淺談數(shù)列“構(gòu)造法”在數(shù)列通項(xiàng)公式 求解問(wèn)題中的應(yīng)用

李芃可

“構(gòu)造法”是數(shù)列求通項(xiàng)公式中的常見(jiàn)題型，也是被廣為研究的經(jīng)典題型，關(guān)于此類問(wèn)題的解法很多，技巧性也強(qiáng)。對(duì)我們中學(xué)生而言，通過(guò)有效例題的練習(xí)和歸納，使我們?cè)谶\(yùn)算能力、歸納猜想能力、類比轉(zhuǎn)化能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力都能有所提升，同時(shí)對(duì)模型思想加以延伸思考，逐步形成舉一反三。筆者結(jié)合自己的一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)剮c(diǎn)粗淺實(shí)踐體會(huì)。

構(gòu)造數(shù)列強(qiáng)調(diào)其本身并不是等差或等比數(shù)列，但經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形后，可形成一個(gè)新數(shù)列，而該數(shù)列正是等差或等比數(shù)列，再根據(jù)新數(shù)列的特征求出通項(xiàng)公式。以此為出發(fā)點(diǎn)，選擇模型一作為第一個(gè)問(wèn)題，逐步加深難度，引發(fā)思考和探索。

模型一：an+1=Aan+B，其中n∈N+，A，B為非零常數(shù)，且A≠1

例1.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=3an+2（n∈N+），求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an。

提出問(wèn)題之后，示意我們思考：遞推公式中含有一個(gè)常數(shù)項(xiàng)2和an系數(shù)3，若3為1或者2為0，該問(wèn)題就是簡(jiǎn)單的等差或等比求通項(xiàng)問(wèn)題了，正是由于這兩個(gè)數(shù)的引入，使問(wèn)題復(fù)雜化、難度加大。但我們驚奇地發(fā)現(xiàn)：若再引入一個(gè)常數(shù)1，將an+1=3an+2左右兩邊同時(shí)加上1，得到：an+1+1=3an+2+1=3（an+1），于是進(jìn)一步給出結(jié)論：{an+1}是以首項(xiàng)為3，公比q=3的等比數(shù)列，問(wèn)題迎刃而解。于是提出以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）模型中，B是一個(gè)什么量？

（2）你引入的是一個(gè)什么量？引入之后有什么結(jié)論？

B是一個(gè)常量，引入1后，該數(shù)列會(huì)形成一個(gè)形如{an+1}的等比數(shù)列，例1得以解答，思考該問(wèn)題的結(jié)論，大膽地給出一個(gè)猜想：模型一能否化為an+1+λ=A（an+λ）的形式，形成一個(gè)形如{an+λ}的等比數(shù)列，公比q=A，其中λ為常數(shù)。于是，利用待定系數(shù)法，

驗(yàn)證：

令an+1+λ=A（an+λ），得：an+1=Aan+λA-λ，則λA-λ=B？圯λ=，所以，存在常數(shù)λ=，使{an+λ}為等比數(shù)列（首項(xiàng)不為零），公比q=A。

模型一的解決是構(gòu)造問(wèn)題的基礎(chǔ)，由此引發(fā)思考：B若不是常數(shù)會(huì)怎樣？如：指數(shù)形式、一次函數(shù)形式等，帶著這樣的疑問(wèn)進(jìn)入模型二、三、四的研究：

模型二：an+1=Aan+C·Dn，其中n∈N+，A，C，D為非零常數(shù)，且A≠1，A≠D

模型三：an+1=Aan+C·An，其中n∈N+，A，C為非零常數(shù)，且A≠1

模型四：an+1=Aan+kn+b，其中n∈N+，A，k為非零常數(shù)，且A≠1

例2.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，

（1）an+1=3an+2·4n（n∈N+），求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an；

（2）an+1=3an+2·3n（n∈N+），求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an。

（3）an+1=3an+2n+1（n∈N+），求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an。

通過(guò)對(duì)比，模型中的A未做改變，只是不斷地變換B的角色：由常數(shù)1到2·4n、到2·3n，再到2n+1，隨著這些量的改變，我們的結(jié)論是否一成不變呢？復(fù)述B=1時(shí)的結(jié)論，思考這些問(wèn)題，做類比，提出大膽猜想：是不是B為指數(shù)式或一次式就會(huì)形成一個(gè)形如{an+λ}的等比數(shù)列呢？其中λ相應(yīng)的為指數(shù)式或一次式。設(shè)法求證以上想法：

（1）令an+1+λ·4n+1=3（an+λ·4n）

an+1=3an+3λ·4n-λ·4n+1

3λ·4n-λ·4n+1=2·4n

λ=-2

∴an+1-2·4n+1=3（an-2·4n）

（2）令an+1+λ·3n+1=3（an+λ·3n）

an+1+λ·3n+1=3an+λ·3n+1

∴an+1=3an

故不存在λ

（3）令an+1+k（n+1）+b=3（an+kn+b）

an+1=3an+2kn+2b-k

∴2k=22b-k=1？圯k=1b=1

∴an+1+（n+1）+1=3（an+n+1）

發(fā)現(xiàn)：對(duì)（1）、（3）會(huì)形成形如{an-2·4n}、{an+n+1}的等比數(shù)列，首項(xiàng)均不為零，且公比都為3；而（2）中，由于指數(shù)式的底數(shù)an與系數(shù)3相同，導(dǎo)致方法失效，因此我們應(yīng)單獨(dú)將其列出探索新的方法，從指數(shù)式與an系數(shù)的關(guān)系我們發(fā)現(xiàn)：

將an+1=3an+2·3n兩邊同時(shí)除以3n+1得：+2，會(huì)形成一個(gè)形如的等差數(shù)列，這個(gè)結(jié)論對(duì)我們至關(guān)重要，是數(shù)列“構(gòu)造法”的另一個(gè)重要內(nèi)容，綜合模型一、二、三、四，我們給出構(gòu)造思想，對(duì)遞推公式an+1=Aan+B（A為為非零常數(shù)，且A≠1）的數(shù)列：

（1）B為非零常數(shù)時(shí)，形成一個(gè)形如{an+λ}的等比數(shù)列，其中λ=；

（2）B為指數(shù)式：B=C·Dn（A≠D），形成一個(gè)形如{an+λ·Dn}的等比數(shù)列；

（3）B為指數(shù)式：B=C·An，形成一個(gè)形如的等差數(shù)列；

（4）B為一次式：B=kn+b（k≠0），形成一個(gè)形如{an+k1n+b1}的等比數(shù)列。

其中，可構(gòu)造成等比數(shù)列的公比q=A，對(duì)式子中出現(xiàn)的λ，k1，b1，公差均可用待定系數(shù)法求解，然后將值帶入求數(shù)列通項(xiàng)公式。

經(jīng)過(guò)上述的探究之后，我們對(duì)構(gòu)造已有一定認(rèn)識(shí)，此時(shí)可對(duì)模型做進(jìn)一步的補(bǔ)充和延伸思考：

例3.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，

（1）an+1=3an+2·4n+1（n∈N+），求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an；

（2）an+1=3an+2·4n+2n+1（n∈N+），求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an；

從構(gòu)造的角度出發(fā)，例3是之前所講模型的混合模型，屬構(gòu)造等比數(shù)列范疇，因此，運(yùn)用待定系數(shù)法，類比將問(wèn)題解答，得到自己的收獲：會(huì)形成一個(gè)混合結(jié)構(gòu)的等比數(shù)列，公比仍然是q=A。

隨著構(gòu)造模型的變化和深入，掌握構(gòu)造思想尤為重要，使利用數(shù)列遞推公式運(yùn)用“構(gòu)造法”求通項(xiàng)公式顯得通俗易懂，在諸多模型中，對(duì)形如：an+1=Aan+an2+bn+c（a≠0）、an+1=Aan+C·An+D（C≠0，D≠0）未做解釋，留給大家繼續(xù)探索，這兩個(gè)模型難度較之前也有所提高。

？誗編輯 李琴芳