《簡單的線性規劃問題》的教學設想

梁建鶯

摘 要：就線性規劃這一節的教學提出看法，該內容在新課程中安排在二元一次不等式之后，在學生還未學習直線的基礎上來教學，理解如何用圖象來確定最優解和求目標函數的最值.

關鍵詞：線性規劃；目標函數；最優解；可行域；斜率；截距

一、提出問題

某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件耗時1h，每生產一件乙產品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產安排是什么？若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，采用哪種生產安排利潤最大？

二、分析問題

問題一：該廠所有可能的日生產安排是什么？設生產甲產品x件，生產乙產品y件，從而得到二元一次不等式組x+2y≤84x≤164y≤12x≥0y≥0，并且畫出不等式組所表示的平面區域（如圖1），平面區域內的所有整數點就代表所有可能的日生產安排.這一問題學生均能理解，找整數點的問題在上一節內容的學習中便可找到.

問題二：若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，采用哪種生產安排利潤最大？由上題分析，學生會很快列出利潤的表達式，設利潤為z萬元，z=2x+3y，學生可能會將上題的答案逐個代入，求得最大利潤.這其實也是一種方法，將所有的可行解代入求得最優解，但如果可行解有無數個，那么問題又該如何解決.

三、解決問題

z=2x+3y這一目標函數的值隨著x，y在可行域內的值不同而改變，如何確定最優解筆者認為最關鍵的是以下兩點：一是讓學生明白目標函數對應的方程反應在坐標系中是一族平行直線.在可行域內任意取一整數點，即x，y的值，z的值也確定了.不妨先任意地取幾個z的值，如2x+3y=0，2x+3y=10，2x+3y=14，上述幾個二元一次方程，學生往往需要通過變形才知道方程所表示的曲線為直線，而且作圖后發現相互平行.這時提示學生將目標函數也變形，在學生初中學習中一次函數y=kx+b表示的圖象是直線，所以會將目標函數變形為y=kx+b，即y=-，這樣z值不同，所表示的直線也不同，但直線是相互平行的，而的確定，需要在可行域內任意找一個整點坐標代入便得.二是在目標函數的變式y=-為直線在y軸上的截距，那么求目標函數的最值就是求直線y=-在y軸上截距的最大值.在沒有進行生產的情況下，z的初始值為0，此時2x+3y=0，即y=-x直線進過原點，當x，y的值取可行域的值時，即將直線y=-x往可行域平行，直線在y軸上的截距也隨之增大，當直線與可行域有公共點（4，2），且在y軸上的截距最大時，即生產甲4件，生產乙2件利潤為最大z=2·4+3·2=14萬元，（如圖2）.這樣線性規劃問題就得以解決.

四、問題的歸納總結

在上述問題的處理過程中，通過實際舉例畫圖來體會如2x+3y=0，2x+3y=10，2x+3y=14等直線的平行，從而有了平移直線的過程使得目標函數z的變化來求得最值.因此，圖解法求線性規劃問題的大致步驟：

（1）列出線性約束條件的不等式組；

（2）畫出不等式組所表式的可行域；

（3）平移目標函數z=ax+by（a>0，b>0）（z=0），找出與可行域有公共點且在y軸上的截距最大的直線；

（4）求出此公共點的坐標，即最優解代入目標函數求得最值.

五、存在的問題

目標函數z=ax+by（a>0，b>0）的情況在上述例題中的最優解求解過程學生已經掌握，若x，y的系數a，b的符號并非全為正數，又該如何求解最優解，這些內容還需課時補充.如設z=2x-y，使x，y滿足下列條件y≤xx+y≤1y≥-1，求z=2x-y的最大值.非線性目標函數的最優解.

若知道直線的斜率，由于目標函數所在直線的斜率與線性約束條件中其中一條邊界所在的直線斜率相等，所以在平移目標函數過程中，會發現最優解有無數個，所有可行域中這條直線上的點均為最優解，答案馬上可得.

在教學實踐過程中幫助學生更好地理解圖解法求線性規劃問題的方法，由于教科書內容順序的安排，在理解書本上的解題過程中，出現未知知識，需講解到位，掌握圖解法解線性規劃問題的步驟.

？誗編輯 溫雪蓮