實(shí)施問題導(dǎo)引 解密黃金分割

劉秀妹

摘 要：勾股定理和黃金分割在數(shù)學(xué)中有著不可估量的價(jià)值。但是，學(xué)生對(duì)于理解黃金分割的概念本質(zhì)和畫圖方法有較大困難，在經(jīng)歷了“一年磨一課”之后，逐漸破譯了黃金分割教學(xué)的疑難密碼。

關(guān)鍵詞：黃金分割；問題導(dǎo)引；疑難解答

一、優(yōu)創(chuàng)動(dòng)態(tài)情境，展現(xiàn)新知生長點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)既是靜止的，又是動(dòng)態(tài)的，但是教材往往只能以靜態(tài)的情境來呈現(xiàn)知識(shí)，深度的思考只能隱藏其中。因此，要在知識(shí)的連接點(diǎn)上優(yōu)創(chuàng)動(dòng)態(tài)的問題情境，利用多媒體可以將靜止的知識(shí)動(dòng)態(tài)化，展現(xiàn)新知識(shí)的生長點(diǎn)，主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)。

世界上許多國家的國旗都選擇五角星圖案的重要原因之一在于五角星中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)美，它的外在美是軸對(duì)稱美，內(nèi)在美是黃金分割比例美。教師借助動(dòng)畫演示，從中國國旗圖案中選定其中一個(gè)五角星，并在平移后進(jìn)行放大（如圖1），先觀察發(fā)現(xiàn)五角星外在的軸對(duì)稱美，每個(gè)角均為36°，再從中隱去其他部分，顯示出一個(gè)等腰三角形（如圖2），得到以下條件：AB = AD，∠A = 36°，DC平分∠ADB，接著提出問題導(dǎo)引教學(xué)。從相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例出發(fā)，由等腰三角形的相等線段等量代換得到比例式[ACAB=CBAC，] 再通過動(dòng)畫隱去圖2中的三條線段DA，DC，DB，而后把線段AB經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到圖3，順勢引出黃金分割的概念。

借助動(dòng)畫演示從五角星到等腰三角形，再到含有黃金分割點(diǎn)的線段，充分挖掘五角星圖案中含有的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，直指教學(xué)的主題與實(shí)質(zhì)，自然地引出黃金分割的概念。

二、明析抽象概念，類比方法促認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)概念既是抽象的，又是具體的。因此，在概念教學(xué)中，教師要盡量化抽象為具體，把相似或相近的概念用類比的方法找出概念之間的異同點(diǎn)，弄清其區(qū)別和聯(lián)系，促進(jìn)對(duì)新概念的認(rèn)識(shí)。

在歸納黃金分割的概念后，教師可以利用幻燈片出示兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生交流討論：（1）怎么理解黃金分割和黃金比？生活中有哪些帶有“黃金”的稱呼？（2）一條線段有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？黃金分割點(diǎn)與中點(diǎn)在分線段的比例上有何異同點(diǎn)，在位置上有什么關(guān)系？

問題（1）引導(dǎo)學(xué)生類比生活中帶有“黃金”的稱呼，在類比中體會(huì)黃金分割的黃金比是具有很高應(yīng)用價(jià)值的一種分割比例關(guān)系；問題（2）引導(dǎo)學(xué)生把黃金分割點(diǎn)與中點(diǎn)進(jìn)行類比，在類比中發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)是把線段平均分成相等的兩條線段，分割后的每條線段與原來的線段之比為[12，] 而黃金分割點(diǎn)是把線段分成不相等的兩條線段，分割后較長的線段與原來的線段之比為[5-12。] 讓學(xué)生通過類比的方法理解了黃金分割點(diǎn)和中點(diǎn)都是分割線段成特殊比例關(guān)系的特殊點(diǎn)。

三、善用數(shù)學(xué)活動(dòng)，實(shí)踐操作提能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教師應(yīng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)活動(dòng)不僅指外顯的肢體活動(dòng)，更體現(xiàn)為內(nèi)隱的思維活動(dòng)。學(xué)生的能力不是聽來的，而是做來的。因此，在教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生經(jīng)歷探究思考、實(shí)驗(yàn)操作、推理計(jì)算、預(yù)測反思，以及想象的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，獲得直接經(jīng)驗(yàn)和親身體驗(yàn)，促進(jìn)思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)提倡“做中學(xué)、學(xué)中思、思中議”的深度學(xué)習(xí)，體會(huì)“實(shí)踐出真知”的道理，積累實(shí)踐操作的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

認(rèn)識(shí)黃金分割概念之后，教師利用幻燈片圖文并茂地出示教材中的“巴臺(tái)農(nóng)神廟中的黃金比”和例題中的“求與證黃金比”兩個(gè)問題引導(dǎo)教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的探究熱情。教師利用實(shí)物投影展示不同學(xué)生的解答，并讓學(xué)生講解演示。“巴臺(tái)農(nóng)神廟中的黃金比”是黃金分割在建筑上應(yīng)用的典型代表，通過推理證明，判斷其中的黃金分割點(diǎn)與黃金比，進(jìn)一步鞏固新知識(shí)，提升了學(xué)生的邏輯推理能力。通過幻燈片演示“求黃金比”的規(guī)范解答過程和“證黃金比”的詳細(xì)分析過程，再次進(jìn)行恰當(dāng)?shù)臍w納和示范，實(shí)現(xiàn)煩瑣推理的簡明化。

四、深化知識(shí)應(yīng)用，拓寬教學(xué)增視野

教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)找準(zhǔn)教材的延伸點(diǎn)、拓展點(diǎn)、信息點(diǎn)，合理利用信息技術(shù)和數(shù)字資源，提供與教材知識(shí)相聯(lián)系的應(yīng)用與延伸，拓寬教學(xué)視野，從而實(shí)現(xiàn)從“小課堂”到“大課堂”的飛躍。

教師借助網(wǎng)絡(luò)搜集圖片資源，利用動(dòng)畫播放、展示一些在不同領(lǐng)域中應(yīng)用黃金分割的圖片。學(xué)生在欣賞圖片時(shí)，學(xué)習(xí)運(yùn)用黃金分割的比例解釋圖片的內(nèi)在美，并體會(huì)大自然的神奇與人類的智慧。學(xué)生在解決問題時(shí)，充分體會(huì)到了黃金分割的廣泛應(yīng)用，體會(huì)到了數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，感悟到了數(shù)學(xué)比例的內(nèi)在美。

黃金分割中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化價(jià)值，0.618的意義是密切聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的紐帶。因此，教師要鼓勵(lì)學(xué)生借助網(wǎng)絡(luò)去查閱資料，并補(bǔ)充一道趣味問題引導(dǎo)課后探究：通過折疊，驗(yàn)證作業(yè)紙是不是黃金矩形？再次激發(fā)學(xué)生對(duì)黃金分割深入探究的興趣。

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題2016年度專項(xiàng)課題——基于問題導(dǎo)引的初中數(shù)學(xué)“五學(xué)”教學(xué)模式的實(shí)踐研究（2016XB6576）。

參考文獻(xiàn)：

[1]謝立光. 破譯黃金密碼 感受數(shù)學(xué)之美：“黃金分割與數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計(jì)與分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（9）.