導數結合洛必達法則巧解高考壓軸題

摘 要：高考數學試題常與大學數學知識有機接軌，以高等數學為背景的命題形式成為熱點.許多省市的高考試卷的壓軸題都是導數應用問題，其中求參數的取值范圍就是一類重點考查題型.其中涉及一些高中沒有教授過的重要的數學定理，洛必達法則就是運用高等數學知識解決高考題的很好體現.用洛必達法則和導數解決高考試題并將這種方法應用于其他試題，從中可以發現運用高等數學知識解題的優越性.

關鍵詞：洛必達法則；導數；參數取值范圍

高考數學試題常與大學數學知識有機接軌，以高等數學為背景的命題形式成為熱點.許多省市的高考試卷的壓軸題都是導數應用問題，其中求參數的取值范圍就是一類重點考查題型.這類題目容易讓考生想到用分離參數的方法，一部分題用這種方法很湊效，另一部分題在高中范圍內用分離參數的方法卻不能順利解決.利用分離參數的方法不能解決這類問題的原因是出現了“”型的式子，而這就是大學數學中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就是洛必達法則.利用導數確定函數的單調性，再用洛必達法則就能順利解決上面提出的“”型的導數應用問題.本文首先給出洛必達法則，然后用洛必達法則和導數解決高考試題并將這種方法應用于其他試題，從中可以發現運用高等數學知識解題的優越性.

洛必達法則：設函數f（x）、g（x）滿足：

（1）f（x）=g（x）=0；

（2）在U0（a）內，f ′（x）和g′（x）都存在，且g′（x）≠0；

（3）=A（A可為實數，也可以是±∞）.則==A.

1.（2011海南寧夏理21）已知函數f（x）=+，曲線y=

f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）求a，b的值；

（2）如果當x>0，且x≠1時，f（x）>+，求k的取值范圍.

解析：（1）略解，易知a=1，b=1；

（2）當x>0，且x≠1時，由f（x）>+，易得k<+1-=+1.

記g（x）=+1，則g′（x）==（lnx+），

記h（x）=lnx+，則h′（x）=+=>0，從而h（x）=lnx+在x∈（0，+∞）時單調遞增，且h（1）=0，所以當x∈（0，1）時，h（x）<0，當x∈（1，+∞）時，h（x）>0；當x∈（0，1）時，

g′（x）<0，當x∈（1，+∞）時，g′（x）>0，所以g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.由洛必達法則有：

g（x）=（+1）=1+=1+=0，

即當x→1時，g（x）→0所以當x>0，且x≠1時，g（x）>0.

因為k

綜上所述，當x>0，且x≠1時，f（x）>+成立，求k的取值范圍是（-∞，0].

通過例題1的分析，我們不難發現運用洛必達法則解決的試題應滿足：①可以分離變量；②用導數可以確定分離變量后一端函數的單調性；③出現“”型的式子.洛必達法則是數學分析中的一個重要的求不定式極限的方法.在分離參數之后，洛必達法則就能幫助我們解決“”型的高考壓軸題.

本題很容易想到分離變量的方法把參數分離出來，然后對分離出來的函數g（x）=+1求導，研究其單調性、極值.此時遇到了“當x=1時，函數g（x）值沒有意義”這一問題，很多考生陷入困境.如果考前對優秀學生講洛必達法則的應用，再通過強化訓練就能掌握解決此類難題的這一有效方法.

2.（2010海南寧夏理21）設函數f（x）=ex-1-x-ax2

（1）若a=0，求f（x）的單調區間；

（2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析：（1）略；

（2）當x≥0時，f（x）≥0，即ex-1-x≥ax2.

①當x=0時，a∈R；②當x>0時，ex-1-x≥ax2？圳a≤.

記g（x）=，x∈（0，+∞），則g′（x）=.

記h（x）=（x-2）ex+x+2，x∈（0，+∞），則h′（x）=（x-1）ex+1，當x∈（0，+∞）時，h″（x）=xex>0，所以h′（x）=（x-1）ex+1在x∈（0，+∞）時單調遞增，且h′（x）>h′（0）=0，所以h（x）=（x-2）ex+x+2在x∈（0，+∞）時單調遞增，且h（x）>h（0）=0，因此當x∈（0，+∞）時，

g′（x）=>0，從而g（x）=在x∈（0，+∞）時單調遞增.由洛必達法則有：

g（x）====，即當x→0時，g（x）→，所以當x∈（0，+∞）時，g（x）>，因此a≤.

綜上所述，當x≥0且f（x）≥0時，a的取值范圍是a≤.

洛必達法則是數學分析中的一個重要的求不定式極限的方法.在分離參數之后，洛必達法則就能幫助我們解決“”型的高考壓軸題，分離參數是廣大學生容易想到而且易于操作的一個方法，只要掌握了洛必達法則，就能突破瓶頸順利地解決這類求參數的取值范圍的問題.

通過以上例題對洛必達法則的應用對比，我們可以感受到高等數學對初等數學的指導作用，感受到高等數學的優越性，從而激發學生學習的興趣和動力.隨著新課標的推進，高觀點下的高考命題頗受命題者的青睞，這似乎也是新課標命題的一種趨勢和方向.因此，加強對高等數學在中學數學中應用的研究就顯得很重要也很必要.

參考文獻：

[1]王海光.巧用洛必達法則解高考題[J].中學生數學，2017（1）：47-48.

[2]唐偉.洛必達法則巧解高考數學壓軸題：函數與導數中的參數問題求解[J].西藏教育，2014（7）.

作者簡介：郝清鵬，男，1975年6月生，湖北十堰人，中學高級教師。2010年被評為湖北省優秀數學教師。長期從事高中數學教學研究工作。

？誗編輯 郭小琴