基于PSO算法的拋物線形渠道斷面優化

弋昭媛

(新疆額爾齊斯河流域建設開發管理局，新疆 烏魯木齊 830000)

我國是農業灌溉大國，農業用水總量占總用水量的2/3，其中灌溉用水量高達農業用水的90%以上，缺水問題已經成為我國面臨的突出問題[1]。據統計，我國灌溉水利用率遠遠落后于發達國家，水利用系數僅為0.502。渠道作為目前我國灌區的主要輸水設施，其輸水效率成為影響灌區生產效益的直接因素。渠道滲漏不僅導致水資源的浪費，并且造成土壤的鹽堿化[2]。因此，建立科學合理的防滲與渠道襯砌體系對于緩解我國水資源供需矛盾和提高農業灌溉用水利用率具有十分重要的意義。拋物線形混凝土渠道由于具有模具制作容易，控制、抗凍脹效果優良和斷面連續性好等優點，被廣泛應用于防滲工程與渠道襯砌。有關學者對于拋物線形混凝土渠道的水力斷面、參數進行了一定的研究。魏文禮[3]等根據新型立方拋物線形渠道，計算得到其斷面渠道較優的水力輸水性能。文輝[4]等根據水力學公式的優化擬合推算出半立方拋物線形渠道的相似公式。張麗偉[5]根據定積分推算出三次拋物線形渠道的水深與濕周的計算公式并通過實例加以分析。本文首先介紹PSO算法的相關理論知識，然后以設計流量與計算流量之差最小為目標函數，以渠道寬深比和不沖不淤流速為約束條件，對二次拋物線形渠道斷面優化的數學模型進行研究，對比分析了北屯灌區三干渠傳統優化方法與PSO算法的求解結果，為拋物線形渠道混凝土襯砌斷面的設計提供了參考依據。

1 PSO算法

1.1 基本原理

PSO算法又稱粒子群優化算法，是一種通過迭代方式尋找最優解的優化算法，該算法由Knnedy和Eberhart于1995年提出的一種新的全局優化演化算法[6- 7]。該算法通過搜索需要優化問題的可能粒子，每個粒子由優化問題中目標函數的某一適應值決定，而粒子的飛行軌跡則取決于某一個速度，然后搜索空間中的粒子按照此速度隨著其中的最優粒子進行搜索。將此算法應用于數學模型中，根據特定的迭代形式就可以求得目標函數的最優解[8]。

假設種群規模為d，則區域內第i個粒子的速率可以表示為Vi=(vi，1vi，2vi，d)，位置為Xi=(xi，1xi，2xi，d)，循環迭代過程中，粒子通過2個最優解實現自身的更新，這兩個最優解為全局最優解(gBest，Pg)和個體極值(pBesti)，粒子追蹤最優解過程中更新依據為：

νi，j(t+1)=ωνi，j(t)+c1r1[pi，j-xi，j(t)]+c2r2[pg，j-xi，j(t)]

(1)

式中，r1和r2—[0,1]內均勻隨機數，c1和c2—學習因子，ω—慣性權重。

1.2 參數設置

PSO算法無需設置過多的參數，必要的參數需要被設置來確保算法的收斂性，其中包括慣性權重ω、種群規模d、最大速率vmax和學習因子c1和c2[9- 10]。慣性權重ω可以影響粒子的搜索能力，合適的ω值有利于實現以較少的迭代次數來得到最優解的能力，通常取值范圍在[0.9，1.2]之間。種群規模d一般選擇30個微粒，就可以得到較好的結果，多目標優化時需要適宜地增加微粒個數來得到最優解。最大速率vmax表示在飛翔過程中粒子飛行的最大距離，一般情況下小于搜索空間的寬度。學習因子c1、c2表示粒子飛向全局最優解和個體極值的加速權重，為了防止局部極小，提高算法的速度，應該選擇正確的學習因子，通常c1和c2取值相同并介于[0，4]之間。

1.3 尋優過程

在拋物線形渠道斷面的優化設計中應用PSO算法，需要確定待優化的目標函數、設定設計變量和初始化參數，運用PSO算法對目標函數和設計變量做到尋優搜索，具體過程為[11]：

(1)初始化粒子群中粒子的速率和位置；

(2)研究所有粒子的適應度值，在各粒子的個體極值中保存其位置和適應值，在全局最優解中保存其中所尋找粒子的最優值的位置和適應值；

(3)參考式(1)對粒子的位移和速率進行更新；

(4)對比分析每一個粒子的適應值與其飛行過的最好位置，假設其適應值較優，則認為它為最佳位置。

(5)對比剖析當前所有的全局最優解和個體極值，進一步更新gbest。

(6)獲取符合運算精度條件與預設的迭代次數的搜索結果，否則返回繼續搜索。

2 拋物線形渠道斷面優化方法研究

2.1 拋物線形渠道斷面優化數學模型

為了方便施工過程中計算、控制與渠道設計，渠道斷面選擇二次拋物線形，見圖1。

圖1 渠道斷面示意圖

假設圖1渠道斷面二次拋物線方程為：

y=ax2，則二次拋物線形渠道過水斷面濕周與過水斷面面積分別為：

(2)

(3)

式中，a—方程形狀參數；h—渠道正常水深,m；b—水面寬度,m；χ—渠道過水斷面濕周；A—渠道過水斷面面積,m2。

通過明渠均勻流流量公式和二次拋物線求導方程相結合，進一步得到二次拋物線形渠道流量Q與a、h之間的關系：

(4)

渠道斷面的設計優化指在渠道底坡和糙率已知的情況下，并且滿足一定的約束條件，使得渠道過水斷面的面積達到最小，設計流量與計算流量之差最小，根據約束條件計算渠道水深與方程形狀參數的最優解，則二次拋物線形渠道斷面優化模型為：

(5)

式中，i—渠道底坡；n—糙率系數；Qd—設計流量,m3/s。

考慮到渠道穩定性與工程設計要求，目標函數設計流量Qd與計算流量Q還應該滿足以下約束條件：

(1)渠道寬深比應滿足：3.5>b/h>0.8。

(2)渠道流速應滿足不淤、不沖的要求，vcs表示不沖流速，vcd表示不淤流速，則平均流速應該介于兩者之間，即vcd0。

2.2 實例分析

以北屯灌區三干渠為例進行分析，該渠段原設計形狀為U型，水深設計40cm，渠深50cm，口寬56cm，混凝土襯砌厚度5cm，設計流量0.33m3/s，渠道底坡0.0125，將其改造為二次拋物線形混凝土渠道，糙率系數為0.014，渠道底坡i為0.0125，渠道不淤流速為0.23m/s，不沖流速為5.0m/s。首先根據傳統計算法，設計水深仍然選取40cm，試算得到符合要求的計算流量和二次拋物線形方程形狀參數，結果見表1。

表1 流量與形狀參數的試算結果

由表1可知，當設計流量為0.33m3/s時，二次拋物線方程系數a為5.12，故二次拋物線方程為y=5.12x2。通過PSO算法進行優化求解，目標函數設定為設計流量與計算流量之差最小，以渠道寬深比和不沖不淤流速為約束條件，通過軟件MATLAB進行全局搜索，得到滿足二次拋物線形渠道設計要求的最優水深h與形狀參數a。

PSO算法優化求解過程中，采用罰函數形式處理約束條件，設置參數為：種群規模200，進化次數500，水深h變化區間為[0，1.0]，形狀參數a在變化區間[5.00，5.20]中取離散值，學習因子c1和c2均取1.49445，則PSO搜索結果與試算法結果見表2。

由表2可知，通過PSO算法不低于20次全局搜索可以得到六組方案，均能夠滿足約束條件，計算流量Q精確到10-9m3/s，在某種程度上解決了傳統優化方法中存在的問題。由表2還知，二次拋物線方程形狀參數a能夠對渠道斷面優化產生一定的影響，PSO算法中水斷面面積在a取5.06時達到最優，與試算法a取5.12相比，減少了0.1087%，在設計流量與計算流量接近的前提下，能夠有效地減少渠道的開挖量。對比最優化方案與試算法所得二次拋物線形渠道土方量可知，二次拋物線形渠道混凝土襯砌量減少4.7593m3，土方量減少6.2192m3。

3 結論

采用PSO算法對二次拋物線形渠道斷面優化的數學模型進行了研究，并以北屯灌區三干渠為例，對比分析了傳統優化方法與PSO算法的求解結果，得到以下主要結論。

(1)通過建立以二次拋物線形為渠道斷面，以設計流量與計算流量之差最小為目標函數的渠道斷面優化數學模型，根據PSO算法進行優化計算，以渠道寬深比和不沖不淤流速為約束條件，能夠得到滿足二次拋物線形渠道設計要求的最佳優化方案。

(2)根據傳統計算法得到二次拋物線方程為y=5.12x2，方程系數a為5.12，設計流量為0.33m3/s。通過PSO算法進行全局搜索得到六組方案，均能夠滿足約束條件，并且計算流量Q精確到10-9m3/s，在某種程度上能夠解決傳統優化方法中存在的問題。

(3)通過優化斷面與PSO算法相結合的方法可以達到拋物線形渠道工程優化的要求，為拋物線形渠道混凝土襯砌斷面的設計提供了參考依據。

表2 PSO搜索結果與試算法結果比較表