對數(shù)列與函數(shù)相關(guān)問題的一些探討

江秋煜

摘 要：在解數(shù)列綜合題中經(jīng)常碰到與函數(shù)相結(jié)合的題目，對于這類題目不少學生感到難度較大，其主要原因是有的學生難以運用函數(shù)知識進行解題。通過具體的例子來說明這類題型中的一些求解方法。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學；數(shù)列問題；思考歸納

從函數(shù)對應的角度看，數(shù)列可以看成定義在正整數(shù)集（或其子集）上，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。很多數(shù)列問題都可以放到動態(tài)背景下考慮，運用函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象從較高的角度去討論。本文舉例說明函數(shù)思想在處理數(shù)列問題中所發(fā)揮的作用。——包括了數(shù)列與對數(shù)函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列與導函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列與函數(shù)圖像點（根）相結(jié)合。

一、數(shù)列與對數(shù)函數(shù)相結(jié)合

例1.Sn是等差數(shù)例{an}的前n項和，且a1=1，S7=28，記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（1）求b1，b11，b101.（2）求數(shù)列{bn}的前1000項和.

【解析】（1）設{an}的公差為d，S7=7a4=28，

∴a4=4，∴d==1，∴an=a1+（n-1）d=n.

∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2.

（2）記{bn}的前n項和為Tn，則T100=b1+b2+…+b1000

=[lga1]+[lga2]+…+[lga1000].

當0≤lgan<1時，n=1，2，…，9；

當1≤lgan<2時，n=10，11，…，99；

當2≤lgan<3時，n=100，101，…，999；

當lgan=3時，n=1000.

∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893.

【考點解析】（1）掌握對數(shù)的基本運算；（2）理解[x]表示取整。

二、數(shù)列與函數(shù)圖象點（根）相結(jié)合

例2.已知{bn}是公比大于1的等比數(shù)列，b1，b3是函數(shù)f（x）=x2-5x+4的兩個零點.

（1）求數(shù)列{bn}的通項公式。

（2）若數(shù)列{an}滿足an=log2bn+n+2，且a1+a2+a3+…+am≤63，求m的最大值.

（1）因為b1，b3是函數(shù)f（x）=x2-5x+4的兩個零點，

所以b1，b3是方程x2-5x+4=0的兩根，故有b1+b3=5b1·b3=4，

因為公比大于1，所以b1=1，b3=4，從而b2=2，

所以，等比數(shù)列{bn}的公比為q==2，bn=b1·qn-1=2n-1。

（2）an=log2bn+n+2=log22n-1+n+2=（n-1）+n+2=2n+1，

所以，數(shù)列{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，

故有a1+a2+a3+…+am=3m+×m（m-1）×2=m2+2m≤63，

即m2+2m-63≤0，解得-9≤m≤7，所以m的最大值是7。

【考點解析】（1）會轉(zhuǎn)化函數(shù)零點與方程根的關(guān)系；（2）會進行必要的對數(shù)運算。

三、數(shù)列與導函數(shù)相結(jié)合

例3.在數(shù)列{an}中，a1=，若函數(shù)f（x）=x3+1在點（1，f（1））處切線過點（an+1，an）。

（1）求證：數(shù)列an-為等比數(shù)列。

（2）求數(shù)列{an}的通項公式和前n項和公式Sn

【解析】（1）因為f ′（x）=3x2，所以切線的斜率為k=f ′（1）=3，而切點（1，2），

切線方程為y-2=3（x-1），即y=3x-1：

又因為過點（an+1，an）所以an=3an+1-1，即3an+1=an+1①

所以3an+1-=an-，即3（an+1-）=an-，從而得到=

即數(shù)列an-為一等比數(shù)列，公比q=。

（2）由（1）得an-為一公比為q=，首項a1-=-=的等比數(shù)列，則an-=×n-1，即an=·n+，Sn=+++…++=+

【考點解析】（1）會對函數(shù)求導，求出切線方程；（2）會利用等比數(shù)列an-來求原數(shù)列{an}的通項公式和前n項和公式Sn。

數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎，所以在高考中占有重要的地位。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列、等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度。特別是數(shù)列知識和函數(shù)的知識綜合成為近年高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。

參考文獻：

[1]王北生.新課標下高中數(shù)學數(shù)列問題的研究[J].理論教育，2016.

[2]儀曉芹.高中數(shù)學數(shù)列單元的教學設計[J].新課程，2017.

？誗編輯 溫雪蓮