淺談數列“構造法”在數列通項公式 求解問題中的應用

李芃可

“構造法”是數列求通項公式中的常見題型，也是被廣為研究的經典題型，關于此類問題的解法很多，技巧性也強。對我們中學生而言，通過有效例題的練習和歸納，使我們在運算能力、歸納猜想能力、類比轉化能力以及運用數學知識分析和解決問題的能力都能有所提升，同時對模型思想加以延伸思考，逐步形成舉一反三。筆者結合自己的一點經驗，談談幾點粗淺實踐體會。

構造數列強調其本身并不是等差或等比數列，但經過適當變形后，可形成一個新數列，而該數列正是等差或等比數列，再根據新數列的特征求出通項公式。以此為出發點，選擇模型一作為第一個問題，逐步加深難度，引發思考和探索。

模型一：an+1=Aan+B，其中n∈N+，A，B為非零常數，且A≠1

例1.已知數列{an}滿足a1=2，an+1=3an+2（n∈N+），求數列{an}通項公式an。

提出問題之后，示意我們思考：遞推公式中含有一個常數項2和an系數3，若3為1或者2為0，該問題就是簡單的等差或等比求通項問題了，正是由于這兩個數的引入，使問題復雜化、難度加大。但我們驚奇地發現：若再引入一個常數1，將an+1=3an+2左右兩邊同時加上1，得到：an+1+1=3an+2+1=3（an+1），于是進一步給出結論：{an+1}是以首項為3，公比q=3的等比數列，問題迎刃而解。于是提出以下幾個問題：

（1）模型中，B是一個什么量？

（2）你引入的是一個什么量？引入之后有什么結論？

B是一個常量，引入1后，該數列會形成一個形如{an+1}的等比數列，例1得以解答，思考該問題的結論，大膽地給出一個猜想：模型一能否化為an+1+λ=A（an+λ）的形式，形成一個形如{an+λ}的等比數列，公比q=A，其中λ為常數。于是，利用待定系數法，

驗證：

令an+1+λ=A（an+λ），得：an+1=Aan+λA-λ，則λA-λ=B？圯λ=，所以，存在常數λ=，使{an+λ}為等比數列（首項不為零），公比q=A。

模型一的解決是構造問題的基礎，由此引發思考：B若不是常數會怎樣？如：指數形式、一次函數形式等，帶著這樣的疑問進入模型二、三、四的研究：

模型二：an+1=Aan+C·Dn，其中n∈N+，A，C，D為非零常數，且A≠1，A≠D

模型三：an+1=Aan+C·An，其中n∈N+，A，C為非零常數，且A≠1

模型四：an+1=Aan+kn+b，其中n∈N+，A，k為非零常數，且A≠1

例2.已知數列{an}滿足a1=2，

（1）an+1=3an+2·4n（n∈N+），求數列{an}通項公式an；

（2）an+1=3an+2·3n（n∈N+），求數列{an}通項公式an。

（3）an+1=3an+2n+1（n∈N+），求數列{an}通項公式an。

通過對比，模型中的A未做改變，只是不斷地變換B的角色：由常數1到2·4n、到2·3n，再到2n+1，隨著這些量的改變，我們的結論是否一成不變呢？復述B=1時的結論，思考這些問題，做類比，提出大膽猜想：是不是B為指數式或一次式就會形成一個形如{an+λ}的等比數列呢？其中λ相應的為指數式或一次式。設法求證以上想法：

（1）令an+1+λ·4n+1=3（an+λ·4n）

an+1=3an+3λ·4n-λ·4n+1

3λ·4n-λ·4n+1=2·4n

λ=-2

∴an+1-2·4n+1=3（an-2·4n）

（2）令an+1+λ·3n+1=3（an+λ·3n）

an+1+λ·3n+1=3an+λ·3n+1

∴an+1=3an

故不存在λ

（3）令an+1+k（n+1）+b=3（an+kn+b）

an+1=3an+2kn+2b-k

∴2k=22b-k=1？圯k=1b=1

∴an+1+（n+1）+1=3（an+n+1）

發現：對（1）、（3）會形成形如{an-2·4n}、{an+n+1}的等比數列，首項均不為零，且公比都為3；而（2）中，由于指數式的底數an與系數3相同，導致方法失效，因此我們應單獨將其列出探索新的方法，從指數式與an系數的關系我們發現：

將an+1=3an+2·3n兩邊同時除以3n+1得：+2，會形成一個形如的等差數列，這個結論對我們至關重要，是數列“構造法”的另一個重要內容，綜合模型一、二、三、四，我們給出構造思想，對遞推公式an+1=Aan+B（A為為非零常數，且A≠1）的數列：

（1）B為非零常數時，形成一個形如{an+λ}的等比數列，其中λ=；

（2）B為指數式：B=C·Dn（A≠D），形成一個形如{an+λ·Dn}的等比數列；

（3）B為指數式：B=C·An，形成一個形如的等差數列；

（4）B為一次式：B=kn+b（k≠0），形成一個形如{an+k1n+b1}的等比數列。

其中，可構造成等比數列的公比q=A，對式子中出現的λ，k1，b1，公差均可用待定系數法求解，然后將值帶入求數列通項公式。

經過上述的探究之后，我們對構造已有一定認識，此時可對模型做進一步的補充和延伸思考：

例3.已知數列{an}滿足a1=2，

（1）an+1=3an+2·4n+1（n∈N+），求數列{an}通項公式an；

（2）an+1=3an+2·4n+2n+1（n∈N+），求數列{an}通項公式an；

從構造的角度出發，例3是之前所講模型的混合模型，屬構造等比數列范疇，因此，運用待定系數法，類比將問題解答，得到自己的收獲：會形成一個混合結構的等比數列，公比仍然是q=A。

隨著構造模型的變化和深入，掌握構造思想尤為重要，使利用數列遞推公式運用“構造法”求通項公式顯得通俗易懂，在諸多模型中，對形如：an+1=Aan+an2+bn+c（a≠0）、an+1=Aan+C·An+D（C≠0，D≠0）未做解釋，留給大家繼續探索，這兩個模型難度較之前也有所提高。

？誗編輯 李琴芳