知情交易概率的估計方法比較

郇鈺 趙琬迪

摘 要：知情交易概率PIN模型的極大似然估計，由于似然函數形式復雜，在最優化過程中很容易出現計算溢出的問題。本文提出了PIN模型的廣義矩估計，并通過數值模擬比較了這一新方法和以往文獻提出的原始極大似然估計、改進極大似然估計在不同情況下的估計精度。模擬結果表明，在某些情況下，廣義矩估計比極大似然估計更容易計算得出也更具有精度優勢。本文還提出了用bootstrap方法對廣義矩估計結果進行誤差修正，進一步提高了廣義矩估計方法對于知情交易概率PIN的估計精度。

關鍵詞：知情交易概率；極大似然估計；廣義矩估計；bootstrap誤差修正

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A 文章編號：1674-2265（2018）04-0064-08

DOI：10.19647/j.cnki.37-1462/f.2018.04.010

在市場微觀結構理論中，由Easley等（1996）提出的知情交易概率的測度PIN模型（簡稱EKOP模型）有十分重要的意義。這是第一個直接對知情交易程度進行衡量的指標，也是目前最具代表性、被研究者使用最廣泛的一類模型測度。知情交易概率（Probability of Informed Trading，簡稱PIN）是指一次交易來自擁有私人信息的知情交易者的概率，也即，某資產來自知情交易者的交易占該資產全部交易的比重?？梢哉J為，PIN值越低，知情交易概率越低，說明該資產的信息不對稱程度越低。PIN理論一經提出就受到了廣泛關注，常與金融實證領域的研究相結合。例如Easley等（1996）發現交易頻繁的股票和交易不頻繁股票之間買賣價差的差異可以用PIN來解釋。Easley等（2002）把PIN作為第四個定價因子加入Fama和French（1993）的三因子模型中進行回歸，發現知情交易概率與價格顯著正相關，這說明知情交易概率越高，所要求的風險補償也越高，因此他們認為PIN可以作為一種風險因子被定價。Duarte和Young（2009）檢驗了PIN是否被信息不對稱或者流動性因素定價等等。

同時，也有一些學者關注PIN模型本身的估計問題。Boehmer等 （2007）發現交易數據的買賣方向分類不準確會造成PIN的低估。Easley等（2010）提出一種改進的PIN 參數的似然函數，用來提高最優化似然函數時的計算效率。Lin和Ke （2011）發現在數值計算PIN的極大似然估計時可能遇到非常嚴重的計算溢出問題，尤其是當訂單數量特別大的時候，利用近幾年股票市場數據，他們發現大約有44%的PIN估計結果受到計算問題的影響。Yan和Zhang（2012）認為在數值求解極大似然估計的時候，邊界解會造成PIN的估計偏差，并且認為Easley 等（2010）提出的估計有系統性偏誤問題。

盡管有很多學者先后提出了改善上述PIN的極大似然估計計算問題的方法，但這些改進思路仍然局限在極大似然估計的框架之下，無法根本解決因似然函數復雜性引起的問題。因此，本文提出采用另一種經典計量方法—廣義矩估計來計算PIN的估值。從統計推斷的角度來說，廣義矩估計和極大似然估計都能得到一致的相合估計，盡管廣義矩估計只采用了分布的矩信息，但是在樣本足夠大的情況下，同樣是一致漸近正態的廣義矩估計也可以作為極大似然估計結果的有效補充。另外，在計算過程方面，廣義矩估計的計算過程更加簡便快捷，無論在何種數據條件下，廣義矩估計方法都能得到估計結果，不會出現計算溢出問題，并且通過本文的數值模擬研究可以看出，在某些情況下，廣義矩估計的精度要明顯優于極大似然估計的精度。另外，根據廣義矩估計的模擬性質，本文還提出用bootstrap誤差修正方法進一步提升廣義矩估計的估計精度。

一、EKOP模型及極大似然估計

（一）EKOP模型及知情交易概率PIN理論回顧

Easley等（1996）在Glosten和Milgrom（1985）的市場微觀結構理論模型基礎上進行擴展，開創性地提出了度量知情交易概率PIN的EKOP模型。該模型認為在滿足某些假設條件的交易機制下，根據每個交易日買方發起的訂單數量和賣方發起的訂單數量，可以直接估計知情交易者提出交易的概率。

在市場微觀結構中，EKOP模型考慮了一種簡單的序貫結構的交易模型。定義[i=1，…，I]為I個交易日，每個交易日被認為是獨立重復地進行交易過程，[t∈[0，T]]代表每個交易日內的連續時刻。模型假設市場中存在潛在的知情交易者，他們和非知情交易者都與一個風險中性且具有競爭性的做市商進行股票和資金的交易。對于任意一只股票來說，在每個交易日開始前，是否有決定資產價值的新消息產生是由概率[α]決定的。假設一天至多只有一個新消息產生，如果有新消息，該消息是利空消息的概率為[δ]，是利好消息的概率為1-[δ]。知情交易者可以提前知道消息，而非知情交易者和做市商只能觀察到股票價格。在有消息的交易日，當知情交易者捕捉到利好消息時，他們會買進；當他們發現是利空消息時，便會賣出。假設非知情交易者發起的買方訂單和賣方訂單，以及知情交易者發起的買賣訂單，均服從相互獨立的泊松過程。非知情交易者提交買方訂單的速率均為[εb]，提交賣方訂單的速率為[εs]。而知情交易者在有利好消息時提交買方訂單的速率和有利空消息時提交賣方訂單的速率均為[μ]。根據Easley等（2002）的研究，參數[εb]、[εs]和[μ]是日度速率。

圖1的樹形圖展示了任意股票在任意一天的交易過程。樹形圖的第一個節點代表是否有消息發生。如果有消息發生，第二個節點代表是利好消息或是利空消息。在任意一天，虛線前的三個節點（利好消息、利空消息和沒有消息）發生的概率分別為[α（1-δ）]、 [αδ]和 [1-α]。為交易日選定某一個節點后，買賣訂單的到達分別服從相應的泊松分布。在有利好消息的交易日，買方訂單的到達速率為[εb+μ]而賣方訂單的到達速率為[εs]；在有利空消息的交易日，買方訂單的到達速率為[εb]而賣方訂單的到達速率為[εs+μ]；在沒有信息的交易日，知情交易者無利可圖，不會參與到市場中，此時只有非知情交易者進行交易，所以買賣訂單到達速率分別為[εb]和[εs]。

從而，知情交易概率PIN定義為

[PIN=αμαμ+εb+εs] （1）

式（1）中，[αμ+εb+εs]可以理解為全部訂單到達速率，[αμ]為知情交易訂單到達速率，因此PIN也可以理解成所有訂單中來自知情交易者的訂單所占的比率。

（二）PIN的極大似然估計

EKOP模型用一種二維混合泊松結構的模型來表達上述交易機制，而在這個模型中，可以用每日買賣交易筆數數據對參數[θ=（α， δ， εb， εs， μ）]進行估計，進而通過式（1）得到PIN的估計。

如圖1，每一天買賣訂單的到來都只能服從三種二維泊松分布（利空消息、利好消息或者沒有消息）中的一種。雖然做市商和非知情交易者不知道當天的交易情況具體是服從哪一種泊松分布，但是可以通過一天的交易數據挖掘出市場隱含的信息結構。例如當天如果買方發起交易越多，越有可能是有利好消息發生；而賣方發起交易越多，則越有可能是利空消息。反之，如果當天沒有新消息，那么市場上不會有知情交易者參與，這一天的訂單量可能相對較少。如果用一個由三組二維泊松分布構成的混合模型來描述這個過程，那么每種情況發生的概率應該由混合模型中的權重系數來決定，因而可以在此基礎上構造這個混合模型。

首先，假設在已知第i個交易日的信息情況下，構造似然函數。如果這個交易日在開始前有利空消息放出，那么賣方發起訂單的到達速率為[εs+μ]，說明知情交易者和不知情交易者都會賣出；而買方發起訂單的速率為[εb]，因為只有不知情交易者才會買入。因此，在單位時間內，觀測到了第i個交易日共有[Bi]筆買方發起訂單，[Si]筆賣方發起訂單，（[Bi]，[Si]）的似然函數為：

[e-εbεbBiBi！e-（εs+μ）（εs+μ）SiSi！] （2）

同理，如果是有利好消息的交易日，觀測到第i個交易日共有[Bi]筆買方發起訂單，[Si]筆賣方發起訂單的信息后，（[Bi]，[Si]）的似然函數為：

[e-（εb+μ）（εb+μ）BiBi！e-εsεsSiSi！] （3）

如果這一天沒有消息，（[Bi]，[Si]）的似然函數為：

[e-εbεbBiBi！e-εsεsSiSi！] （4）

實際上，交易日類型（利空消息、利好消息或者沒有消息）并不可知，因此可以將式（2）、（3）和（4）加權平均作為該交易日的似然函數，權重就是發生三種情況（利空消息、利好消息或者沒有消息）的相應概率[（αδ，α1-δ，1-α）]。也就是說，在第i個交易日觀測到的交易數據（[Bi]，[Si]）的似然函數為：

[fBi，Si|θ=α1-δe-εb+εs+μ*εb+μBi*εsSiBi！Si！+αδe-εb+εs+μ*εbBi*εs+μSiBi！Si！+（1-α）e-εb+εs*εbBi*εsSiBi！Si！] （5）

因為交易日之間是獨立的，假設觀測到I天的交易數據 [B=BiIi=1]和[S=SiIi=1]，則（B，S）的似然函數為：

[L（B，S|θ）=i=1If（Bi，Si|θ）] （6）

Easley等（2002）首先對參數[α]和[δ]進行邏輯變換，對參數 [εb]、[εs]和[μ]進行對數變換，從而使得所有參數在實數域上沒有限制， 接著使用quadratic hill-climbing算法來最大化似然函數（6）以求得參數[θ]的估計值，進而得到PIN的估計值。本文將這種方法稱為原始的MLE方法。

正如前文提到的極大似然估計存在計算溢出問題，原始的MLE估計非常容易出現計算上溢或者下溢的錯誤，特別是當買賣訂單數量非常大的時候。為了緩解這個問題，Easley等（2010）提出了一種改進的對數似然函數，用于提高計算效率，降低計算問題出現的可能性。將式（6）取對數后，去掉常數項并進行重排，得到對數似然函數，即：

[l（B，S|θ）=i=1I-εb-εs+Milnxb+lnxs+Bilnεb+μ+Silnεs+μ +i=1Iln [α1-δe-μx-MibxSi-Mis+αδe-μxBi-Mibx-Mis +（1-α）xBi-MibxSi-Mis]] （7）

其中，[Mi=min（Bi，Si）+max （Bi，Si）/2]，[xb=εb/（εb+μ）]

以及[xs=εs/（εs+μ）]。本文把極大化式（7）的方法稱為改進的MLE方法。

然而，這種改進對于運算效率的提高，尤其對交易頻繁股票的運算效率提高，是非常有限的。實際計算中仍然有很多情況無法得到參數[θ]的估計值，例如Lin和Ke（2011）發現即便是使用改進的MLE方法，PIN的參數估計仍然會遇到計算溢出問題，同時在他們使用的股票數據中，大約有44%的PIN估計值存在低估的偏差，并且這種現象在交易活躍的股票樣本中更加明顯。Yan和Zhang（2012）發現改進的MLE估計方法經常得到參數的邊界解，也就是說，[α]被估計為0或者1，這也會造成PIN估計值的巨大偏差。

二、廣義矩估計

為了避免前文提到的極大似然估計存在的各種問題，本文提出了用廣義矩估計方法來測度知情交易概率PIN。

按照EKOP模型的理論，單位時間內累計買方發起訂單量B和賣方發起訂單量S的聯合分布（B，S）為混合的二維泊松分布：

[f（B=k，S=l）=α1-δe-εb+εs+μ*εb+μk*εslk！l！+αδe-εb+εs+μ*εbk*εs+μlk！l！+（1-α）e-εb+εs*εbk*εslk！l！] （8）

從而，B和S的邊際分布分別為混合的一維泊松分布：

[fB=k=l=0∞fB=k，S=l=1-α1-δ?εkbk！e-εb+α1-δ?εb+μkk！e-εb+μ] （9）

以及

[fS=l=l=0∞fB=k，S=l=1-αδ?εlsl！e-εs+αδ?εs+μll！e-εl+μ] （10）

進而可以推出B和S的各階矩如下：

[EB+S=εb+εs+αμ] （11）

[VarB=εb+α1-δ[μ+（1-α1-δ）μ2]] （12）

[VarS=εs+αδ[μ+（1-αδ）μ2]] （13）

[CovB，S=-α2δ（1-δ）μ2] （14）

另外，還可以考慮

[EB2S=εb2+εbεb+αδμ+α1-δμεs（1+2εb+μ）]

（15）

[EBS2=εs2+εsεb+α（1-δ）μ+αδμεb（1+2εs+μ）]

（16）

利用式（11）—（16）這6個總體矩條件，可以對5個參數[θ=（α，δ，εb，εs，μ）]做廣義矩估計。用樣本矩代替總體矩，則樣本矩條件為：

[1Ii=1Ig（Bi，Si；θ）=1Ii=1IBi+Si-（εb+εs+αμ）（Bi-B）2-εb-α1-δ[μ+（1-α1-δ）μ2]（Si-S）2-εs-αδ[μ+（1-αδ）μ2]Bi-BSi-S+α2δ（1-δ）μ2Bi2Si-εb2+εbεb+αδμ-α1-δμεs（1+2εb+μ）BiSi2-εs2+εsεb+α1-δμ-αδμεb（1+2εs+μ）=0]

（17）

其中[B=1Ii=IBi]，[S=1Ii=ISi]為樣本均值。

由此，可以得到參數[θ=（α，δ，εb，εs，μ）]的廣義矩估計：

[θGMM=argminθ1Ii=1IgBi，Si；θ'W1Ii=1IgBi，Si；θ] （18）

其中[W]為權重矩陣。根據廣義矩估計的大樣本理論，選擇最優權重矩陣[W] =[Ω-1]，能使廣義矩估計量[θGMM]最有效，這里[Ω]是樣本矩[I[1Ii=1IgBi，Si；θ]]的漸近協方差矩陣。

考慮到樣本矩條件[gBi，Si；θ]之間存在序列相關性，本文采用Newey和West（1987）提供的算法來估計[Ω]，具體為：[ΩNW=Ω0+k=1MT（1-k/（MT+1））（Ωk+Ω'k）]，是采用Bartlett核函數，窗寬[MT=[T1/3]]的Newey-West協方差矩陣估計，這里T為樣本容量，[Ωk]，k=0，…，[MT]為第k階樣本自協方差矩陣。

三、數值模擬

本文通過數值模擬的方法比較了原始的極大似然估計（簡記為MLE1）、改進的極大似然估計（簡記為MLE2）和廣義矩估計（GMM）三種方法對PIN的估計效果。首先考慮上述三種PIN模型估計方法在不同樣本量、不同參數設置下的均方根誤差。其次，進一步給出了三種估計的均方根誤差和偏差隨著知情交易者提交訂單的速率[μ]及非知情交易者提交訂單的速率[ε]變化的表現（這里，不失一般性地，令[εb=εs=ε]，該假設亦符合Easley等（1998）提供的實證結果）。

（一）估計誤差的比較

本節的模擬設置如下：在一次模擬過程中，為了產生每個交易日買賣訂單量（[Bi]，[Si]）的數據，需設定參數真值[θ=（α， δ， ε， μ）]，其中，[α]=0.37和[δ]=0.70為均勻分布產生的隨機數，[ε]分別取區間[0，1]、[10，100]、[100，200]和[200，300]內的均勻分布隨機數，而[μ]/[ε]分別設為0.5、1和1.5，由式（1）計算，得到真實值PIN。而（[Bi]，[Si]）服從式（5）的二維混合泊松分布，由此分布模擬生成連續I個交易日的交易數據[B=BiIi=1]和[S=SiIi=1]，其中樣本量I的取值分別為21、63、126和252，分別代表一個月、一季度、半年和一年的交易天數。本文的模擬次數N=1000次。

根據模擬生成的數據集（[B]，[S]），可以計算得到PIN模型的三種估計（MLE1，MLE2和GMM）。 表1給出了三種估計在不同參數設置和不同樣本量大小下的均方根誤差比較，Panel A—D分別代表隨機抽取的參數[ε]=0.5751、22.304、172和281的模擬結果?？傮w來看，隨著[ε]的逐漸增大或者樣本量I的變大，三種估計方法的均方根誤差幾乎呈現減小的趨勢，只是在不同的參數設定場景下，三種方法誤差減小的程度不盡相同。而對每一行，隨著[μ]/[ε]比值設定逐步擴大，Panel A的情況是三個方法均方根誤差均逐漸減小，Panel B的情況是先降后升，而Panel C和Panel D的情況是幾乎逐步增大。對表1進一步分析可以發現，在[ε]取值較小時（0.5751和22.304），MLE1估計和MLE2估計的均方根誤差區別不大，而此時GMM估計的誤差略高于其他兩種方法。而當[ε]取值較大時（172和281），MLE1估計誤差明顯高于MLE2估計，并且隨著[μ]/[ε]增加，樣本量I增加，二者之間的差別愈發明顯。例如[μ]/[ε]=0.5、I=21時，MLE1的均方根誤差僅比MLE2的高1.8%，而在[μ]/[ε]=1.5、I=252情況下，MLE1的均方根誤差比MLE2的高約6倍，同時在[ε]取值較大時，GMM估計的優勢逐漸顯現出來，尤其是樣本量I逐漸增大，或者固定[ε]，[μ]/[ε]逐步增大，GMM的估計精度明顯優于MLE1的精度。

（二）估計誤差隨[ε]及[μ]的變化

表1中的結果表明，三種方法的估計效果可能和[μ]與[ε]的相對大小以及樣本量I均有關系。為了更加直觀地比較并展示三種PIN估計的性質，圖2給出了在不同樣本量I的設定下，當[μ]/[ε=0.2，0.4，…，2]時，三種估計的均方根誤差隨著[μ]/[ε]變化的情形。而圖3則是在不同樣本量I的設定下三種估計的偏差隨著[μ]/[ε]變化的情形。這里，其他的參數真值分別設為[α]=0.37，[δ]=0.70，[ε]=281。

從圖2中可以看出，無論樣本量I如何選定，平均而言，當[μ]相對于[ε]很小的時候，MLE1的均方根誤差近似MLE2的均方根誤差，二者都優于GMM的誤差；隨著[μ]的增加，MLE1 估計的精度逐漸變差，而GMM估計的誤差呈下降趨勢，尤其是在[μ]/[ε]>1后，MLE1的估計誤差上升趨勢明顯增大，且大于GMM的估計誤差，說明此時MLE1估計不再具有優勢，而GMM 的估計誤差逐漸回落，接近MLE2的值。另外，隨著樣本量I的設定增大，GMM估計均方根誤差會更迅速且更緊密地靠近MLE2估計的均方根誤差，當I=126時，GMM的均方根誤差除了在[μ]/[ε]=0.2時顯著大于MLE2的均方根誤差外，其他情況下都非常接近MLE2的結果；而當I=252時，GMM的均方根誤差幾乎從一開始就已經非常近似于MLE2的均方根誤差。

圖3給出的信息同樣能夠得到同圖2類似的結論。首先，MLE2估計的偏差基本在0水平線附近，波動很小，可以認為MLE2估計此時比較理想。而MLE1估計的偏差，在[μ]相比于[ε]比較小時，與MLE2的偏差很接近，但隨著[μ]增大，MLE1估計會出現非常嚴重的負向偏差（I=21時，MLE1的負向走勢大約從[μ]/[ε]=0.6開始；而當I=252時，MLE1的負向走勢推遲到從[μ]/[ε]=1.2開始），說明MLE1存在低估問題，尤其是在樣本量I比較小或者[μ]/[ε]較大時。GMM估計在[μ]/[ε]很小且I也較小時，會有較明顯的正向偏差，但是在[μ]/[ε]>0.4或者I=252后，GMM估計的偏差幾乎為0，GMM與MLE2的偏差曲線幾乎重疊。

四、采用bootstrap誤差修正的廣義矩估計

從圖2和圖3中可以看出，在[μ]/[ε]取值較小時，GMM估計結果的均方根誤差以及偏差都相對較大，盡管這個現象隨著樣本量I的增加有明顯緩解，但考慮到實證分析中，案例時間窗口的長度要根據具體問題加以選擇，并不一定能保證I等于或者超過252天，因此本文進一步提出了在廣義矩估計的基礎上使用bootstrap方法對模型進行誤差修正，以期得到更加精確的結果。

用bootstrap方法對廣義矩估計結果進行偏差修正在學術界已有廣泛的應用，例如Efron和Gong（1983）、Ramalho（2006）的研究。本文提供的思路是在得到廣義矩估計結果[θGMM]和[PINGMM]后，以參數的估計值[θGMM]為真值，使用蒙特卡洛方法再次生成K組模擬數據[（Bk，Sk）]，k=1，…，K，對每組模擬數據[（Bk，Sk）]再使用廣義矩估計算法得到PIN的估計值[PINk]，從而可以得到偏差的估計值[bias=1Kk=1KPINk-PINGMM]。以此對原本的廣義矩估計[PINGMM]進行偏差修正，得到誤差修正后的GMM估計值：

[PINadjGMM=PINGMM-bias=2PINGMM-1Kk=1KPINk] （19）

然而，因為知情交易概率PIN[∈[0，1]]，式（19）有可能得到超出[0，1]范圍的估計結果，對于這種情況，則保留原有的GMM估計結果[PINGMM]。

表2展示了使用上述bootstrap方法進行誤差修正前后的GMM估計結果的對比。本節仍采用模擬研究的方法，對比兩種估計的均方根誤差和偏差。這里，真實的參數設定為[α=0.37]，[δ=0.70]，[εb=εs=ε=281]，

[μ]/[ε]依次取值0.5、1、1.5和2，Panel A—D分別代表樣本量I=21、63、126和252的模擬結果。而bootstrap步驟中自抽樣次數設為K=100次。

根據表2展示的結果，除了Panel A的第一列（I=21，[μ]/[ε]=0.5）情況以外，隨著[μ]/[ε]擴大，修正前后的GMM估計均方根誤差都逐漸增大，而偏差通常也是在[μ]/[ε=0.5]的時候最低（Panel A除外）。但無論總體的變化趨勢如何，誤差修正后的GMM估計的絕對偏差和均方根誤差都始終比沒有誤差修正的GMM估計要小，可見bootstrap誤差修正方法的確能夠改善GMM估計的精度。

五、結論

本文提出了關于EKOP模型知情交易概率PIN的廣義矩估計方法，并且通過隨機模擬的結果說明在交易天數I較大，買賣訂單數（B，S）較大（即訂單到達速率參數[ε]和[μ]較大），以及知情交易者提交訂單的速率[μ]相比于非知情交易者提交訂單的速率[ε]較大時，廣義矩估計比極大似然估計更容易計算得出，也更具有精度優勢。同時，本文提出用bootstrap方法對廣義矩估計結果進行誤差修正，通過數值模擬結果說明，修正后的GMM在均方根誤差和偏差兩方面都有明顯的改善，進一步提高了廣義矩估計方法對于知情交易概率PIN的估計精度。本文的方法和結論對于知情交易概率PIN的測度提供了有效的方法補充，當PIN的極大似然估計受到計算溢出問題影響時，bootstrap誤差修正后的廣義矩估計是一種便捷快速、不受數據量大小限制的估計方式，對后續金融實證研究有非常重要的幫助作用。

參考文獻：

[1]Boehmer E，Grammig J，Theissen E. 2007. Estimating the probability of informed trading—does trade misclassification matter？[J].Journal of Financial Markets，10（1）.

[2]Duarte J，Young L. 2009. Why is PIN priced？[J].Journal of Financial Economics，91（2）.

[3]Easley D，Hvidkjaer S，O'Hara M. 2002. Is Information Risk a Determinant of Asset Returns？[J].The Journal of Finance，57（5）.

[4]Easley D， Hvidkjaer S，OHara M. 2010. Factoring Information into Returns[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis，45（2）.

[5]Easley D， Kiefer N M， O'Hara M et al. 1996. Liquidity，Information， and Infrequently Traded Stocks[J]. The Journal of Finance，51（4）.

[6]Easley D，O'Hara M，Paperman J. 1998. Financial analysts and information-based trade[J].Journal of Financial Markets，1（2）.

[7]Efron B，Gong G. 1983. A Leisurely Look at the Bootstrap，the Jackknife，and Cross-Validation[J].The American Statistician，37（1）.

[8]Fama E F，French K R. 1993. Common risk factors in the returns on stocks and bonds[J].Journal of Financial Economics，33（1）.

[9]Glosten L R，Milgrom P R. 1985. Bid，ask and transaction prices in a specialist market with heterogeneously informed traders[J].Journal of Financial Economics，14（1）.

[10]Newey W K，West K D. 1987. A Simple， Positive Semi-Definite， Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix[J].Econometrica，55（3）.

[11]Ramalho J J S. 2006. Bootstrap bias-adjusted GMM estimators[J].Economics Letters，92（1）.

[12]William Lin H-W， Ke W-C. 2011. A computing bias in estimating the probability of informed trading[J]. Journal of Financial Markets，14（4）.

[13]Yan Y，Zhang S. 2012. An improved estimation method and empirical properties of the probability of informed trading[J].Journal of Banking & Finance，36（2）.