基于學生思維的習題設計

王友林

【摘 要】 數學教學的目標是培養學生獨立思考、分析和解決問題的能力，培養學生的創新意識和創造性思維方式。教學不能局限于一個狹窄領域，重要的是讓學生學會應用課本知識和思考問題的方法，依靠課本例習題“窺一斑至全貌”，“舉一例能反三”。

【關鍵詞】 數學；創造思維；習題設計

原題：人教版初中數學八年級教材《習題12.3》拓廣探索中的一道題（第52面第7題）

如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC.

求證：AE平分∠DAB.

背景分析：本節教學內容是在學生系統學習了三角形全等的性質和判定方法后，應用三角形全等的知識來探究角平分線的性質和判定.

而這道習題作用正是為了強化學生掌握角平分線的性質和判定方法，并在一定的問題情景（例如：題中有角的平分線上的點到某一邊的距離的表述或圖形信息）中綜合應用.

改編的基點：因為本節內容是全章《全等三角形》知識結構中的最后一個環節，既是本章的重點三角形全等的性質和判定方法的應用，也是該內容的延伸與拓展.用好教材但不拘泥于教材，在了解了本章知識的全貌后，將指向比較單一的習題作結構上的改編，一方面讓學生對知識的理解更全面，另一方面開闊學生的思維，積累對某一類問題的解題經驗.

改編：原題中“∠B=∠C=90°”的條件一是為了得到“DC∥AB”，二是為了突出“點到邊的距離”. 把此條件弱化為“DC∥AB”的基礎上作下列改編：

如圖：

①DC∥AB，

②E是BC的中點，

③DE平分∠ADC，

④AE平分∠DAB，

⑤AE⊥DE，

⑥DC+AB=AD.

從這6個關系式中任選3個關系式作為已知條件，推出剩下的3個關系式作為結論，那么正確的結論有哪些？不正確的結論是哪些？

一、基于學生組合思維的設計

學生從這6個關系式中任取3個關系式，學生大都會選幾種情況，但往往不全面，不完備，不完整，在選取時缺少系統性和規律性，我們采用窮盡到底的方法，即按照一定的規律把某一種可能全部列舉出來，再按照一定的方向把剩下的可能都一一組合出來.比如：

①②③，①②④，①②⑤，①②⑥，①③④，①③⑤，①③⑥……，

②③④，②③⑤，②③⑥……④⑤⑥.通過這樣的訓練，可以培養學生思維的嚴密性和完備性. 學生訓練也是高效的.

二、基于學生構造思維的設計

我們不妨證明①②③？陴④⑤⑥這個數學命題：

條件：①DC∥AB，

②E是BC的中點，

③DE平分∠ADC.

結論：④AE平分∠DAB，

⑤AE⊥DE，

⑥DC+AB=AD.

分析方法：綜合法. 讀條件，得結論，從問題入手.

分析（1）：從問題開始，要證明AE平分∠DAB？陴∠DAE=∠BAE？陴證明所在的兩個三角形全等？陴所在兩個三角形不全等？陴構造全等三角形？陴證明角相等.

分析（2）：要證DC+AB=AD？陴證明不在同一條直線上的兩條線段和等于第三條線段？陴轉移到同一條直線上？陴構造全等三角形或等腰三角形？陴證明邊相等.

證明：嘗試截長法：

如圖，在AD上截取DF=DC，連接EF

則在△ECD與△EFD中

∵DF=DC，∠FDE=∠CDE，DC為共同邊

∴△ECD≌△EFD（SAS）

∴∠C=∠EFD，EC=EF（全等△對應角相等，對應邊相等）

∵E為BC的中點

∴CE=BE，又EC=EF

∴EF=BE ①

∵DC∥AB

∴∠C+∠B=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

又∵∠DFE+∠AFE=180°

∴∠B=∠AFE（等角的補角相等）②

又∵AE為共同邊③

然而由①②③無法證明△AEF和△AEB全等的，故用截長法證明是失敗的.

證明：嘗試補短法：

如圖，延長DE交AB的延長線于F，

∵DC∥AB

∴∠C=∠EBF，∠CDE=∠F

∵E為BC的中點

∴CE=BE，

在△DCE與△FBE中

∠C=EBF，∠CDE=∠F，CE=BE

∴△DCE≌△FBE（AAS）

∴DC=BF DE=EF（全等三角形對應邊相等）

又∵DE平分∠ADC

∴∠ADE=∠CDE

又∵∠F=∠CDE

∴∠ADE=∠F

∴AD=AF，即AD=AB+BF=AB+CD⑥

又∵DE=EF

∴AE⊥DE④

AE平分∠DAB⑤

（等腰三角形三線合一性質）.

反思：

（1）用截長法證明此題時，是以△ABE為模板構造與之全等的三角形是失敗的，看似無效勞動，但我們在思考時，卻是一種有效的選擇，沒有這個失敗，就沒有后續的校正思考.

（2）用補短法證明此題時，是以△DAE為模板構造與之全等的三角形是可行的，一方面說明選擇哪一個三角形來構造全等三角形很重要，另一方面說明截長法和補短法是想通的.

（3）證兩邊或兩角相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，當證明的邊或角所在的兩個三角形不全等時，一般就要構造全等的三角形或等腰三角形來轉化.

三、基于學生建模思維的設計

本題的條件和結論的不同組合形式共有20余種，但證明的主要思路還是截長補短法. 其作輔助線方法有（1）作平行線，（2）截取，（3）延長，（4）延長加倍等作法。其中只能用截長法證明但不能用補短法證明，如②③⑥？陴①④⑤；能用補短法證明但不能用截長法證明，如①②③？陴④⑤⑥；既能用截長法證明又能用補短法證明，如①③④？陴②⑤⑥；既不能用截長法證明又不能用補短法證明有5種，即①⑤⑥？陴②③④，②③④？陴①⑤⑥，②⑤⑥？陴①③④，③⑤⑥？陴①②④，④⑤⑥？陴①②③事實上在所有組合中只有這5種組合是假命題.

數學教學的目標是培養學生獨立思考、分析和解決問題的能力，培養學生的創新意識和創造性思維方式.我們的教學不能局限于一個狹窄領域，理解課本固然重要，更重要的是讓學生學會應用課本知識和思考問題的方法，依靠課本例習題“窺一斑至全貌”，“舉一例能反三”.作為數學老師要善于領會和研究課本例習題，以課本題為綱，或改變命題的題設討論結論的變化以否；或保持命題的題設不變討論其他形式的結論成立以否；或交換命題的題設與結論討論命題真偽等等，通過例習題的變式教學一方面促進學生對知識的更深入的理解，掌握解決一類問題基本套路；另一方面拓寬學生的思維，提升學生的能力.

【參考文獻】

[1] 陳愛蘭. 巧設“開放”式習題培養思維創造性——淺析小學數學開放題的教學設計[J]. 新課程（上旬），2017（6）.

[2] 崔杰. 創造性設計練習題，培養數學建模核心素養[J]. 新課程（中），2017（3）.