函數與方程思想的重要性

符鷹

高斯曾經說過這樣一句話——世界上萬事萬物都能轉化為數學問題，而數學問題又一定能轉化為方程問題，函數也是含未知量的等式，只不過不是一元，是二元，可以說所有函數也都是方程。函數與方程思想是數學學科中六大思想中最為重要的思想之一。函數與方程緊密結合，而又密不可分，兩者可以互相轉換。運用函數與方程的思想方法可以將一些抽象復雜的問題簡單化，巧妙地轉換數量之間的關系，用函數圖象代替抽象的數量關系，從而搭建解決抽象問題的橋梁。同時，函數與方程的思想也與數形結合等思想緊密聯系，促進數學系統性思想的提升。通過蘇教版高中數學必修1第3.4.1的第三課時“函數與方程3”的教學設計來闡述函數與方程思想的重要性。

一、教學設計

1.教學目標

（1）利用一元二次函數的圖象和性質解決有關一元二次方程根的分布問題。

（2）體驗并理解函數與方程相互轉化及數形結合的數學思想。

2.教學重點、難點

重點：利用函數的圖象和性質研究一元二次方程根的分布。

難點：函數和方程思想的相互轉化。

3.教學設計思路

本節課是函數與方程的第三課時，第一節講解了函數零點知識，第二節內容講解了二分法求解函數零點問題，學生已經對數形結合和函數方程思想有了初步認識，第三課時主要是利用二次函數圖象研究一元二次方程根的分布問題。首先通過證明一個簡單二次函數根的分布問題，對初中求根方法以及高中所學零點存在性定理進行復習；接下來讓學生根據根的分布情況求解一個含參一元二次方程的參數取值范圍，并設置多個變式，解釋各種可能性，從而得到一般情況。最終將一元二次方程根的分布問題進行拓展。整個教學過程，在基礎題目模型的基礎上，通過改編，層層深入，給學生滲透函數與方程的相互轉化思想，讓兩者有機

結合。

4.課堂設計

（1）課題引入。

引入：證明函數f（x）=x2-4x+2有一個零點在（0，1），另一個零點在（3，4）上。

設計意圖：引入簡單的二次函數根的分布問題，學生提出可以通過將此函數問題轉化為相應的一元二次方程，利用求根公式法來解決問題，從而提出了二次函數問題向一元二次方程問題的轉化思想。此題還可以通過零點存在性定理進行解決，提出“函數從上至下，又從下至上穿過x軸就代表函數與軸有兩個不同交點”，幫助學生更好地理解應用零點存在性定理。

（2）通過例題和變式闡述一元二次方程向二次函數的轉化。

例1.已知關于x的方程x2+ax+2=0滿足一個根小于1，一個根大于1，求實數a的取值范圍。

變式1：兩根都大于1；

變式2：兩根都小于1；

變式3：兩根都在（0，3）中；

變式4：一根在（0，1）中，一根在（2，3）中。

設計意圖：①引導學生將二次函數零點分布問題轉化為一元二次方程根的分布問題進行求解。要實現函數與方程的相互轉換，例1則是引導學生將一元二次方程根的分布問題轉化為二次函數零點分布問題。例1的方程和引入只相差了一個參數，讓學生有一種“熟悉感”。

②例1和4個變式的設置是層層推進，由簡到繁，基本闡述了可能出現的根的分布問題。例題以及變式的展示都在幾何畫板里進行，通過幾何畫板函數圖象的變化，讓學生觀察圖象并寫出滿足根的分布的等價條件。例題中提出“判別式Δ>0”可以不用寫出來，因為函數穿過軸就代表Δ>0一定成立。同樣，在變式4中也不需要添加這一條件，但變式1、2、3中需要。

③通過引入和變式總結出一元二次方程根的分布問題的解題步驟，轉化為二次函數，數形結合，從函數圖象判別式、開口、對稱軸、端點值進行思考，寫出相應條件。通過這些問題在黑板上進行一般性問題的等價條件的板書。

例2.若關于x的方程4x+a·2x+a+1=0有兩個實數解，求a的取值范圍。

變式1：若關于x的方程4x+a·2x+2=0有實數解，求a的取值范圍。

設計意圖：例2只需令t=2x，t>0，方程就化解為t2+at+a+1=0，此題化為t2+at+a+1=0有兩個正實數根。就將例1中變式1的“大于1”變成了“大于0”。而變式1要求更高，此題化為t2+at+a+1=0有正實數根，可分為只有一個正根、兩個正根來進行分段討論。此題如此設計，主要是希望學生能夠揭開表面看本質，由于t=2x，x∈R是一個一一對應的單調函數，所以例2仍舊是一個一元二次方程在某特殊值右側有兩根問題，從而促進了學生舉一反三的能力，加深了學生對函數與方程思想的理解，更突出了本節課的主旨。變1的設計則更提高了學生的思維能力，特別激發了中上等學生學習本章節的興趣。

二、教學反思

本節課主旨為“函數與方程思想的重要性”，圍繞這個主題，整節課設計層層遞進，邏輯性強，由最開始引入二次函數零點分布問題轉化為方程根的分布問題，再到例1、例2一元二次方程根的分布問題轉化為二次函數零點分布問題，重點在后者。方程轉化為函數問題，實際上就是數形結合思想的運用，例1的四個變式由簡入難，是本節課的亮點，將可能的根的分布問題講透，讓學生在遇到類似問題時都能舉一反三，不再犯簡單錯誤。

本節課是一節對外公開課，整個教學過程采用黑板與PPT以及幾何畫板的多種教學手段相結合的形式，例1在幾何畫板中展示圖象，并且移動圖形，能更直觀地讓學生看出滿足根的分布情況的等價條件。多媒體的運用也增強了學生的學習興趣。

函數與方程看似不同的兩個概念之間實際上是辯證統一的，兩者可以進行相互轉化，將抽象的數量關系與直觀的幾何圖形結合在一起。在平時的教學以及習題講解中，如果教師能夠適時地滲透給學生這一思想，那學生在解題中也會達到事半功倍的效果。

？誗編輯 溫雪蓮