基于產能約束條件下的企業訂單優化

馬躍如，王子彥，萬光羽

（1.中南大學 商學院，長沙 410083；2.湖南大學 經濟與貿易學院，長沙 410006）

0 引言

長期以來，價格始終是影響客戶購買決策的重要因素[1]。在互聯網時代，隨著市場競爭的加劇，顧客對時間的敏感性越來越強，更多的顧客在要求低價的同時強調更短的交貨期，時間成為影響客戶購買決策的又一要素。企業如何在保障交貨期的同時確認自身的利益是其生存發展的關鍵。企業界和理論界也更多地開始關注在顧客需求不確定情況下如何在交貨期和產品價格間做出權衡，以更快的速度響應顧客需求，從而獲得更大的收益。

在對于企業生產決策的早期研究中，大量學者將研究重點集中在交貨期和產品價格這兩個因素對企業生產決策的影響上。部分學者認為制定合適的訂單交貨期可以幫助企業在激烈的競爭中獲得特有的優勢[1-5]。但是只探討了通過設定合適的訂單交貨時間達到企業利潤最大化的目標，缺乏對產品價格變動的影響研究。還有部分學者從產品價格的角度對企業生產決策進行優化[6-8]。事實上，交貨期與價格均是影響消費者購買決策的重要要素，同時考慮這兩者對企業生產決策的影響具有現實意義，學者們開始探討產品單價和交貨時間對企業生產決策的共同影響[9-11]。但此類研究僅考慮產品價格和交貨時間其中一個因素變動帶來的影響，同時也未提出有效改進企業訂單管理的措施。

雖然產品價格和交貨前置期受到了廣泛的關注，但同時考慮價格和交貨時間協調的研究較少。此外，隨著交貨期的縮短，在帶來市場需求增長的同時，也對企業的生產能力提出嚴峻的挑戰：產能過低，會使得市場需求無法被滿足，在激烈的競爭中容易被其他企業所替代，不利于企業市場占有率的提升；而在產能過剩時，生產的產品無法在市場中被完全消費，給企業帶來財務困境與庫存壓力，不利于企業的資金流通與長期發展，因此研究產能約束下的訂單的交貨時間和產品單價具有現實意義。基于此，本文研究一個供應商和多個零售商組成的兩級供應鏈，建立隨機混合整數規劃模型，研究在產能約束下，不同的交貨前置期和產品單價對企業生產決策的影響。

1 模型描述與符號定義

1.1 符號定義

T ：生產周期，包括 n 個小周期，T={T1，T2，...，Tn}，其中

Qmax：供應商的最大產能；

LTi：訂單的交貨前置期；

q(ti)：交貨前置期LTi內，ti時刻零售商對產品的需求率；

pLT：前置期LTi下的產品單價；

C(Q)：周期內的生產成本；

C(P)：周期內訂單延誤的處罰成本；

m：單位產品延遲交貨的處罰成本；

c：單位產品的生產成本；

Q(LT，q)：交貨前置期結束后，仍需生產的產品數量。

1.2 問題描述

本文研究一個供應商和多個零售商組成的兩級供應鏈，該供應商生產的一類產品有多個零售商訂貨。在生產周期內，供應商先制定訂單的交貨前置期和產品單價，對零售商的訂單采取FCFS（first come first service，先來先服務）的方式。零售商根據消費者的需求向供應商提交產品訂單，允許產品分期交付。

該規劃期內，供應商均以最大產能Qmax安排生產，在生產過程中采取MTO（make to order，按訂單生產）方式生產，允許機器存在空轉，Beemsterboer等[12]和方志梅等[13]都進行了類似研究。在整個規劃期內，供應商庫存與零售商需求時間變化如圖1所示。

圖1 供應商庫存與零售商需求時間變化圖

生產周期T內，零售商對產品的需求q(ti)是隨機變動的，均在期初t0時向供應商下達訂單。t1時刻前，q(ti)≤Qmax；[t1，ta1] 時 段 ，q(ti)＞Qmax；[ta1，t3] 時 期 ，q(ti)≤Qmax；t3時刻，q(ti)＞Qmax。其中，Qmax為供應商的最大產能。在t1時刻前，零售商的需求q(ti)小于供應商的產能，機器存在空轉；[t1，ta1]時段，供應商以最大產能生產，但無法滿足零售商的需求；[ta1，t2]時期，供應商以最大產能Qmax生產，彌補在[t1，ta1]時段缺失的產能。[t2，t3]時期，零售商的需求q(ti)小于供應商的產能。整個生產周期T內，允許存在缺貨，訂單能全部得到滿足，通過上述設置，探討存在不同交貨前置期、不同產品價格下，供應商的生產決策優化問題。

2 模型建立

2.1 目標函數

供應商按MTO方式安排生產，在極短的訂單交貨前置期下，供應商的存儲成本和機器空轉成本對總體的利潤影響較小，可忽略不計。因此，本文構建產能約束下的隨機混合整數規劃模型，以供應商利潤最大化為目標函數，僅考慮供應商的銷售收入、訂單延誤的處罰成本和生產成本的影響。

（1）銷售收入。由于在整個生產周期T內允許存在缺貨的情況，供應商能夠生產出零售商下達訂單的所有產品。供應商的銷售收入為：

（2）訂單延誤的處罰。在[t1，t2]周期內，若零售商總需求則供應商產能可以滿足零售商的需求，不存在訂單延誤，處罰成本為0；當零售商總需求時，在訂單交貨前置期LT結束后，供應商仍無法滿足零售商的需求，此時存在訂單的延誤處罰。

設在LT結束后的ti時刻，仍需生產的產品數量：Q1(LT，q)=q(ti)-(LT+ti-t1)Qmax。因此，在 [t1，t2]周期內仍需生產的產品數量：

其中[X]+=max[X，0]。

該[t1，t2]周期的處罰成本：

因此，整個生產周期T仍需生產的產品數量為：

整個生產周期的處罰成本：

（3）生產成本。零售商總需求數量為∑q(ti)，供應商能全部生產出訂單的全部產品。因此，供應商的生產成本是：

綜上所述，在整個生產周期T內，供應商的目標函數為：

即：

該目標函數是非線性的，供應商通過設定不同訂單的產品單價 pLT和交貨前置期LT來實現利潤最大化。在整個生產周期內，零售商的需求是隨機變動的，隨機需求均反應在期初向供應商下達的訂單大小。而本文所建立的模型是隨機混合整數規劃模型，目標函數中包含多個隨機變量，涉及多個小周期，求解過程較為復雜，且目前對混合整數規劃問題沒有較為成熟的求解方法。根據本文需解決的產能約束下的訂單管理，對該模型進行模擬仿真求解。這種求解方法更適用整數變量較少的情況，同時更適合現實中的訂單管理，具有現實意義。

2.2 性質

結合式（2），在 [t1，t2]時段仍需生產的產品數量

定理1：當q(ti)≤(LT+ti-t1)Qmax時，供應商訂單延誤的處罰C(P)=0。

證明：已知在ti時刻，仍需生產產品的數量Q(LT，q)=當 q(ti)＞(LT+ti-t1)Qmax時，此時 Q(LT，q)＞0，存在訂單的延誤，延誤的處罰C(P)＞0 ；當 q(ti)≤(LT+ti-t1)Qmax時，有t-t1)Qmax≤0，此時Q(LT，q)=0，即不存在訂單延誤，訂單延誤的處罰C(P)=0，得證。

定理2：當q(ti)＞(LT+ti-t1)Qmax時，供應商延誤訂單的處罰C(P)是分段函數。

證明：當q(ti)＞(LT+ti-t1)Qmax，至少存在一個時刻ti使得 Q(LT，q)=0 。假定其間存在 i個小周期 t1，t2，...，ti，仍需生產的產品數量為 Q(LT，q(t1))，...，Q(LT，q(ti))，因此，供應商訂單延誤的處罰C(P)=m(Q(L T ，q(t1))+...+Q(L T ，q(ti)) ) 。

如果q(ti)＞q(t1)，有：Q(LT，q(t1))=0；

如果q(ti)＞q(t2)，有：Q(LT，q(t1))=Q(LT，q(t2))=0；

…

如果 q(ti)≥q(ti)，有：Q(LT，q(t1))=Q(LT，q(t2))=...=Q(LT，q(ti))=0。

因此，供應商訂單延誤的處罰函數為：

即q(ti)＞(LT+ti-t1)Qmax時，供應商延誤訂單的處罰C(P)是分段函數，得證。

3 算例分析

在中國，每年的“雙十一”將會產生巨額的需求，而“雙十一”期間許多廠商無法及時交貨，嚴重影響企業的信譽，而在“雙十一”開始前的一段時間，通過設置合理的交貨前置期和產品單價將有效解決該問題。本文運用一個仿真算例分析來模擬“雙十一”期間供應商制定的訂單交貨前置期和產品單價，基于上述隨機混合整數模型，分析供應商的不同訂單前置期和產品單價下的決策。

本文考慮一個10天的生產周期，即T=10，期間包括多個小周期，供應商生產該產品的單位成本c=2；在初始訂單交貨前置期LT=3下，產品單價為pLT=6；每單位產品延遲一天交貨的處罰成本m=5；供應商產能Qmax=20；零售商每天需求率q(t10)=[14 26 27 10 7 5 13 25 14 6]T，即在該生產周期內，零售商的總需求為平均每天需求

（1）當產品單價保持不變。

在前置期LT=3時，供應商的利潤如表1所示。

表1 交貨前置期LT=2，供應商利潤表（pLT=6）

這10天的生產周期中包含2個小生產周期。其中，第1天零售商的訂單q(t1)＜Qmax，機器存在空轉；第2—6天，為第一個小生產周期，其中第3天零售商的需求無法滿足，需要通過延長交貨時間，存在訂單延誤的處罰；第7天零售商的訂單q(t1)＜Qmax，機器空轉；第8—10天，為第二個小生產周期，不存在訂單延誤的情況。在該生產周期內，供應商設置的交貨前置期 LT=2，產品的單價pLT=6，此時，供應商的利潤為∏=548。

同理，在不同訂單交貨前置期下，供應商利潤如表2所示。

表2 不同交貨前置期下供應商利潤表（pLT=6）

不同的訂單交貨前置期直接影響供應商訂單延誤的數量和缺貨處罰成本，在越長的交貨前置期訂單延誤的數量越少，生產的不確定性也越小。而本算例供應商在實現最大利潤下可設置的最小訂單交貨前置期LT=3，此時最大的利潤∏=588。

（2）當訂單交貨前置期保持不變。

在產品單價pLT=4時，供應商利潤如表3所示。

表3 產品單價 pLT=4，供應商利潤表（LT=3）

在訂單交貨前置期為LT=3時，不存在訂單延誤的處罰，此時產品的單價pLT=4，供應商的利潤∏=294。

同理，在訂單交貨前置期LT=3時，在不同單價下的供應商利潤如表4所示。

表4 不同產品單價，供應商利潤情況表（LT=3）

在訂單前置期LT=3不變的情況下，不同的產品單價不會對訂單延誤的處罰產生影響。此時，供應商仍需生產的產品數量和生產時間都已確定，單價的變動只會影響供應商的銷售收入。在一定的價格范圍內，供應商更傾向設置高的價格，如產品的單價在[4，8]范圍內變動時，供應商更傾向于設定高的單價 pLT=8，此時有最大利潤∏=882。

（3）當交貨前置期與價格成線性關系變動時。

Rao等[14]、Celik和Maglaras[15]的研究均表明交貨前置期對消費者具有重要的意義，不同偏好下消費者意愿支付的產品單價不同。本文設定該產品的單價與初始交貨前置期成線性關系：pLT=α*6*3 LT，即產品的單價與訂單交貨前置期成反比。其中α為價格對訂單交貨前置期的敏感系數，為外生變量。

當交貨前置期LT=3時，pLT=6α。供應商利潤如表5所示。

表5 前置期為LT=3下，供應商利潤表（pLT=6α）

可知供應商在給定的前置期LT=3時，產品單價為pLT=6α，此時供應商的利潤∏=882α-294。

同理，在不同訂單前置期下的供應商利潤如表6所示。

表6 不同訂單前置期和產品單價下的供應商利潤表

越短的訂單交貨前置期，反應出消費者對該產品有極大的偏好；此時，在較短的訂單交貨前置期下，供應商面臨較少的生產時間，需求的不確定性和生產的不確定性對供應商的要求極高。面對巨大的訂單需求，此時供應商更傾向于設定高的產品單價，即單價對交貨前置期的敏感程度存在：β≥γ≥α≥λ≥μ。

當交貨前置期LT≥3時不存在訂單延誤的處罰。當交貨前置期越長，產品的單價越低，供應商的收益越小，此時供應商可設定最優的交貨前置期LT=3，最優的收益為882α-294；當交貨前置期LT＜3時，前置期越短，產品的單價越高，此時伴隨著訂單延誤數量的增加，供應商面臨較大的經營不確定性。而當交貨前置期LT=2時，訂單延誤的處罰C(P)=40，此時縮短交貨前置期帶來的銷售收入的增加更為明顯。綜上，供應商在設定合適的訂單交貨前置期LT=2和產品單價9γ，即在較短的交貨前置期下，設定較高產品的單價，此時可擁有更高的利潤，自身的產能和庫存都能較好地符合市場的需求。

4 結論

企業在生產運營的過程中，由于受到自身產能的約束以及市場需求不確定性的影響，會通過追加生產來達到維持經營穩定性的目的。但追加生產往往會導致生產的產品數量高于市場需求從而使得企業的庫存不斷增加。如何解決企業實現自身利益最大化的同時降低庫存正是本文的核心問題。本文通過建立隨機混合整數規劃模型分析了在產能約束的條件下，企業如何解決企業訂單管理的一類方法。結果發現，當訂單的交貨前置期適當較長時，企業經營的不確定性會較低。反之，則會增加企業經營的不確定性。為了彌補企業縮短訂單前置期可能帶來的損失，企業可以選擇在適當縮短訂單交貨前置期的同時提高產品的單價，這樣可以有效彌補訂單延誤造成的處罰。

在供給側戰略改革的新形勢下，“去庫存”已不再是一句簡單的口號，而是企業生存發展的重要前提之一。這對企業的訂單管理和庫存管理提出了更高層次的要求，良好的訂單管理和庫存管理是解決該問題的重要手段。根據本文的結論，在面對實際經營問題時，企業可以在考慮自身實際情況的基礎上，設定適合企業自身的交貨前置期和產品單價組合，平衡企業經營不確定性和企業利潤最大化之間的矛盾。在實現自身最大化利潤的同時降低企業庫存，提高產品的有效供給，促進整個社會庫存的下降。