小學兒童分數概念語義理解水平及模式：基于潛在類別分析

張 睆，辛自強，陳英和，胡衛平

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小學兒童分數概念語義理解水平及模式：基于潛在類別分析

張 睆1，2，辛自強3，陳英和4，胡衛平1

（1．陜西師范大學 現代教學技術教育部重點實驗室，陜西 西安 710062；2．山西師范大學 教育科學學院，山西 臨汾 041004；3．中央財經大學 社會與心理學院，北京 100081；4．北京師范大學 心理學部發展心理研究院，北京 100875）

分數符號在不同情境下分別指稱部分－整體、測量、比、算子和商5種語義含義．使用分數概念語義理解測驗，基于潛在類別分析方法，對295名小學六年級兒童的分數概念語義理解水平和模式進行評估．結果表明：（1）從不同語義含義的理解水平差異上看，由高到低為商、部分－整體、測量、比、算子；（2）從語義含義掌握模式來看，部分－整體、測量、比、算子均可分為掌握良好組和不良組兩類．其中，在部分－整體和算子含義上，兩組被試理解水平不同而模式類似，而在測量和比含義上，兩組兒童理解水平和模式均有較大差異；（3）從各語義理解的掌握模式類別間關系來看，掌握良好組的歸類一致性高于掌握不良組．

分數概念；語義理解；掌握模式

1 前言

理解數學符號含義，培養數學符號意識是數學教育的基本要求，也是發展學生數學核心素養的基礎[1]．而在小學階段，分數符號的含義尤難理解[2]．在數學中，分數的形式化定義為“所有形如/的數集，其中、都是整數，且≠ 0”．該定義說明了分數概念的符號形式（形如/的數集），并未說明符號/代表何種含義．概念分析表明，分數/至少表示5種含義：部分－整體、測量、比、算子與商[3]．這些含義稱為分數概念的語義含義（semantic meaning），代表了不同問題情境中兩個量間的特定關系[4]．具體而言，“部分－整體”含義表示了在分配問題情境中整體量與部分量之間的包含與補償關系，“測量”含義表示了測量情境中所測量與單位量之間的包含關系，“比”含義表示了比例問題情境中兩個量之間的比例關系，“算子”含義則表示了各種變換問題情境中輸入量與輸出量之間的變換關系，而“商”含義表示了在數學運算中被除數與除數之間的除法運算關系[5]．由于這些問題情境代表了小學階段兒童可能遇到的分數問題，因此這些含義代表了小學階段兒童對于分數概念可能的語義理解．

教育雖邁向可能，卻須從現實出發．上述概念分析只說明了小學兒童可能的分數概念語義理解，卻不能回答他們實際上如何理解分數概念語義含義．要說明后者，關鍵是測評小學兒童對分數概念語義含義的理解水平和掌握模式．所謂理解水平，即兒童對每種語義含義的理解水平的高低．所謂掌握模式，就是不同兒童對每種語義含義的具體理解方式．由于每種分數語義含義的理解都包括一系列必要的認知成分[6]（見表1），掌握模式即評估不同兒童在理解該種語義含義時，哪些認知成分掌握較好，而哪些認知成分掌握較差．

評估掌握模式的實質是進行知識結構診斷，即根據兒童在測驗上的反應，對其知識結構進行分類和識別．傳統的規則空間模型或屬性層次模型，雖可以在個體水平上對單個兒童的掌握模式進行精確判定，但當兒童數量較多時，往往會得出較多的掌握模式類別[7]．例如，有研究者使用規則空間模型方法分析了被試在瑞文推理測驗上的掌握模式，最終得到48種典型掌握模式[8]．顯然，在面對眾多典型掌握模式時，教師將難以在有限的課堂教學時間內進行針對性的干預．因此，傳統的規則空間模型或屬性層次模型方法雖有利于對個別學生的認知結構進行精確判定，并通過智慧教學輔助系統等個別教學方式對學生的知識缺陷進行補救，但過多的掌握模式并不利于教師在班級教學情境下對學生進行群體水平的補救干預．

從課堂教學的現實需求來看，教師需要的知識結構診斷方法，既要能科學地區分學生的掌握模式，同時類型數目又不宜太多．潛在類別分析（Latent Class Analysis,）可以起到這樣的作用．分析可以根據外顯的行為指標來判斷個體的潛在心理特征進行分類，得出各類型的人數比例，并判定個體的類別歸屬，有助于對各種特征的個體進一步地研究和干預[9]．在知識和能力測驗中，潛在類別模型是基于考生在每道題目上的作答情況對被試做出分類，而非僅僅基于總分高低．因此當測驗中每道題目都用于測量特定的認知成分時，潛在類別就能表示個體對這些認知成分的掌握模式[10]．同時，的類型判別標準相對簡潔，因此得到的類型數目較少．例如，同樣是分析被試在瑞文推理測驗上的掌握模式，當使用潛在類別模型方法分析時，研究者得到3種典型的掌握模式[11]．另外，由于潛在類別分析是基于結構方程模型的類別分析方法，在類別劃分上既有較為明確的判別標準，也不需考慮外顯變量的量綱差異，以及外顯變量之間的關聯性，因此也優于傳統的聚類分析方法．

在研究中，將采用潛在類別分析法，探討小學兒童對分數概念語義含義的理解水平和典型掌握模式．具體包括：（1）在多種分數語義含義中，兒童對哪種含義掌握較好，哪種掌握較差；（2）對于每種語義含義，兒童具有哪些典型的掌握模式，不同的掌握模式間有何差異；（3）各典型掌握模式在不同語義含義間的對應關系．例如在部分整體概念上屬于某種典型掌握模式的個體，在另一子概念上的掌握模式如何．通過分析每種語義含義的理解水平，掌握模式，以及各語義含義的掌握模式間的相互對應關系，可以對兒童分數概念語義含義的掌握情況做出更為精細的診斷，從而為群體水平上的教育干預提供依據．

2 研究方法

2.1 被試

從山西省臨汾市和忻州市共4所普通小學中整班選取6年級兒童295名，其中男生150名，女生145名．平均年齡12.8歲．這些學校采用人教版小學數學教材，所有兒童在測試前，均已學習過小學分數知識的全部內容．

2.2 研究工具

由張睆、辛自強編制的“兒童分數概念理解測驗”，該測驗包括部分—整體、測量、算子、比、商5個分量表，除商以外，其余4個分量表均各包括5個項目，而每個項目均用于測查掌握該語義含義所需的特定認知成分．測驗結構及項目說明見表1．

表1 “兒童分數概念理解測驗”測驗結構及項目說明

2.3 測驗實施與計分

2015年3月下旬施測，采用隨堂團體測驗形式，要求學生40分鐘內完成．由受過訓練的心理學研究生擔任主試．最后發放問卷300份，共收回有效問卷295份．從實際施測情況看，所有學生均可以在40分鐘內完成測驗．

研究者在以下3個水平對測驗結果進行計分．第一，認知成分掌握水平，指標為被試在每個項目上的計分，正確計1分，錯誤計0分．第二，子概念掌握水平，將兒童在每個子概念上的平均得分作為指標，表示兒童對該子概念的掌握水平．第三，分數概念掌握水平，將兒童5個子概念的得分相加，作為兒童在整個分數概念測驗上的得分．

2.4 統計分析

使用Mplus7.0對各子概念進行探索性潛在類別分析（）．數據分析包括兩個步驟，第一步，基于模型適配的檢驗指標確定最佳類別數目，并分析每一類別在各題項上的平均得分，從而為類別命名．每一種類別代表了兒童對特定語義含義的一種掌握模式．第二步，計算每個兒童在各類別上的歸屬概率，從而確定個體對每種分數語義含義的掌握模式．

模型適配的檢驗指標主要有：（1）模型信息指數，包括、和，這些指標數值越小，表示模型擬合越好．其中，指標適用于較大樣本量（如1?000以上）．當樣本量較小時，與指標相比無偏性更佳，而指標則是對指標的矯正．（2）表示分類的準確性，當大于0.6時，表示分類準確性在80%以上，而大于0.8則意味著分類準確性在90%以上．（3）似然比檢驗指標，包括和，該類指標說明，潛在類別為的模型，在數據擬合上是否顯著優于類別數為-1的模型．在可能的類別數量較多，而被試量相對較少時，似然比檢驗指標能較為準確地判定分類數量[13]．

3 結果

3.1 兒童對不同分數語義含義的理解水平

統計被試在分數概念每種語義理解上的平均得分，以代表被試群體對于該含義的一般理解水平，具體見表2．

表2 分數概念不同語義理解下各項目得分的平均數與標準差

從表2中各平均數可以看出，對6年級兒童來說，在分數概念的5種語義含義中，商含義平均得分最高，說明最容易理解，算子含義平均得分最低，說明最難理解．對各組分數的重復測量方差分析也表明，5種語義的一般理解水平差異顯著，(4, 291)=147.63，<0.001，效果量2=0.67，進一步事后檢驗表明，部分－整體，測量，比、算子和商之間，兩兩差異均顯著．

3.2 兒童分數語義理解的潛在類別

由于商含義只包含一種認知成分（見表1），且其整體掌握水平最高，無需分析兒童在商含義的不同認知成分上的掌握模式．因此，分別對兒童的部分—整體、測量、比和算子4種語義理解進行了潛在類別分析．分別抽取了1~4個潛在類別模型，模型擬合指標見表3．由于樣本量小于1?000，因此，主要參考的模型適配度指標為和指標．由表2可知，對各個分數子概念來說，當潛在類別數為2時，和指數最小，且或達到顯著水平．這說明，兒童對部分－整體、測量、比、算子的理解，均以兩個潛在類別為最佳．

表3 兒童分數子概念理解的潛在類別模型比較

注：***< 0.001

確定了兩次測試的最佳類別數目后，進一步分析了各潛在類別在觀測指標上的得分，以描述和命名這些類別．分析結果見圖1．

總的來看，在4種分數語義含義的掌握模式上，潛類別1兒童理解水平均好于潛類別2，因此，潛類別1可以命名為掌握良好組，潛類別2為掌握不良組．且掌握良好組人數均顯著高于掌握不良組人數．但進一步分析可以看出，對于每種語義含義來說，掌握良好組并非在所認知成分上均掌握良好，而掌握不良組也并非在所有認知成分上掌握均差．在不同語義含義上，兩組兒童表現出不同的掌握模式特征．

在“部分—整體”含義上（見圖1A），對比兩組兒童的掌握模式特征，可以看出兩類兒童在掌握模式上表現出同樣的特點，即在判斷等分、識別部分與整體等認知成分上表現均較好，而在理解整體與部分間的包含與補償關系等認知成分上均表現略差．

在“測量”含義上（見圖1B），兩組兒童的掌握模式特征則有所不同．掌握良好組兒童在“測量”含義的5個認知成分上掌握水平高且差異極小，較完整地掌握了“測量”含義所包含的認知成分；而類別二兒童則僅在“確定單位”與“等分單位”上表現較好，而在分數的數形轉換任務（將分數表示位數軸上的點，以及將數軸上的點表示為分數）掌握較差，僅部分掌握了測量含義的認知成分．

在“比”含義上（見圖1C），兩組兒童表現出不同的掌握模式特征．在5種認知成分上，掌握良好組兒童在油漆混合任務上表現最差，而其它任務表現較好．而掌握不良組兒童在所有題目得分均低于0.4，說明在比含義中的所有任務上表現均差，且在“不同測度量相比”的任務上表現最差．

在“算子”含義上（見圖1D），兩類兒童的掌握模式較為一致，在連續變換與偽變換任務上均表現較差，而在“用分數表示變換”以及“變換率與輸入量無關”的理解上，掌握良好組兒童的表現要好于掌握不良組兒童．

圖1 不同分數語義理解的潛在類別

3.3 不同分數語義掌握模式間的關系

每個子概念上的不同掌握模式人數及其在其它模式上的對應概率見表4．表中第1、2列為4種分數語義含義及其典型掌握模式，第3列為每組模式的人數，4~19列為每組被試在其他組別中的人數和期望概率．以第一行為例，部分—整體含義中，掌握良好組265人，且這265人中，有73.2%（194人）同時處于測量掌握良好組，有96.2%（255人）同時處于比掌握良好組，有77.4%（205人）同時處于算子掌握良好組，其它各行含義相同．

對不同語義含義間掌握模式的關聯性進行兩兩比較，結果表明，4種語義含義間關聯性均顯著，卡方檢驗：

所有<0.01．說明4種語義掌握模式分類間存在一致性．4種語義的掌握模式一致性程度有多高呢？作為衡量分類一致性的指標，系數從高到低排序依次為：

所有<0.05，可見，所有系數小于0.4，說明雖存在一致性，但一致性程度較低．

表4 兒童各子概念潛在類別的人數及頻次

注：良好=掌握良好組，不良=掌握不良組

4 討論與建議

使用分數概念語義理解測驗，通過潛在類別分析方法，評估了小學六年級兒童對分數概念語義含義的理解水平和掌握模式．結果表明，（1）從分數語義理解水平上看，兒童對算子含義的掌握水平最低，而對于商含義的掌握水平最高．（2）從分數語義掌握模式來看，部分—整體、測量、比、算子均可分為掌握良好組和掌握不良組兩類．其中，在部分－整體和算子含義上，兩組兒童掌握模式類似，而在測量和比含義上，兩組兒童掌握模式有較大差異．（3）從各語義含義掌握模式間關系來看，分數語義含義掌握模式間存在分類一致性，其中掌握良好組的歸類一致性較高，而掌握不良組的歸類一致性較低．

從分數語義理解水平來看，首先，有88%的兒童掌握了分數的商含義，且顯著高于其它語義含義的掌握水平．由于分數的商含義指分數是“分子除以分母的運算結果”，代表了兒童對于分數概念的數學意義的理解．該結果意味著在分數的多種語義含義中，兒童更易于掌握分數概念的數學運算含義．這一方面可能是由于在小學數學教學中，教師更強調正式的數學符號運算規則[14]．另一方面小學生對除法運算和分數概念的理解，都以日常的等分經驗為基礎[15-17]，因此兒童較容易理解分數的除法含義．其次，兒童對部分—整體含義的理解水平高于測量、比和算子．以往研究也表明，兒童對部分—整體含義的理解較好[18]，例如，郭萌等對五、六年級學生分數表征轉化能力的調查發現，兒童用真分數表示面積陰影圖的正確率高達97.2%[19]，這是由于在分數概念的多種語義含義中，部分—整體含義更易于與兒童已有的整數知識建立關聯．相反，兒童對于算子概念掌握較差，分數的乘法算子含義，就是分數作為倍數時的含義．以往的分數乘法應用題研究即表明與整數作為倍數相比，兒童很難理解分數作為倍數時的含義[20]．

從分數語義掌握模式來看，兒童對分數語義含義的掌握分為掌握良好和掌握不良兩種模式，且掌握良好人數均高于掌握不良人數．在部分－整體含義上，掌握良好組與掌握不良組兩組兒童掌握模式類似，難以理解整體與部分間的包含與補償關系是兩組兒童的共同弱點．在測量含義上，兩組兒童在分數數字線的3個數形轉換任務上差異較大，以往研究也表明，兒童在數字線估計任務上的表現，可以較好預測兒童分數概念掌握水平[21]．這說明兒童對分數測量含義掌握不良主要集中在分數符號——數字線的表征轉換過程中．在比含義上，掌握良好組兒童占到全體被試的94%，除“比為相對量大小”外，其余認知成分掌握水平普遍較高，而掌握不良組兒童雖然僅有4%，但對各認知成分的掌握水平普遍較低，說明絕大多數兒童都能很好地掌握“比”含義，同時，對于兩組兒童來說，理解“比是相對量大小”都較為困難．

從掌握模式間關系來看，當兒童對部分—整體含義掌握良好時，對其它語義含義的掌握也較好．這可能是由于“部分—整體關系”的含義較容易為兒童已有的整數概念同化，較易于理解，因此成為兒童掌握其它分數概念語義含義的基礎．具體來說，兒童通過將一個整體等分為幾個相互獨立的部分，并將每個部分看作一個“1”，從而把分數問題轉化為整數問題加以解決[22]．事實上，在日常經驗和正式教學中，兒童往往通過部分—整體方式理解分數概念．在正式學習分數概念之前，兒童即可以使用等分的方式解決一些簡單的分數問題．即使學習分數之后，兒童最初也往往是依靠分割和計數的方法來解決分數問題[23-24]．

研究結果也表明，部分—整體并非兒童掌握其它分數理解方式的必須途徑．兒童有可能在沒有良好掌握“部分整體”含義的條件下，較好掌握“比”的語義含義．比意味著兩個量的相對大小，研究表明，分割計數和相對量大小知覺都是個體建構分數概念的經驗基礎[25]．在沒有掌握分割計數之前，兒童就已經能夠基于直覺判斷相對量的大小，因此，兒童完全有可能在沒有掌握部分整體含義的條件下，掌握比的含義．

從小學分數概念教學來看，研究結果有助于為解答下列教學問題提供啟發．

第一，對于全體學生來說，分數概念教學的難點是什么？研究結果中，掌握良好組和掌握不良組被試均難于理解的認知成分，可能構成了小學兒童分數概念語義理解的難點．具體包括（1）部分量與整體量間的包含與補償關系，（2）比例是一個相對大小（比例推理），（3）算子的連續變換．可以看出，這些都涉及特定問題情境中兩個量之間復雜關系．掌握這些關系，是全體小學兒童分數概念學習的難點．

第二，掌握不良的學生究竟“差”在何處？對這部分學生的教學重點是什么？在研究結果中，那些掌握良好組兒童能夠較好理解，而掌握不良組兒童卻理解較差的認知成分，可能構成了分數概念掌握不良兒童的教學重點．具體包括，（1）測量含義中，分數的數形轉換；（2）比含義中，用分數表示比例關系，比例關系的判別；（3）測量含義中，用分數表示變換關系．可以看出，這3組認知成分都是分數的表征轉換任務，其共通之處是用分數表示兩個特定量間的關系．這與范文貴等的調查結果相一致[26]．因此，用分數來表示特定問題情境中的兩個量，是分數概念掌握不良的教學重點．

5 結論

（1）兒童對分數概念的5種語義含義的掌握水平，由高到低依次為商、部分—整體、測量、比、算子．

（2）兒童對部分—整體、測量、比、算子等4種語義含義的掌握模式，可以簡單分為掌握良好和掌握不良兩類．其中，在部分－整體和算子含義上，兩組兒童掌握模式類似，而在測量和比含義上，兩組兒童掌握模式有較大差異．

（3）不同語義含義的掌握模式分類存在一致性．其中，掌握良好組的歸類一致性較高，而掌握不良組的歸類一致性較低，即兒童對某種語義含義掌握良好時，對其它子概念也能掌握較好．但是在對某種語義掌握不良組的兒童未必在其它語義上也掌握不良．

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Pupil’s Master Level and Pattern for Understanding of Fraction’s Sematic Meaning: Based on Latent Class Analysis

ZHANG Huan1, 2, XIN Zi-qiang3, CHEN Ying-he4, HU Wei-ping1

(1. MOE Key Laboratory of Modern Teaching Technology, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China;2. School of Education Science, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041004, China;3. School of Sociology and Psychology, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China;4. Institute of Developmental Psychology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Fraction, an abstract symbol, had the different semantic meanings in different contests. In this study, the scale was administered to 295 six grade children and an exploratory latent class analysis was conducted to evaluate their master level and patterns for understanding of fraction’s sematic meaning. Result showed that: (1) in the five semantic meanings of fraction, the quotient meaning was mastered best and the operator meaning was mastered worst by children. (2) In the semantic meaning of part-whole, measure, ratio and operator, children were all defined in two classes, good-mastered group and poor-mastered group. The two groups had similar patterns in part-whole and operator meanings, but deferent patterns in ratio and measure meanings. (3) Coherence between the several sematic meanings of good-mastered group was higher than coherence of poor-mastered group.

concepts of fraction; understanding of semantic meaning; master pattern

2018–01–22

國家社科基金重大項目——中國兒童青少年思維發展數據庫建設及其發展模式的分析研究（14ZDB160）

張睆（1979—），男，山西陽泉人，山西師范大學講師，陜西師范大學博士生，主要從事認知發展與數學學習研究．

G622

A

1004–9894（2018）03–0066–06

張睆，辛自強，陳英和，等．小學兒童分數概念語義理解水平及模式：基于潛在類別分析[J]．數學教育學報，2018，27（3）：66-71．

[責任編校：周學智]