“數系擴充”的課堂“擴充”

孫傳正

(江蘇省南京市人民中學　210000)

一、數系：理應擴充

1. 理念重溫

本節課旨在讓學習者回顧數系的擴充過程，進而激發學者探索欲望.本節課學習之前，學生的知識儲備停留在實數集，在實數集范圍內數集之間的內在包含關系都是比較明確的，但是對數的發展歷程缺乏系統的認知，知識體系還未形成.另一方面,從方程解的角度來看，學生只能在實數集范圍內進行求解，缺乏嚴謹的思維習慣.所以本節課讓學生在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾(數的運算規則、方程求根)在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及與現實世界的聯系.本節課也需要理解復數的基本概念.一方面讓學生根據現實生活和數學內部發展需求，體會虛數引入的必要性和合理性．另一方面，讓學生體驗復數的產生過程，培養學生觀察發現問題的能力，引導學生從生活中挖掘數學內容，培養學生的發現意識和應用意識，提高學習數學的興趣，感受數學的魅力.

2．課例重現

(1)創設情境——形成問題

以卡爾丹的困惑入手：

能否將10分成兩部分，且使兩者的乘積為40？

貫穿歷史長河，看看數集是如何發展的．

(2)重溫“擴充”——分析問題

問題1數系經歷了哪幾次擴充？

設計意圖：幫助學生進行知識梳理，感受由于生活實際需要，數學內部發展都要引入新數，擴充數集．

問題2這幾次數系的擴充共同特點是什么？

設計意圖：讓學生感受到數系擴充的合理性，并能提煉出數系擴充的一般原則：“①引入新數；②在新的數集中，原有的運算及其性質仍然適用，同時解決了某些運算在原來數集中不是總可以實施的矛盾．”為數系的再一次擴充以及如何擴充打好了堅實的基礎；同時，有利于培養學生的歸納、概括與表達能力．

歷史在前進，社會在發展，生活中的矛盾不斷涌現，如何解決卡爾丹的困惑．

(3)引入新元——解決問題

問題2五百多年前擺在數學家面前的困惑如何破解？

引入一個新數i，叫做虛數單位，并規定：

①i2=-1;

②實數可以與i進行四則運算，運算時，原有的加、乘運算律仍然成立.

介紹數學史，讓學生了解相關數學發展史，激發學生的學習興趣.

i是imagination(想象力)的首字母，瑞士數學家和物理學家歐拉(Leonhard Euler1707-1783)在1777年首次提出用i表示平方等于-1的新數，又由德國數學家、物理學家和天文學家高斯(Johann Carl Friedrich Gauss1777—1855)在1801年使之系統的通行于世.

(4)形成擴充——深化問題

問題3①引入新元i后，卡爾丹要找的數是什么呢？

我們把這些含i的數叫做虛數.還能寫出其它的數？

②你能寫出一個形式把所有的實數和虛數都包含在內嗎？

復數的代數形式：通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)其中a是實部，b是虛部，i叫做虛數單位.后面還會學習復數的指數形式，三角形形式.

目前為止，把所有的實數和虛數都放在一起形成新的集合就叫做復數集.

追問：既然復數的代數形式既能表示實數，也能表示虛數，那什么時候表示實數，什么時候表示虛數呢？

設計意圖：先用卡爾丹的數引出虛數概念，然后再模仿、嘗試寫出其他數(包含實數)，引導學生由特殊到一般，從而概括出復數的代數形式a+bi(a,b∈R)，并學習復數的有關概念，從而完成從實數集到復數集的擴充．又根據復數的代數形式再來對復數進行分類，從而深化復數概念，攻克本節課的重點，數系擴充表得以完善．

二、課堂，也要擴充

每一節課，其實就是學生和老師在知識上的擴充，知識的獲得是第一層次，學生在課堂上學到了新的內容，擴充了自己的知識層面，教師通過學生的反饋，從教學能力的角度收獲也很大.但是知識獲取的多少，就要看第二層次，也就是知識的外延和內涵，通過一節課的相關知識，了解知識的前身后世，從點的知識擴充到面的知識，另外通過所學知識能夠解決一些新的問題，掌握了一種數學工具.

要想通過本節課學習的知識受益終生，那就要看第三層次，知識的獲得方式和效率.本節課首先拋出一個問題——負數開方，在學生已有的實數集上無法解決這個問題，筆者帶著學生一起回顧數集發展歷史，從原始社會結繩記事、在獸皮上刻橫來計數，引入了自然數到欠賬，引入了負數，接著度量正方形邊長為1的對角線引入了無理數，再到一個蘋果四人分，引入了分數……都是根據社會生活實際需要引入了新數，另一邊，從數學內部的發展，從運算角度都是有必要擴充數集，加減乘除開奇次方在實數集范圍內才能實行.通過這樣的引導，讓學生重新認識數學課堂，從數學史的角度出發，激發學生的探求欲望，并且能夠根據自己的已有知識，體會新數引出的歷程，感受數學知識產生的不凡與偉大數學家思考問題的普通.這樣的數學課堂才是非常飽滿的，學生學習到知識才足夠的有價值，課堂的擴充才顯性.

三、目標，更需擴充

三維目標是指教育教學過程中應該達到的三個目標維度，即：知識與技能(Knowledge & skills)；過程與方法(Process & steps )；情感態度與價值觀(emotional attitude & values).“三維目標”是一個教學目標的三個方面，而不是三個獨立的教學目標，它們是統一的不可分割的整體.關于三維目標，新課改方案中已提出多年，但在具體實施的過程中，有些教師總感覺很難把握，還是停留在傳統的知識灌輸的層次上，不能真正理解三維目標就無法讓課堂真正成為學生的伊甸園，無法真正培養社會需要的人才.所以目標的理解是更加緊要的，每一節課都應該有明確的目標，不能只停留在傳授學生書本知識，要充分理解三維目標，三位一體只有當真正理解三維目標，才能在教學中貫徹目標的達成度，才能使得初定的目標得到進一步的擴充，從而讓學生的知識、思維、能力都得到進一步的擴充.

四、思維，素養的擴充

數系擴充到實數集以后解決不了負數開偶次方，歐拉首次提出i表示平方等于-1的新數，高斯系統地使用這個符號i并且使它通行于世，這樣把實數擴充到了復數.這個偉大的擴充解決了負數開偶次方問題，縱觀整個擴充過程，如果每一個數學家都能為了解決某一類問題勤于思考，那數學的重大難題會一步一步克服，也能為生活實際解決更多的問題，這樣的解決問題的能力和決心，就是需要我們教師每一節課的課堂擴充和目標擴充，拓寬他們的眼界，讓學生的思維更加的活躍，從而助力于素養的提高.這樣的課堂教學容易激發學生的學習興趣，樹立遠大的理想，無形中教育學生要像偉大的數學家一樣從細微處著手，從生活實際著手敢于思考，讓自己的思維插上翅膀，翱翔天空，讓自身的數學素養有一種質的飛躍，從而拓寬數學研究的領域，解決更多的問題，這才是數學教學的真諦.總之，一句話“讓他們都有成為數學家的心”.