淺談數學概念的教學

摘 要：數學概念在數學內容中占有重要地位，數學概念的教學有著自身的特點，在教學中應該根據這些特點開展教學。本文分析了數學概念的定義，數學概念的獲得以及數學概念的教學這三方面的特點，其中，介紹了定義的五種方法，概念獲得的兩種方式，概念教學的注意事項等。

關鍵詞：數學概念；概念獲得；概念形成；概念同化

中學數學基礎知識包括概念，命題及命題的證明等，其中數學概念是數學家智慧的結晶。數學是用概念思維的，在概念學習的過程中培養出來的方法遷移能力及思維方式最強悍。數學概念教學的意義，一方面讓學生掌握書本知識，另一方面使學生學會用概念思維，以此提高數學素養。教師們應該重視概念教學，特別是核心概念的教學。

一、 數學概念的定義

概念反映了客觀事物的本質屬性，數學概念則反映了客觀事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性。掌握一個概念，將是要掌握這個概念的定義，定義是揭示概念內涵的邏輯方法。

有如下幾種定義方法：1. 內涵式定義，即屬概念加種差定義。例如，在定義“有一組對邊相等的平行四邊形叫菱形”中，“平行四邊形”是臨近的屬，“有一組對邊相等”是種差。

2. 發生定義。以被定義概念所反映的對象產生或形成的情況作為種差作出的定義，稱為發生定義。例如“一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形叫做角”，就是一個發生性定義。

3. 關系定義。以被定義概念所反映的對象與其他對象之間的關系作為種差而作出的定義叫作關系定義。例如“如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，就稱這條直線和這個平面垂直”。

4. 外延定義，某些概念內涵不易描述，但外延明確，可通過表示外延的方法來作定義，例如，“有理數和無理數統稱為實數”。

5. 詞語定義，例如“形如y=kx+b（k≠0）的函數稱為一次函數”。

說到概念，不能不提原始概念。在概念的序列中有一些概念是用來定義其他概念的，但又不能用別的概念給它下定義，這些概念稱為原始概念或不加定義的概念。例如，數、點、直線、平面等都是原始概念。原始概念一般用描述的方法來揭示它們的本質屬性。

二、 數學概念的獲得

一般地，人們通過概念形成與概念同化兩種方式獲得概念。概念形成是指人們從大量例子出發，抽象概括出一類事物的本質屬性。教學操作如下：（1）教師拿出一組例子，與同學們一起分析它們的共同屬性。（2）通過已有認知結構，概括抽象出對象共同的本質屬性。（3）給出概念的定義。（4）通過正例和反例進行強化訓練。

概念同化是學習者利用已有概念去理解新概念。教學操作如下：（1）辨認階段，回顧已有知識，比較分析新舊知識。（2）同化階段，把新概念納入已有概念體系中，同化新概念，形成一個整體。（3）強化階段，通過正，反例，加深加強學生對新概念的理解。

概念的同化有下面三種基本模式：

1. 下位學習。下位學習是由大到小，由一般到特殊，通過學習將新概念納入舊概念之下，或者說新概念是舊概念的子集。例如，已有函數的概念，納入正比例函數，反比例函數；已有平行四邊形，納入矩形，菱形。

雖然人們對客觀事物的認識是從特殊到一般的，但目前的數學教材編排是采用下位學習方式，如先學習函數概念，再學習一次函數，二次函數。下位學習是一種演繹學習的過程。

2. 上位學習。上位學習是指新概念包含了原有認知結構中的概念。例如，已經學習了橢圓，拋物線，雙曲線，再學習圓錐曲線。上位學習是一種歸納學習的過程。

3. 組合學習，也叫并列學習。組合學習是指新概念與原有概念在內涵和外延上是并列的，既無上位關系，也無下位關系，例如，三角形的三線，高，角平分線，中線，它們是并列關系。

概念同化是依靠新舊概念之間的相互作用來理解新概念，需要學生依托原有認知結構，是一種主動的，有意義的學習，更利于成績好的學生學習。

概念形成與概念同化兩者不是孤立的，概念形成包含了同化的因素，需要用具體的材料去同化新概念。概念形成的教學形式比較費時，但有利于培養學生的觀察能力。概念同化也包含有概念形成的因素，因為同化不能脫離分析，抽象和概括。概念同化的教學形式省略了概念產生過程中的觀察，分析共性，抽象概括，節約了教學時間，但有利于培養學生的邏輯思維能力。在概念教學中，經常要結合兩種方式，根據不同的教學內容選用不同的教學形式，以培養學生綜合素質。

三、 概念教學

教師要把基本概念放在中心地位，使其成為相關知識的紐帶，要把基本概念的教學作為重點，狠下功夫，訓練學生能對一類具體例子的屬性進行分析，綜合，比較而抽象出本質屬性，把新概念納入概念系統中去，這是概括的高級階段。同時要注意培養學生的數學語言表達能力，這是學生的弱項，也是長期被數學老師所忽視的。語言表達是概念教學的難點，經常性的，老師和學生都知難而退。學生能用自己的語言敘述概念，這說明學生能夠深刻正確地理解概念。數學語言是符號語言，是世界通用語言，因此，學生掌握數學語言具有重要意義。

“人教A版”的主編寄語中說：數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其他概念的聯系，你就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味。

概念教學應該自然，水到渠成。這包括知識邏輯順序的自然和學生心理邏輯，主要是思維過程的自然。概念教學中，一方面要突出由實際背景抽象出數學概念的過程，讓學生通過數學抽象的過程，學會用數學思考問題；另一方面，要突出建模方法的使用，讓學生認識到數學反映客觀事物的方法是通過數學模型實現的，從而學會用數學解決問題。

作者簡介：

王衛華，湖北省武漢市，湖北大學數學與統計學院；應用數學湖北省重點實驗室。