嵌入GARCH波動(dòng)率估計(jì)的B1ack-Litterman投資組合模型

凌愛(ài)凡，陳驍陽(yáng)

(江西財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，江西 南昌　330013)

1　引言

考慮Markowitz[1]均值-方差投資組合模型：

其中：w=(w1…,wn)T為投資組合的權(quán)重向量，Σ為n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)方差-協(xié)方差矩陣，I為元素全為1的向量，μ為n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率向量，E為給定的投資組合期望收益，均值-方差問(wèn)題 (MV) 是一個(gè)典型的凸二次優(yōu)化問(wèn)題，其解析解可表示為：

w=g+hE

(1)

其中，

μTΣ-1I=A,μTΣ-1μ=B,ITΣ-1I=C,BC-A2=D

在實(shí)際應(yīng)用中，最優(yōu)解(1)最關(guān)鍵的問(wèn)題是參數(shù)μ和σ的估計(jì)對(duì)最優(yōu)解的影響。豐富的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，MV模型對(duì)輸入?yún)?shù)非常敏感，期望收益率的微小變化可能導(dǎo)致最終配置結(jié)果較大的波動(dòng)，且當(dāng)一些小市值權(quán)重的資產(chǎn)具有高的預(yù)期回報(bào)且和組合中其他資產(chǎn)負(fù)相關(guān)的話，MV模型會(huì)賦予它很高的權(quán)重，這與分散化的本質(zhì)是背離的。

為了克服上述均值-方差模型出現(xiàn)的不足，研究者從許多方面進(jìn)行了新的探索。第一個(gè)方面的探索，主要是在投資組合模型中引入新的風(fēng)險(xiǎn)度量工具，如Value at Risk (簡(jiǎn)稱VaR) 風(fēng)險(xiǎn)度量[2]和條件VaR (簡(jiǎn)稱CVaR) 風(fēng)險(xiǎn)度量[3]。

第二方面的探索，仍在MV框架下，圍繞如何提高風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)期望收益的估計(jì)精度，以提高M(jìn)V模型的性能。Chopra 等[4]提出使用 James-Stein 估計(jì)子來(lái)估計(jì)收益的均值。Michaud等[5]和Harvey, Liechty和Liechty[6]提出的重采樣 (resampling)等方法來(lái)克服參數(shù)估計(jì)誤差。

不同上述兩個(gè)方面的探索，Black和Litterman[7]基于貝葉斯方法，將投資人的觀點(diǎn)與市場(chǎng)均衡下的預(yù)期收益結(jié)合起來(lái)，對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，下文中，我們簡(jiǎn)稱為BL 模型。具體講，Black和Litterman[7]使用如下公式來(lái)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)收益向量r的期望：

μBL=E[r]=[(τΣ)-1+PTΩ-1P]-1[(τΣ)-1Π+PTΩ-1Q]

(2)

其中,k表示投資者觀點(diǎn)數(shù)量(k≤n),P是一個(gè)k×n矩陣，表示投資者觀點(diǎn)矩陣，當(dāng)只有一個(gè)觀點(diǎn)時(shí)，則為n維行向量，k維列向量Q表示觀點(diǎn)收益向量，τ是一個(gè)標(biāo)量(Scalar)，表示投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，n維列向量П表示隱含均衡收益向量，k維對(duì)角陣Ω表示觀點(diǎn)誤差的協(xié)方差矩陣，反應(yīng)了每個(gè)觀點(diǎn)的信心水平，其對(duì)角線上某個(gè)數(shù)值越大，表示該元素所對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)缺乏信心。

BL模型被提出來(lái)后，在理論與實(shí)踐方面受到廣泛關(guān)注。如，Satchell和Scowcroft[8]詳細(xì)描述國(guó)際投資組合中BL 模型的使用細(xì)節(jié)，Herold[9]研究了對(duì)預(yù)期收益具有可控預(yù)測(cè)質(zhì)量的BL 投資組合模型，Chiarawongse等[10]推廣了Herold的結(jié)果到具有可控預(yù)測(cè)質(zhì)量輸入的BL 投資組合模型。在穩(wěn)定分布下， Giacometti[11]考慮BL 模型的計(jì)算與應(yīng)用問(wèn)題。在引入了投資者觀點(diǎn)的不確定性情形下，Idzorek[12]介紹了BL 模型實(shí)踐應(yīng)用與詳細(xì)計(jì)算方法。

近年來(lái)，BL模型獲得了一些新的發(fā)展，如Bertismas, Gupta, Paschalidis[13]利用逆規(guī)劃方法，研究BL 模型的應(yīng)用問(wèn)題。在橢圓分布假設(shè)下，Xiao Yugu和Valdez[14]再次研究BL模型的理論與應(yīng)用特征。Bessler, Opfer和Wolff[15]考慮了基于樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的BL 模型性質(zhì)，并比較了其與等權(quán)重模型的性能特征，發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增加，BL模型能夠超越等權(quán)重模型的。Walters[16]的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于觀點(diǎn)收益向量Q，目前很多人采取搜集投資經(jīng)理人的對(duì)于資產(chǎn)未來(lái)收益的觀點(diǎn)作為觀點(diǎn)收益向量，這種方法實(shí)施起來(lái)將面臨信息收集的成本過(guò)大和收集的信息存在可靠性問(wèn)題。而對(duì)于觀點(diǎn)誤差矩陣Ω，目前量化的方法大致有兩類。第一，假設(shè)觀點(diǎn)的方差與資產(chǎn)收益的方差Σ成一定比例。第二，通過(guò)定義一種觀點(diǎn)信心區(qū)間來(lái)確定觀點(diǎn)誤差。對(duì)于第一類方法最簡(jiǎn)單，但是比例系數(shù)的確定成為難點(diǎn)，第二類方法中信心水平的確定就更加難以量化。

BL模型一直以來(lái)也受到國(guó)內(nèi)學(xué)者的關(guān)注，特別在應(yīng)用方面，獲得許多可喜的成果。如，孟勇[17]研究了BL 模型在保險(xiǎn)資產(chǎn)配置中的應(yīng)用，黃瓊、朱書(shū)尚和姚京[18]考慮我國(guó)市場(chǎng)的有效性問(wèn)題，蔣崇輝、馬永開(kāi)和安云碧[19]利用BL 模型中的主觀觀點(diǎn)思想，研究了國(guó)際市場(chǎng)投資組合問(wèn)題，孟勇[20]研究了BL 模型在外幣資產(chǎn)儲(chǔ)備與配置中的應(yīng)用，最近，尹力博和韓立巖[21]考慮BL 模型在國(guó)際大宗商品配置中應(yīng)用。

雖然文獻(xiàn)中對(duì)BL模型的應(yīng)用進(jìn)行了廣泛的考慮，但BL 模型提出的將市場(chǎng)均衡收益和主觀觀點(diǎn)結(jié)合給模型的應(yīng)用造成了困難，因?yàn)锽L 模型沒(méi)有具體給出如何對(duì)主觀觀點(diǎn)進(jìn)行有效量化，而主觀觀點(diǎn)的量化是BL模型估計(jì)收益向量的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。另外，BL模型關(guān)于市場(chǎng)先驗(yàn)分布和投資者觀點(diǎn)都服從正態(tài)分布的假設(shè)不符合市場(chǎng)的“尖峰厚尾”特征。

由于BL模型中，關(guān)于觀點(diǎn)處理，直接影響到的參數(shù)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的波動(dòng)率(方差)，那么如果我們能夠找到一個(gè)相對(duì)好的估計(jì)波動(dòng)率的模型，是否可以改善BL 模型中關(guān)于主觀觀點(diǎn)的問(wèn)題呢？本文的研究正是基于這一動(dòng)機(jī)提出的。

本文利用GARCH模型給出的波動(dòng)率估計(jì)，作為BL模型中波動(dòng)率的輸入?yún)?shù)。通過(guò)GARCH 模型估計(jì)的波動(dòng)率作為觀點(diǎn)，我們稱之為嵌入GARCH 波動(dòng)率估計(jì)的BL模型。該種方法僅涉及交易的歷史數(shù)據(jù)，可以克服投資者觀點(diǎn)不可觀察和需要大量市場(chǎng)調(diào)研的局限。

GARCH模型廣泛應(yīng)用于波動(dòng)率估計(jì)和與波動(dòng)率相關(guān)的問(wèn)題中。在投資組合模型中，人們常常用GARCH 模型來(lái)估計(jì)資產(chǎn)收益的波動(dòng)率，如Hlouskova, Schmidheiny和Wagner[22]利用多變量的 ARMA-GARCH 模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后應(yīng)用于均值-方差模型中。預(yù)測(cè)VaR是近年來(lái)GARCH 模型的重要應(yīng)用[23-24]。然而，這些模型均是利用GARCH 模型估計(jì)波動(dòng)率，然后直接應(yīng)用于決策模型中。本文的研究與這些直接用GARCH 估計(jì)波動(dòng)率的模型不同，我們既結(jié)合歷史數(shù)據(jù)，利用GARCH 模型來(lái)估計(jì)波動(dòng)率，同時(shí)又考慮了具有BL 模型特征的貝葉斯估計(jì)思想。因此，在本文中，我們稱為嵌入了GARCH 波動(dòng)率估計(jì)的BL 模型，在后面的實(shí)證中，我們簡(jiǎn)寫(xiě)為BL-GARCH 模型。本文研究具有如下兩方面的貢獻(xiàn)：

(1)在BL投資組合模型中，提出了嵌入GARCH 波動(dòng)率估計(jì)方法，利用GARCH 模型的優(yōu)勢(shì)處理投資者觀點(diǎn)度量的困難問(wèn)題，對(duì)于推動(dòng)BL 模型在實(shí)踐中的應(yīng)用顯然是重要的。

(2)通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)和比較，我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，將GARCH 方法嵌入到BL模型中估計(jì)波動(dòng)率，能有效地提高投資組合樣本外平均收益率，降低樣本外波動(dòng)率和提高夏普比等度量投資組合性能的指標(biāo)。

2　GARCH模型與觀點(diǎn)矩陣Q的估計(jì)

雖然BL模型的一個(gè)重要特點(diǎn)是加入了投資者的主觀觀點(diǎn)，但是否能充分收集投資者觀點(diǎn)給模型應(yīng)用帶來(lái)了困難。在現(xiàn)實(shí)中，無(wú)論多么有經(jīng)驗(yàn)的投資者，均不可能獲得市場(chǎng)的完全信息，他們做預(yù)測(cè)時(shí)總是會(huì)受到過(guò)度自信、保守等情緒影響。那么如何避開(kāi)這些受投資者個(gè)人行為影響，但又仍然保留BL 模型特色呢？在本節(jié)中，我們將引入GARCH 模型來(lái)形成投資者的觀點(diǎn)向量Q，建立對(duì)Ω和P的估計(jì)，然后依據(jù)BL 模型尋求最優(yōu)投資決策。

在建立GARCH 模型與BL 模型的聯(lián)系前，我們先簡(jiǎn)要的回顧一下GARCH 模型的特點(diǎn)。本部分中關(guān)于GARCH 模型的符號(hào)和形式，來(lái)自于Engle[25]和Bollerslve[26]。設(shè)yt為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，可表示如下形式：

(3)

設(shè)殘差的波動(dòng)率σt遵循GARCH(p,q) 過(guò)程，那么可表示如下：

(4)

這里，εt-i(i=1,…,q) 為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的殘差項(xiàng)，σt-i(i=1,…,p)為波動(dòng)率的自回歸項(xiàng)，p,q分別表示滯后階數(shù)。設(shè)rt表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的平均凈收益率，令

yt=ln(1+rt)

和

利用樣本協(xié)方差作為矩陣Σ的估計(jì)，將上述得到的參數(shù)估計(jì)值代入(2)，我們可以計(jì)算μBL，代回(1)，我們能得到相應(yīng)的BL 模型的最優(yōu)投資策略。

3　數(shù)據(jù)與方法

在這一節(jié)中，我們考慮了四個(gè)真實(shí)數(shù)據(jù)的例子，檢驗(yàn)嵌入GARCH波動(dòng)率估計(jì)的BL 模型的性能。第一個(gè)例子是來(lái)自國(guó)內(nèi)10個(gè)行業(yè)指數(shù)構(gòu)成的投資組合，第二、三和四個(gè)例子的數(shù)據(jù)均來(lái)自French主頁(yè)的Data Library 數(shù)據(jù)。我們分別比較了均值-方差模型和Idzorek[12]修正的BL 模型的性能。

3.1　數(shù)據(jù)

為了驗(yàn)證本文提出的嵌入GARCH 波動(dòng)率估計(jì)的BL 投資組合模型性能，四個(gè)真實(shí)數(shù)據(jù)的例子分別來(lái)自兩個(gè)市場(chǎng)：第一個(gè)市場(chǎng)的數(shù)據(jù)選取了我國(guó)上證380指數(shù)中的10個(gè)行業(yè)指數(shù)作為10個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合，這10個(gè)行業(yè)指數(shù)分別為：380能源(380E1)、380材料(380M)、380工業(yè)(380I1)、380可選(380O)、380消費(fèi)(380C)、380醫(yī)藥(380H)、380金融(380F)、380信息(380I2)、380電信(380E2)、380公用(380U)，數(shù)據(jù)跨度從2005年01月04日到2016年12月31日的日收益率，其中以2005年01月04日到2012年12月31日的數(shù)據(jù)為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，2013年01月02日到2016年12月31日的數(shù)據(jù)為樣本外檢測(cè)數(shù)據(jù)。所有第一類數(shù)據(jù)來(lái)源于Wind 數(shù)據(jù)庫(kù)(http://www.wind.com.cn/)。

第二個(gè)市場(chǎng)的數(shù)據(jù)為美國(guó)市場(chǎng)的指數(shù)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于French主頁(yè)的Data Library(詳見(jiàn)網(wǎng)站：http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html)中的3個(gè)工業(yè)投資組合，他們分別是含10、17和25個(gè)工業(yè)指數(shù)的工業(yè)投資組合。每個(gè)投資組合中指數(shù)(被認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn))樣本數(shù)據(jù)的期限是1986年1月2日到2016年12月31日的日收益率數(shù)據(jù)，其中以1986年1月2日至到2010年12月31日的數(shù)據(jù)為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，2011年1月2日至2016年12月31日的數(shù)據(jù)作為樣本外檢測(cè)數(shù)據(jù)。

3.2　基于GARCH模型的觀點(diǎn)參數(shù)估計(jì)

為了簡(jiǎn)單，我們考慮GARCH(1,1)模型，那么(3)和(4) 可以簡(jiǎn)化為：

(5)

(6)

考慮所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的如下自回歸方程：

(7)

作為一個(gè)例子，我們考慮上證380中能源指數(shù)(380E1) 回歸結(jié)果和相應(yīng)的收益率與波動(dòng)率預(yù)測(cè)過(guò)程，其他風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按照類似的方法進(jìn)行估計(jì)。首先，表1給出了能源指數(shù)(380E1) 關(guān)于(5) 的回歸結(jié)果。表1表明，380E1在自回歸上具有非常好的顯著性。進(jìn)一步通過(guò)估計(jì)GARCH(1,1)的方差方程(6)，我們得到表2的結(jié)果。

表1　380E1 OLS回歸結(jié)果

由表2可知，利用GARCH(1,1)擬合的380E1在1%的水平下顯著，因此用GARCH(1,1)估計(jì)波動(dòng)率是足夠的。

表2　380能源指數(shù) GARCH(1,1) 方差方程估計(jì)參數(shù)

由表1和表2的回歸結(jié)果，我們能夠得到能源指數(shù)(380E1)的期望收益估計(jì)方程和方差預(yù)期方程：

yt=0.0051+0.9981yt-1

(8)

(9)

基于表3中關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)下一期收益預(yù)測(cè)和方差估計(jì)，我們就能估計(jì)BL 模型中相關(guān)參數(shù)。利用前一節(jié)中關(guān)于觀點(diǎn)向量Q，對(duì)角陣Ω和矩陣P的估計(jì)方法，我們得到，380指數(shù)中10個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的觀點(diǎn)收益率向量Q即為表3中第2列向量構(gòu)成，觀點(diǎn)誤差矩陣Ω 為對(duì)角陣，其對(duì)角元由表3中第3列數(shù)值開(kāi)根號(hào)構(gòu)成。由于我們僅考慮絕對(duì)觀點(diǎn)，且由表3中第2列全為正可知，投資者觀點(diǎn)矩陣P也為對(duì)角陣，且對(duì)角元素應(yīng)全為1。在基于國(guó)內(nèi)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)中，我們將各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在市場(chǎng)組合中的權(quán)重結(jié)合到對(duì)角矩陣P中，即用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在市場(chǎng)組合中的權(quán)重組合構(gòu)成矩陣P的對(duì)角元，如表4所示，利用表4中第2和第4列作為矩陣P的對(duì)角元。

表3　上證380指數(shù)10個(gè)行業(yè)指數(shù)的GARCH模型估計(jì)結(jié)果

Black和Litterman[7]給出了市場(chǎng)組合收益期望向量П 估計(jì)公式：

Π=λΣwm

(10)

其中λ為投資者均值-方差均衡模型中的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，一種廣泛接受的估計(jì)λ的方法來(lái)自于Best和Grauer[27]給出的如下方法：

(11)

其中σm為市場(chǎng)組合的波動(dòng)率，rf為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，μm為基于市場(chǎng)組合歷史數(shù)據(jù)估計(jì)的市場(chǎng)期望收益，該λ給出了市場(chǎng)組合的夏普比。由于表4給出的市場(chǎng)組合權(quán)重是基于樣本內(nèi)的每日權(quán)重的平均值，我們以樣本內(nèi)的數(shù)據(jù)計(jì)算此市場(chǎng)組合的樣本平均收益率μm和市場(chǎng)組合的標(biāo)準(zhǔn)差σm, 那么根據(jù)(11), 我們估計(jì)出系數(shù)λ為2.5，結(jié)合由歷史數(shù)據(jù)估計(jì)的n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的協(xié)方差矩陣Σ，我們由(10) 可以得到參數(shù)Π的估計(jì)如下：

Π%=[0.022,0.022,0.020,0.019,0.019, 0.017, 0.021,0.020,0.0223, 0.020]T

通過(guò)上述步驟，我們可以獲得所有BL 模型中的參數(shù)估計(jì)，從而計(jì)算μBL。在下一小節(jié)中，我們將給出基于此方法得到的最優(yōu)投資策略的性能比較。

表4　上證380指數(shù)10個(gè)行業(yè)指數(shù)的市場(chǎng)組合權(quán)重(即對(duì)角陣P 的對(duì)角元)(樣本內(nèi)數(shù)據(jù)截止時(shí)間為2012年12月31日)

4　數(shù)值結(jié)果與比較

在本小節(jié)中，我們將給出嵌入GARCH 波動(dòng)率估計(jì)BL模型數(shù)值結(jié)果，在數(shù)值結(jié)果描述中，記為BL-GARCH模型，并給出了BL-GARCH模型與如下三個(gè)模型的性能比較：

(1)傳統(tǒng)的均值-方差模型，記為 MV；

(2)由Idzorek[12]提出的修正BL 模型，記為I-BL 模型。

(3)等權(quán)重模型(1/n)。

在I-BL模型中，與本文模型的最重要區(qū)別是對(duì)參數(shù)Ω和P的估計(jì)不同。Idzorek[12]假設(shè)矩陣Ω由如下方法計(jì)算：

其中，LCi為第i個(gè)觀點(diǎn)的信心水平，CF(Calibration Factor)為預(yù)先設(shè)定的校正因子，Idzorek取CF=0.5，LCi的取值較為主觀，根據(jù)決策者的行為，預(yù)先設(shè)定，詳見(jiàn)作者原文。

我們首先給出了四個(gè)模型關(guān)于上證380各指數(shù)構(gòu)成的投資組合性能比較，表5給出了各個(gè)模型在樣本外期間(2013年1月2日—2016年12月31日)所獲得的投資組合超額日收益率均值，最大值、最小值和夏普比的比較結(jié)果，其中夏普比按如下公式計(jì)算：

這里μ是年化平均收益率，σ是年化的標(biāo)準(zhǔn)差，rf是年化的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，取值為rf=2.5%。夏普比是一個(gè)用于度量投資組合性能好壞的典型指標(biāo)。

表5　基于國(guó)內(nèi)數(shù)據(jù)的投資組合樣本外性能比較

因?yàn)閰?shù)τ是預(yù)先設(shè)定的，反應(yīng)了決策者主觀信息的程度，τ越大，表明決策者的主觀信心越好，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，我們?cè)O(shè)定了τ的3個(gè)值，0.1, 0.5 和0.75。對(duì)于I-BL模型，為了了解LC 對(duì)模型的影響，我們也選取了3個(gè)取值，LC=0.1, 0.7 和 0.9。 表5給出這些情況的詳細(xì)比較。

由表5的結(jié)果可知，在嵌入了GARCH 估計(jì)波動(dòng)率后，BL-GARCH模型在獲得超額收益率方面相對(duì)較弱，但是BL-GARCH模型能獲得最小的年化波動(dòng)率，而且，這個(gè)結(jié)果在決策者的不同主觀信心是一致的。另一個(gè)非常重要的結(jié)果是在BL-GARCH 模型能夠獲得最好的夏普比，這表明本文嵌入GARCH 估計(jì)波動(dòng)率到BL模型中，具有重要的實(shí)踐意義，能很好地提高模型的性能。

作為第二個(gè)市場(chǎng)數(shù)據(jù)的例子，我們考慮了美國(guó)市場(chǎng)投資組合情形。我們從French 主頁(yè)的Data Library 中選取了n=10,17,25 三種資產(chǎn)數(shù)的工業(yè)指數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合，表6給出上面提到的三個(gè)模型在這些組合中的性能測(cè)試情況。在這里，對(duì)于I-BL 模型，我們僅考慮了其性能較好的τ=0.75，LC=0.9的情形。

表6中的結(jié)果進(jìn)一步表明，針對(duì)成熟的國(guó)際市場(chǎng)數(shù)據(jù)，相對(duì)于傳統(tǒng)的MV 和I-BL 模型，我們發(fā)現(xiàn)，經(jīng)嵌入了GARCH 模型后，BL模型的性能獲得了較大的提升。一方面，BL-GARCH 模型能夠獲得相對(duì)不錯(cuò)的樣本外平均收益率，如對(duì)當(dāng)n=10，τ=0.75時(shí)，BL-GARCH 模型能獲得年化22.4%收益率，弱高于均值-方差模型的21.9% 和I-BL 模型的22.0%，但是最小波動(dòng)率在由τ=0.1情形的BL-GARCH 模型獲得，僅為14%，最佳夏普比為1.1569，由τ=0.75情形的BL-GARCH 模型獲得。對(duì)于n=17 和25的情形，從表6中，我們能夠發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)果。所有這些數(shù)值結(jié)果與國(guó)內(nèi)數(shù)據(jù)是類似的。

表6　基于國(guó)際數(shù)據(jù)的投資組合樣本外性能比較

為了表明我們的模型結(jié)果與MV、I-BL 和等權(quán)重模型相比，不僅僅是平均值占優(yōu)這些模型，我們也考慮夏普比的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。我們使用Jobson和Korkie[28]和Memmel[29]提出的夏普比統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，分別對(duì)四個(gè)模型和四組樣本數(shù)值進(jìn)行了檢驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表7。由表7的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)可知，本文提出的BL-GARCH 模型在5% 的置信水平上，均好于MV和等權(quán)重模型的性能，在10%的置信水平上，夏普比要好于I-BL 模型的性能。

表7　夏普比性能的顯著性檢驗(yàn)

作為進(jìn)一步的直觀描述，在圖1中，分別在n=10, 25 情形下，我們給出三個(gè)模型的累積收益比較。為了便于比較，取τ=0.75，相對(duì)于傳統(tǒng)的MV 和I-BL 模型，BL-GARCH模型在三種不同投資組合情形下，均能獲得較高的累積收益率，表明該模型具有穩(wěn)定性能，與表6和表7中的結(jié)果是一致的。

圖1　MV 模型、I-BL 模型和BL-GARCH 模型的樣本外累積收益(財(cái)富)比較

4　結(jié)語(yǔ)

為了提高BL模型策略性能，并進(jìn)一步推廣了BL模型的應(yīng)用，本文提出了一種BL模型的執(zhí)行方法。在避免投資者觀點(diǎn)難于獲得的情形下，我們引入了GARCH模型，一方面，利用GARCH 模型預(yù)測(cè)波動(dòng)率，以形成BL 模型中的觀點(diǎn)矩陣Ω，另一方面，利用GARCH模型預(yù)測(cè)收益率，以形成觀點(diǎn)向量Q。通過(guò)國(guó)內(nèi)外豐富的數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在嵌入GARCH波動(dòng)率估計(jì)后，所有得到的模型在投資收益、波動(dòng)率和夏普比等性能上，均能夠得到很好的提高。特別，在與傳統(tǒng)的均值-方差模型和Idzorek修正的BL 模型比較時(shí)發(fā)現(xiàn)，嵌入了GARCH 波動(dòng)率估計(jì)BL模型能獲得最小的年化波動(dòng)率，從而使得該模型能夠獲得最大的年化夏普比。本文的研究能夠進(jìn)一步推廣到含風(fēng)險(xiǎn)控制的投資組合模型中，如在最小化VaR投資組合模型、最小化CVaR模型和項(xiàng)目管理等中的應(yīng)用，如在許啟發(fā), 周瑩瑩和蔣翠俠[30]提出的具有范數(shù)約束的CVaR投資模型中，如何結(jié)合本文提出的參數(shù)估計(jì)方法來(lái)提高模型的性能是值得進(jìn)一步研究的。本文的研究也可以用于保險(xiǎn)基金的投資決策模型中(王增文[31])。