高考全國卷《三角函數與解三角形》命題規律分析與展望

陜西

韓紅軍

(作者單位：陜西省寶雞市麟游縣中學)

高考全國卷《三角函數與解三角形》命題規律分析與展望

陜西

韓紅軍

一、新課標近三年《三角函數與解三角形》高考試題考點統計

1．新課標近三年《三角函數與解三角形》高考理科試題考點統計

年份卷型題型題號分值知識點2015Ⅰ卷選擇25三角函數的誘導公式、和(差)角公式選擇85余弦函數的圖象與性質填空165正弦定理、余弦定理的應用Ⅱ卷解答1712正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式2016Ⅰ卷選擇125三角函數的性質解答1712正弦定理、余弦定理、兩角和的正弦公式Ⅱ卷選擇75正弦函數的圖象變換、圖象對稱軸的求法選擇95三角函數的誘導公式及二倍角公式填空135兩角和的正弦公式、正弦定理等Ⅲ卷選擇55倍角公式選擇85正弦定理、余弦定理、三角恒等變換、解三角形填空145三角恒等變換、三角函數圖象的平移2017Ⅰ卷選擇95三角函數圖象的變換解答1712正弦定理、余弦定理、和角公式等Ⅱ卷填空145同角三角函數的基本關系式、余弦函數的性質等解答1712三角恒等變換、余弦定理等Ⅲ卷選擇65余弦函數的圖象與性質解答1712余弦定理、解三角形

2．新課標近三年《三角函數與解三角形》高考文科試題考點統計

年份卷型題型題號分值知識點2015Ⅰ卷選擇85余弦函數的圖象與性質解答1712正弦定理、余弦定理、解三角形、勾股定理Ⅱ卷解答1712解三角形、正弦定理2016Ⅰ卷選擇45余弦定理選擇65三角函數的周期和函數圖象的平移變換填空145同角三角函數的基本關系式、誘導公式Ⅱ卷選擇35函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質選擇115三角函數中的誘導公式、二倍角公式填空155同角三角函數的基本關系式、兩角和的正弦公式等Ⅲ卷選擇65同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換選擇95解三角形填空145三角恒等變換、三角函數的圖象變換

續表

二、全國高考《三角函數與解三角形》試題分布特點與命題規律分析

考點分類201520162017Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷合計三角恒等變換與求值第2題第9題第5題第17題3年4考三角函數的圖象與性質第8題第12題第7題第14題第9題第14題第6題3年7考解三角形第16題第17題第17題第13題第8題第17題第17題第17題3年8考

從近三年的高考三角試題分布特點與命題規律可以看出，三角試題每年都考，而且文理有別，或“一大一小”，或“三小”，或“二小”(“小”指選擇題或填空題，“大”指解答題)，解答題以簡單題或中檔題為主，選擇題或填空題比較靈活，有簡單題，有中檔題，也有對學生能力和素養要求較高的題.

三角函數的圖象與性質是高考考查的重點及熱點內容，主要從以下兩個方面進行考查：(1)三角函數的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定函數解析式問題，主要以選擇、填空題形式考查，有時也會出大題；(2)三角函數的性質，通常是給出函數解析式，先進行三角變換，將其轉化為y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性質(如求ω和φ、單調性、值域、周期性、對稱性等)，或知道某三角函數的圖象或性質求其解析式，再研究其他性質，既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題.

三角恒等變換主要體現在公式的變形上，包括三角函數的性質，尤其在解答題中更為明顯.

解三角形問題是高考的必考內容，主要考查：(1)邊和角的計算；(2)三角形形狀的判斷；(3)面積的計算；(4)有關的范圍問題.由于此內容知識交匯性和應用性較強，與其他知識綜合、與實際問題結合起來進行命題將是今后高考的關注點.

三、全國高考《三角函數與解三角形》試題命題方向展望

1.三角函數的定義與基本概念

(2)已知角α終邊上一點P的坐標是(2sin2,-2cos2)，則sinα=

( )

A．sin2 B．-sin2 C．cos2 D．-cos2

【評注】已知角α的某三角函數值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數值，可根據定義中的兩個量列方程求參數值；已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標.

2.三角函數式的化簡與求值

(1)求cos(α-β)的值；(2)求α+β大小．

【評注】三角恒等變換“四大策略”：(1)常值代換：特別是“1”的代換，1=sin2θ+cos2θ=tan45°等；(2)項的拆分與角的配湊：如α=(α-β)+β=(α+β)-β等；(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．

3.三角函數的圖象與性質

( )

( )

A.9 B.8

C.7 D.6

( )

【評注】函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B的確定方法：

字母確定途徑具體方法A由最值確定A=最大值-最小值2B由最值確定B=最大值+最小值2ω由函數的最小正周期確定相鄰的最高點與最低點的橫坐標之差的絕對值為半個最小正周期,最高點(或最低點)的橫坐標與相鄰零點差的絕對值為14個最小正周期φ由圖象上的特殊點確定 一般把第一個零點作為突破口,可以從圖象的升降找準第一個零點的位置,利用待定系數法并結合圖象列方程或方程組求解

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的單調遞增區間；

【評注】解決三角函數圖象與性質綜合問題的方法：先將y=f(x)化為y=asinwx+bcoswx+B的形式，然后用輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式，再借助y=Asin(ωx+φ)的性質(如周期性、對稱性、單調性及最值等)解決相關問題，因此，要熟悉y=sinx或y=cosx的各種性質.

4.正、余弦定理及其應用

【例5】在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且2bcosC=2a-c．

(1)求角B；

(2)求sinAsinC的取值范圍．

5.解三角形的實際應用問題

(2)海中有一處景點P(設點P在xOy平面內，PQ⊥OM，且PQ=6 km)，游輪無法靠近．求游輪在水上旅游線AB航行時離景點P最近的點C的坐標．

(2)解法一：由題知PC⊥AB時，游輪離P點最近.由(1)知直線AB的方程為x+y-6=0，因為P(4,8)，則直線PC的方程為x-y+4=0，所以解聯立直線AB和直線PC得到的方程組，得點C的坐標為(1,5)．

【評注】求解解三角形的實際應用問題時，先要分析題意，分清已知與所求，再根據題意正確畫出示意圖，這是最關鍵、最重要的一步．將實際問題轉化為可用數學方法解決的問題后，選定或確定要創建的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．注意正、余弦定理的“聯袂”使用，確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.一般分為三種題型：(1)求距離；(2)測高度；(3)測角度.

6.三角函數與其他知識交匯

(1)求A-B的值；

【例8】(2016·黑龍江省牡丹江市)已知f(x)=ax+sinx(a∈R).

x00,2π3()2π32π3,π()πf′(x)+0—f(x)0增π3+32減π2

(作者單位：陜西省寶雞市麟游縣中學)