導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題

摘 要：高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)接軌，以高等數(shù)學(xué)為背景的命題形式成為熱點(diǎn).許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點(diǎn)考查題型.其中涉及一些高中沒有教授過的重要的數(shù)學(xué)定理，洛必達(dá)法則就是運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決高考題的很好體現(xiàn).用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)解決高考試題并將這種方法應(yīng)用于其他試題，從中可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解題的優(yōu)越性.

關(guān)鍵詞：洛必達(dá)法則；導(dǎo)數(shù)；參數(shù)取值范圍

高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)接軌，以高等數(shù)學(xué)為背景的命題形式成為熱點(diǎn).許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點(diǎn)考查題型.這類題目容易讓考生想到用分離參數(shù)的方法，一部分題用這種方法很湊效，另一部分題在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決.利用分離參數(shù)的方法不能解決這類問題的原因是出現(xiàn)了“”型的式子，而這就是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就是洛必達(dá)法則.利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再用洛必達(dá)法則就能順利解決上面提出的“”型的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題.本文首先給出洛必達(dá)法則，然后用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)解決高考試題并將這種方法應(yīng)用于其他試題，從中可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解題的優(yōu)越性.

洛必達(dá)法則：設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）滿足：

（1）f（x）=g（x）=0；

（2）在U0（a）內(nèi)，f ′（x）和g′（x）都存在，且g′（x）≠0；

（3）=A（A可為實(shí)數(shù)，也可以是±∞）.則==A.

1.（2011海南寧夏理21）已知函數(shù)f（x）=+，曲線y=

f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）求a，b的值；

（2）如果當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f（x）>+，求k的取值范圍.

解析：（1）略解，易知a=1，b=1；

（2）當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，由f（x）>+，易得k<+1-=+1.

記g（x）=+1，則g′（x）==（lnx+），

記h（x）=lnx+，則h′（x）=+=>0，從而h（x）=lnx+在x∈（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增，且h（1）=0，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）<0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）>0；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，

g′（x）<0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）>0，所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有：

g（x）=（+1）=1+=1+=0，

即當(dāng)x→1時(shí)，g（x）→0所以當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，g（x）>0.

因?yàn)閗

綜上所述，當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f（x）>+成立，求k的取值范圍是（-∞，0].

通過例題1的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足：①可以分離變量；②用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端函數(shù)的單調(diào)性；③出現(xiàn)“”型的式子.洛必達(dá)法則是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要的求不定式極限的方法.在分離參數(shù)之后，洛必達(dá)法則就能幫助我們解決“”型的高考?jí)狠S題.

本題很容易想到分離變量的方法把參數(shù)分離出來，然后對(duì)分離出來的函數(shù)g（x）=+1求導(dǎo)，研究其單調(diào)性、極值.此時(shí)遇到了“當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）值沒有意義”這一問題，很多考生陷入困境.如果考前對(duì)優(yōu)秀學(xué)生講洛必達(dá)法則的應(yīng)用，再通過強(qiáng)化訓(xùn)練就能掌握解決此類難題的這一有效方法.

2.（2010海南寧夏理21）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析：（1）略；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，即ex-1-x≥ax2.

①當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；②當(dāng)x>0時(shí)，ex-1-x≥ax2？圳a≤.

記g（x）=，x∈（0，+∞），則g′（x）=.

記h（x）=（x-2）ex+x+2，x∈（0，+∞），則h′（x）=（x-1）ex+1，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h″（x）=xex>0，所以h′（x）=（x-1）ex+1在x∈（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增，且h′（x）>h′（0）=0，所以h（x）=（x-2）ex+x+2在x∈（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增，且h（x）>h（0）=0，因此當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，

g′（x）=>0，從而g（x）=在x∈（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有：

g（x）====，即當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）>，因此a≤.

綜上所述，當(dāng)x≥0且f（x）≥0時(shí)，a的取值范圍是a≤.

洛必達(dá)法則是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要的求不定式極限的方法.在分離參數(shù)之后，洛必達(dá)法則就能幫助我們解決“”型的高考?jí)狠S題，分離參數(shù)是廣大學(xué)生容易想到而且易于操作的一個(gè)方法，只要掌握了洛必達(dá)法則，就能突破瓶頸順利地解決這類求參數(shù)的取值范圍的問題.

通過以上例題對(duì)洛必達(dá)法則的應(yīng)用對(duì)比，我們可以感受到高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，感受到高等數(shù)學(xué)的優(yōu)越性，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力.隨著新課標(biāo)的推進(jìn)，高觀點(diǎn)下的高考命題頗受命題者的青睞，這似乎也是新課標(biāo)命題的一種趨勢(shì)和方向.因此，加強(qiáng)對(duì)高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的研究就顯得很重要也很必要.

參考文獻(xiàn)：

[1]王海光.巧用洛必達(dá)法則解高考題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2017（1）：47-48.

[2]唐偉.洛必達(dá)法則巧解高考數(shù)學(xué)壓軸題：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問題求解[J].西藏教育，2014（7）.

作者簡(jiǎn)介：郝清鵬，男，1975年6月生，湖北十堰人，中學(xué)高級(jí)教師。2010年被評(píng)為湖北省優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師。長(zhǎng)期從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作。

？誗編輯 郭小琴