淺談均值不等式的應(yīng)用

摘要：在我們的生活和生產(chǎn)中，量有相等關(guān)系，也有不等關(guān)系，凡是比較量的大小的有關(guān)問(wèn)題，都要用到不等式的知識(shí)來(lái)解決。不等式在初等數(shù)學(xué)中是一個(gè)比較難的知識(shí)，卻是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，其中均值不等式更是主要的工具。本文主要例說(shuō)均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用，通過(guò)對(duì)均值不等式的學(xué)習(xí)，逐漸認(rèn)識(shí)到均值不等式的重要性，并且利用均值不等式去證明更多的不等式，這不僅能提升學(xué)生的解題能力，也能增強(qiáng)學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：均值不等式；初等數(shù)學(xué)；不等式應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·數(shù)學(xué)》必修5將二維均值不等式納入了新的課程中，意味著二維均值不等式進(jìn)入了教材，進(jìn)入了學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中。在應(yīng)用均值不等式解題中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何看問(wèn)題、想問(wèn)題和解決問(wèn)題，更多的讓學(xué)生自己去悟，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和掌握如何運(yùn)用已知結(jié)論的基本方法。

一、 均值不等式的形式

設(shè)a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則Hn≤Gn≤An≤Qn，稱(chēng)為均值不等式，其中Hn=n1/a1+1/a2+…+1/an，Gn=（a1·a2·…·an）1n，An=a1+a2+…+ann，Qn=a21+a22+…a2nn，分別稱(chēng)為a1，a2，…，an的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)。這四種平均數(shù)僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)取到等號(hào)。

常見(jiàn)的均值不等式：（1）a2+b2≥2ab，（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立；

（2） a+b≥2ab等價(jià)于ab≤（a+b2）2（a，b∈R+），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立。

二、 均值不等式的具體應(yīng)用

1. 代數(shù)方面

各省的高考試題中對(duì)均值不等式的考查，均以最值問(wèn)題為背景，利用均值不等式求最值問(wèn)題是考生必須掌握的基本技能和重要的解題方法。

例：已知x，y，z∈R+，求μ=xy+2yz+xz2x2+4y2+4z2的最大值。

解：由題可得

μ=xy+2yz+xz2x2+4y2+4z2=xy+2yz+xz（x2+2y2）+（2y2+2z2）+（x2+2z2），

而x2+2y2≥2x2·2y2=22xy，2y2+2z2≥22y2·2z2=4yz，

x2+2z2≥2x2·2z2=22xz，所以μ≤xy+2yz+xz22xy+4yz+22xz=24

當(dāng)且僅當(dāng)x2=2y2=2z2時(shí)取“=”所以μ的最大值為24。

本題是多變量求最值問(wèn)題，變量個(gè)數(shù)多且不易消元，而變量又都是正數(shù)，因此考慮利用均值不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，有了方向就可以輕松化簡(jiǎn)，利用均值不等式求出最值，最后注意取等號(hào)的條件。

2. 幾何方面

立體幾何的最值求解時(shí)很多時(shí)候都要用到均值不等式，其中怎樣建立等式是解題的關(guān)鍵點(diǎn)與難點(diǎn)。

例：要建造一個(gè)體積為60且有蓋的圓柱形蓄水池，這個(gè)蓄水池的高，地面半徑各取多少時(shí)用料最省？

解：設(shè)圓柱的高為h，地面半徑為r，根據(jù)圓柱的體積公式V=πr2·h

∴h=Vπr2=60πr2，而圓柱的全面積公式為S=2πr2+2πrh

S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr60πr2=2πr2+120r=2πr2+60r+60r≥32πr2·60r·60r=15358π

當(dāng)且僅當(dāng)2πr2=60r，即r=330π，此時(shí)h=2330π，即r=h2時(shí)，S有最小值。

所以蓄水池的高取2330π，底面半徑取330π時(shí)，用料最省。

本題題意不難，難的是怎么樣將等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而利用均值不等式來(lái)求解，通過(guò)檢驗(yàn)，得到最終的結(jié)果。

三、 小結(jié)

均值不等式作為一個(gè)應(yīng)用非常廣泛的不等式，在各種題型中都起著舉足輕重的作用，而它最常見(jiàn)的應(yīng)用就是求解最值問(wèn)題，但在應(yīng)用之前應(yīng)注意應(yīng)用它的前提條件，應(yīng)用過(guò)程之中注意取等號(hào)的條件。通過(guò)對(duì)均值不等式的學(xué)習(xí)，逐漸認(rèn)識(shí)到均值不等式的重要性，并且利用均值不等式去解決相應(yīng)的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]韓京俊.初等不等式的證明方法[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

[2]劉建中.淺談均值不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用[J].遼寧省撫順一中，2011.

作者簡(jiǎn)介：

王婉心，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。