽學生根本未動筆．

美國數學建模競賽的創始人B. Fusaro對普特南數學競賽的賽題缺乏實用性、賽題難度大、競賽中不使用計算機、學生參賽熱情不高的現象進行反思．他發現相當多的美國大學生對數學在實際中的應用非常感興趣，使用計算機的能力也很強，于是在1980年代初，B. Fusaro向美國教育部提出設立數學模型競賽機制，鼓勵大學生以小組的形式參賽，共同解決具有實用背景的數學建模問題．1984年美國教育部批準了B. Fusaro申請的基金項目，從而使得MCM在1985年正式舉行[1]．

1.1 初創期（1985—1987）

美國大學生數學建模競賽初創期的名稱為Mathema- tical Competition in Modeling，簡稱MCM，也有人稱其為“應用版”普特南數學競賽，1985年舉辦了第一屆競賽．

初創時期的數學建模競賽以Mathematical Competition in Modeling冠名，簡稱MCM，競賽以3人小組形式進行，賽題來自工程技術和管理科學等方面具有實際背景的經過適當簡化的問題，共兩道題，一道題與離散數學相關，另一道題與連續數學相關，參賽小組在A、B兩道題中選擇一題解答，競賽過程完全開放，參賽小組在解題過程中允許使用計算機，這是與應試型考試最大的區別．此外，競賽期間可以使用任何參考書、網上資源等，但不允許與參賽小組之外的其他人進行交流，與教練的交流也被禁止，競賽時間為3天72小時，競賽成果為一篇對賽題進行分析并提出解決方案的競賽論文．由于MCM競賽的賽題背景真實、過程開放、計算機使用等特色，使得大學生參賽積極性不斷提高，參賽規模不斷擴大．

1.2 成長期（1988—1999）

數學模型競賽舉辦3屆之后，到1988年，競賽名稱被修改為Mathematical Contest in Modeling，簡稱依然是MCM，中文名稱也完全相同，但英文Contest一詞之差，使得競賽性質完全不一樣．不同于Competition式的競賽，競賽時間短，成績高度依賴于臨場發揮，Contest式的競賽時間長，更能體現小組3人合作、創新性解決問題的能力和過程，算法設計也是考查內容之一，競賽過程中，既關注實際問題的數學建模，同時還強調數學模型的計算機編程求解，參賽小組提交的是不斷修改完善的解決方案，從小組合作、數學建模、軟件使用等多方面檢驗參賽隊員的各種能力．

對MCM競賽結果的評判，不使用百分制式的數值計分，評閱人通過論文假設的合理性、論述的清晰性、結構的完整性等，對參賽論文或解決方案劃分等級，在解決完問題的基礎上，鼓勵學生進行模型檢驗、敏感性分析、優缺點討論等．論文的創新性體現在模型建立、算法設計、檢驗分析等方面，競賽設置多個級別的獎項，最高等級為Outstanding Winner，即特等獎，在特等獎基礎上，還設置了SIAM、INFORMS、MAA等不同單項獎對特等獎論文進行鼓勵．

1988年北京理工大學葉其孝教授在美國訪問時[1]，與MCM負責人B. Fusaro商談中國大學生組隊參賽的相關事宜，1989年中國國內有部分高校組隊參賽，開啟了中國大學生參加國際性數學建模競賽的旅程[2]．

1.3 成熟期（2000—今）

在美國數學及其應用聯合會即The Consortium for Mathematics and Its Applications（COMAP）的組織和管理下，自2000年開始增加交叉學科建模競賽ICM，競賽全稱Mathematical Contest in Modeling/Interdisciplinary Contest in Modeling，簡稱為MCM/ICM，即數學建模競賽與交叉學科建模競賽．MCM與ICM兩項賽事同時進行，競賽時間延長為4天4夜．其中MCM每年出兩道題，即A、B題，ICM每年出一道賽題即C題．競賽開始后，參賽小組從A、B、C中任選一題解答．每年有來自全球十幾個國家的幾千支代表隊參加競賽，特別是中國大學生的參賽數量不斷增加，使得MCM/ICM參賽規模不斷擴大，這種格局一直延續到2014年．

自2015年開始，MCM/ICM賽題增加到4個，其中A、B題為MCM賽題，C、D題為ICM賽題．到2016年，賽題增加到6個，A、B、C為MCM賽題，D、E、F為ICM賽題．賽題的開放性和前瞻性對參賽隊員的動手能力和創新能力提出了更高的要求，2017年依然是6道賽題．近年出現的部分賽題涉及的部分領域如圖1所示：

圖1 近年出現的部分賽題涉及的部分領域

賽題內容涉及相關領域的實際問題，非常實際且具有前瞻性，對剛學完大學數學知識的大學生而言，具有極大的挑戰性，解決所提出的問題已屬不易，獲獎更難．

2 MCM/ICM特等獎論文案例分析

2.1 棒球棒問題

棒球棒問題——2010年MCM美國大學生數學建模競賽A題：The Sweet Spot．

該賽題要求對棒球棒上的“最佳擊球點”不在棒末端的現象進行建模和解釋．競賽時共有來自全球14個國家的兩千二百多支參賽隊選擇了MCM題，經過多名專家多輪評閱，最終有4支參賽隊獲得Outstanding Winner即特等獎，他們分別是來自普林斯頓大學、西點軍校、浙江大學和華中科技大學的參賽隊．針對研究對象棒球棒，美國普林斯頓大學參賽隊獲獎論文從物理和力學原理出發，對棒子受到棒球撞擊進行受力分析，建立球棒局部撞擊力傳播的波動方程模型[3]，該波動方程的力學原理清晰，方程建立過程經典，參賽學生的創新工作主要是將波動方程離散化得到代數方程組，再利用邊界條件和模型參數，對棒子受力情況和球的運動情況進行計算機模擬，獲得最佳擊球點位置值即Sweet Spot．華中科技大學參賽隊的獲獎論文沒有對棒球棒進行受力分析，而是綜合考慮球的擊出速度和擊球手擊球時的舒適程度，建立綜合加權指數模型，參賽者的主要創新工作是估計恢復力系數和指標標準化，將棒球擊出速度和球手舒適度兩大指標轉換成兩個指數，計算得到最佳擊球點位置即Sweet Spot，此外，進一步分析各項指標變化對棒球棒最佳擊球點的影響，提出了“Sweet Zone”即“最佳擊球區”[4]概念，獲得了評委的一致稱贊，特等獎論文被授予SIAM Prize，即美國工業與應用數學學會（The Society for Industrial and Applied Mathematics）獎．

2.2 評價大學教練問題

評價大學教練問題——2014年MCM美國大學生數學建模競賽B題：College Coaching Legends．

該賽題要求對美國近百年來的大學頂級教練進行排名，并考慮性別和時間因素的影響．共有來自全球18個國家的6?700支參賽隊選擇了MCM題，共有來自美國和中國的7支參賽隊獲得B題特等獎．美國參賽隊獲獎論文將球隊比賽的比分結果作為已知條件，將球隊實力問題轉化為圖論問題，通過“特征中心度”得到球隊實力[5]．參賽隊的主要創新工作是將球隊實力拆解為教練能力和球員能力，將球隊勝負能力或勝負概率表達成教練能力的函數，給出每場比賽兩隊比分結果出現的概率函數，由于每場比賽都在特定的年份和時間進行，因此時間因素自動融入到模型中（不需要單獨討論），利用極大似然法，得到包含球隊實力、教練能力、比賽分值的非線性極值問題，計算得到教練能力分值，完成頂級教練排序．華中科技大學獲特等獎參賽隊與中國其他獲獎參賽隊都是首先給出評價教練的各項定性指標，建立綜合評價模型，一方面利用現有方法得到每位教練在不同評估方法下各項指標的定量得分，另一方面利用特定方法確定各項指標的權重，最后進行綜合加權，得到教練的綜合得分值和排名．中國參賽隊的創新工作主要體現在指標體系選擇、時間因素處理、敏感性分析等方面，華中科技大學特等獎論文特色還體現在模型擴展部分，他們將對大學教練的評價模型擴展到對美國總統進行評價[6]，獨特的工作獲得Frank Giordano Award創新獎．

2.3 預測社會網絡演化和影響問題

預測社會網絡演化和影響問題——2016年ICM美國大學生數學建模競賽D題：Measuring the Evolution and Influence in Society’s Information Networks．

該賽題要求預測社會信息網絡演化及其影響，共有來自全球8個國家和地區的五千多支隊選擇ICM賽題，中國和美國的參賽隊分享了D題的5個特等獎．一般認為，社會信息網絡發展經歷了報紙、收音機、TV和Internet等4個時代，現在已經進入了移動互聯時代．美國獲獎參賽隊將新聞分成政治、宗教、娛樂等多個類型，對同類事件在不同時期進行考查；定義新聞價值，建立新聞傳播擴散模型[7]，分析相同的新聞條目在不同類型社區產生的效果，創新性地設置虛擬節點，討論新聞在兩個節點間的延遲傳播．

華中科技大學獲特等獎參賽隊將信息分為已知、未知和疲勞等3大類型，將信息傳播方式分為媒體傳播和社交傳播，建立了多層網絡傳播模型．論文創新性地利用無差異曲線定義信息的內在價值函數，由Pareto規則確定價值最高的20%信息為新聞，根據媒體信息流和社交信息流的傳播規則，對網絡生命周期的不同階段用分段函數表達，用網絡容量的變化反映新型網絡的興起和衰退，并通過CNN新聞傳播案例驗證模型的合理性[8]．論文在獲得特等獎Outstanding Winners同時，還獲得INFORMS Prize，即The Institute for Operations Research and the Management Sciences運籌學與管理科學獎．

3 MCM/ICM特等獎論文對大學數學創新教育的啟示

由于中國的教育考評體系是應試型的，主要考察學生記住了多少知識點，掌握了多少計算方法，較少關注或不關注學生獲得了多少獨立思考能力和解決實際問題的創新能力，上述MCM/ICM國際競賽特等獎論文分析為中國的創新教育提供了有益的啟示．

3.1 加強創新意識與聯想能力的培養

美國大學生的特等獎論文真實地反映出他們具有很強的抽象能力與聯想創新能力，如在解決2016年網絡演化問題時，這種抽象能力和創新能力通過構造“虛擬節點”而反映出來；中國學生能借用經濟學概念“生命周期”和“無差異曲線”，反映出他們具有能將不同學科知識相互借用的聯想創新能力，能夠從熟悉的事物中尋找創新點．因此，在大學數學課程教學中，不僅要講授現成的知識點，更需要講明知識點所蘊含的數學思想，講清楚數學概念的抽象過程．只有明確了數學理論的思維過程和思想方法，才能提高聯想型創新意識．中國大學生大量時間被用于解題方法和解題技巧的訓練，沒有時間進行獨立思考，年輕人原本具有的創新空間被這種機械練習和教條模仿所禁錮和壓抑．因此，在大學數學課堂上，培養大學生洞察事物本質、抽象出實際問題數學規律的能力，具有重要的意義．

3.2 注重邏輯起點與人文情懷的追問

年輕人長于講究人與人之間的關系，也能重視人文關懷，但更應該注重人與自然之間的關系，有意識地尋找和發現事物的邏輯起點．如在解決2010年最佳擊球點問題時，美國學生抓住了擊球點的受力情況這個邏輯起點，學生抓住了棒球手舒適程度，對人的主觀感受進行數學描述．實際上，在分析該問題時，如果能夠從宏觀上將球、棒、人看成是一個整體，同時從微觀上分析球撞擊球棒瞬間局部受力變化，從不同角度綜合考慮問題，那么解決問題的效果會更好，至此中西方思維模式差異立等可見．中國曾有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的說法，但卻沒有深入追問，沒有產生極限思想，學生們做了大量的微積分習題，卻沒有真正掌握“微元法”思想，更不能將其應用于實際問題．因此，降低解題方法和解題技巧的訓練比重，加強人文情懷的思考，從思想和行動上重視邏輯起點追問，是大學數學教學的努力方向．

3.3 培養邏輯解構與綜合集成能力

中國的學生都有系統化和整體化考慮問題的習慣，但卻缺少反向思維意識和邏輯分解能力．如在解決教練評價問題時，美國學生能將球隊實力分解為隊員能力和教練能力，最終將問題表達為以教練能力為單一自變量的函數關系．反觀中國的大學生，通常都習慣于順勢思維，一開始就建立多項評價指標體系，設定各種關系，從多個方面綜合考慮教練能力，這種整體觀念是中國學生的長處，但卻欠精準化，不善于作邏輯解構，缺乏從已知概念中細分和拆解出新概念的能力，缺乏批判性思維，探索和創新精神差，這也是大學數學教育的不足．

4 結語

中國的大學數學課程過于機械和教條，過分追求數學理論的嚴密性和完整性，課程考試與普特南數學競賽有相似的特征，缺乏應用性和趣味性．大學數學課程教學忙于介紹知識點、介紹計算方法、刷練習題，缺少思想探討、逐層解構和起點追問．在這個移動互聯時代，現成知識是網上可查的，復雜計算也可以由計算機完成，應該花費更多的精力在創新能力培養上．美國大學生數學建模競賽特等獎論文啟示中國學者，大學數學課程當然要學習數學理論，但不是理論越深奧越好，也不是計算方法越多越好，而是合理有效地解決問題就好，應該把更多的時間和精力花在數學理論方法思想的介紹上，通過數學分析和數學建模，培養學生在專業學科和交叉學科中應用數學的能力，提高學生對實際問題的終極追問能力和邏輯解構能力，既具有人文情懷[9]，還具有綜合集成能力以及聯想創新能力．

[1] 葉其孝．數學建模教育與國際數學建模競賽——《工科數學》專輯[M]．合肥：中國工業與應用數學學會《工科數學》雜志社，1994：8-9．

[2] 葉其孝．挑戰和機遇——美國大學生數學建模競賽十一年有感[J]．數學的實踐與認識，1996，26（1）：90-95．

[3] QUABILI R, DIAO P, MOU Y. The sweet spot: a wave model of baseball bats [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2010, 31 (2): 105-122.

[4] TORTORELLA M. Judges’ commentary: the outstanding sweet spot papers [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2010, 31 (2): 123-128.

[5] XIONG F, DING W, LI J. Evaluation system for college coaching legends [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2014, 35 (2-3): 157-180.

[6] VANISKO M. Judges’ commentary: the Frank Giordano award for 2014 [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2014, 35 (2-3): 195-199.

[7] FLAMINO J, NORMAN A, WYATT M. Characterizing information importance and its spread [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2016, 37 (2): 121-144.

[8] BIAN F, LIBERTINI J, ULMAN R. Judges’ commentary: spread of news through the ages [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2016, 37 (2): 145-154.

[9] 謝明初．數學教育的人文追求[J]．數學教育學報，2015，24（1）：6-8．

Enlightenment of MCM/ICM Outstanding Papers on Innovative Education of College Mathematics

MEI Zheng-yang1, 2

(1. School of Mathematics and Statistic, Huazhong University of Science and Technology, Hubei Wuhan 430074, China;2. Hubei Key Laboratory of Engineering Modeling and Scientific Computing, Huazhong University of Science and Technology, Hubei Wuhan 430074, China)

Knowledge points, theoretical derivation and calculation methods were the focus in the Mathematics Education of China University, emphasis on examination oriented Education, but there were obvious deficiency in the innovation education. The comparative analysis method be using in this paper, after introducing the development stages of the American Mathematical Contest in Modeling, the innovations and thinking characteristics of the MCM/ICM outstanding papers were be comparatively analyzed, the enlightenment on the innovative education of college Mathematics were be obtained, and the improvement directions were be put forward.

mathematical contest in modeling; outstanding paper; innovative education

2018–01–10

梅正陽（1964—），男，副教授，博士，主要從事大學數學教學和數學模型研究．

G642.0

A

1004–9894（2018）03–0010–04

梅正陽．美國MCM/ICM特等獎論文對大學數學創新教育的啟示[J]．數學教育學報，2018，27（3）：10-13．

[責任編校：周學智]