2011年北大保送生考試一道試題的推廣

2011年北大保送生考試第1題為：點P為雙曲線上任一點，PQ為雙曲線在點P處的切線.∠.

運用類比思想，我們可以將上述結論推廣到橢圓和拋物線.

推廣1 點P為橢圓上任一點，PQ為橢圓在點P處的切線.

的外角平分線.

證法一 運用焦半徑公式及角平分線定理.

不妨設橢圓方程為

∠的外角平分線?PQ的法線PM平分

∠.

當P為頂點時，結論顯然成立.當P不為頂點時，即00x≠，且∠的外角平分線.

推廣2 點P為拋物線上任一點，PQ為拋物線在點P處的切線.F為拋物線的焦點，l為拋物線的準線，點P在l上的射影為M.求證：PQ平分FPM∠.

證法一 運用二倍角公式.

不妨設拋物線方程為22(0)ypx p=>，如圖2，

00x =時，點P為頂點，此時顯然成立.綜上，PQ平分FPM∠.

證法二 運用圓錐曲線的光學性質.

從焦點F發出的光線經過拋物線上的點P反射后的光線PN平行于x軸，拋物線在點P處的切線PQ相當于鏡面，易得QPFNPQ′

參考文獻

[1]范端喜.2011年北大保送生考試數學試題賞析.數學通訊，2011(4)(下半月)：53-55