全國高考卷提分策略
——坐標系與參數方程難點探析

廣東

林紹鎵

(作者單位：廣東省肇慶市百花中學)

全國高考卷提分策略
——坐標系與參數方程難點探析

廣東

林紹鎵

一、問題提出

從高考做題分布看，有50%以上的人選擇做“坐標系與參數方程”，足見考生對此題的青睞.但從得分上看，超過50%的考生不足5分，70%的考生不足7分，滿分率不足7.5%，甚至超過15%的考生不得分.平時教學中教師過分強調用傳統方法解決此類型問題，忽視極坐標與參數方程的功能作用，復習中教師多讓學生轉化為普通坐標系下解決問題，教師教得輕松，學生易理解.但是，近幾年來，高考對于“極坐標與參數方程”的要求越來越高，它不再是一道“最簡單”的解答題，學生不再觸手可得，如今出題者往往對于知識的深刻理解、方法的熟練掌握、題類的辨識鑒別上均有較高的考查要求，常表現為靈活、考能力、重基礎、講方法.故此，一味地強調在普通坐標系下解決問題，想拿到分還是有一定難度的.

二、科學備考策略

科學的備考需要備考者弄清本章節考查的核心問題和核心知識的思想方法，才能達到預期的效果.我們要弄清楚考查問題的本質，明晰命題思路，設計出適合坐標系與參數方程的備考策略.

1.明確全國卷考綱要求與試題布局

(1)極坐標中要求理解極坐標的產生背景、表示原理以及點的表示法，能進行極坐標與直角坐標的互化，會表示、能識別一些簡單圖形如直線、過極點或圓心在極坐標系下圓的方程，能進行簡單的極坐標與直角坐標的互化，能選擇恰當的坐標系表示曲線方程，并應用于解題.

(2)參數方程要求了解參數方程、參數的意義，能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程，掌握直線的參數方程及參數的幾何意義，能用直線的參數方程解決簡單的相關問題.

從全國卷的考綱看，分析近幾年的試題特點，考題分為兩個層面，第一類屬于基礎題，參數方程、極坐標方程、普通方程與直角坐標方程之間的互化，為大眾所接受的題目，第二類是極坐標與參數方程的綜合問題.

2.深挖命題思路，提高解題意識

(1)以考查不同形式的方程互化為基礎

對于坐標系與參數方程，近三年都考查了不同形式的方程之間的互化，2016年新課標全國卷Ⅰ第23題第(1)小題是把參數方程轉化為極坐標方程，卷Ⅱ由普通方程轉化為極坐標方程，卷Ⅲ是由參數方程和極坐標方程轉化為普通方程，以2016年全國卷Ⅰ第23題第(1)小題為例：

此題從考綱看，幾乎每年的高考都會選擇在不同坐標系或不同方程之間做轉化，是本章節重點考查內容，貼合全國卷考綱；從知識掌握來看，互化是研究坐標系與參數方程的基礎，是靈活選擇坐標系的必備條件,還是為第(2)小題的應用準備的.故此，在教學中，教師應針對不同坐標系下的方程互化，進行針對性訓練，要求學生熟練掌握，確保萬無一失.只有學生學會靈活轉化不同坐標系下的方程，才能游刃有余地處理這類問題.

(2)數形結合思想是能力提升的橋梁

解析幾何是用代數方法研究幾何問題的一門學科，所以數與形緊密相連，新課標注重考查學生的能力和思維，例如，2016年全國卷Ⅰ第23題第(2)小題中求參數a的值，若正確掌握直線與圓的位置關系，學會在坐標系下觀察問題，無論用直角坐標系還是極坐標系，都可靈活得出答案.2016年新課標全國卷Ⅱ第23題的第(2)小題，如果借助圖形，則很容易求出直線的斜率，若用單純的代數方法，則需要設直線方程，代入圓的方程進行運算，比較麻煩，其他年份的題目也體現了數形結合的思想方法.以2016年全國卷Ⅰ第23題第(2)小題為例：

【例2】直線C3的極坐標方程為θ=a0,其中tana0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.

評析：理解θ=a0及tana0=2,易有C3:y=2x，條件是曲線C1與C2的公共點都在C3上,即是C2與C3的公共點都在C1上，利用數形結合，顯然C1與C2的公共點所在的直線就是直線C3:y=2x.

(3)凸顯幾何圖形性質，著重考查坐標系與方程的思想

近幾年高考中，大部分試題考查直線與圓的位置關系，交點與弦長等幾何量，在不同的坐標系下，解題思路與過程都存在著區別，大多數同學習慣先將其轉化成直角坐標方程，研究其位置關系與幾何量后，再返回到極坐標系中，這樣做費時費力，且有時會帶來煩瑣的計算，如2016年全國卷Ⅱ第23題第(2)小題，將直線l轉化為極坐標系方程，很容易得出答案.若用普通方程求解，則需要花費大量精力計算.所以我們在教學中應該在不同的坐標系下，凸顯幾何圖形性質，針對性解決同類型的問題，讓學生自己體會選擇坐標系的重要性，進而引導他們合理選擇坐標系，應用相關知識直接解決問題.

(4)體現參數的化繁就簡優點，解決最值問題更便捷

近幾年的全國卷都是利用橢圓的參數方程求最值的問題，屬于基本題型，如曲線上的點到直線上的最值問題.繼而轉化到求坐標等問題，看上去題目復雜，但只要抓住本質，大膽嘗試，其實是可以完成的，這個類型的特點是通過橢圓的參數方程，把問題轉化為三角函數的最值進而處理.需和學生講明白參數是輔助參數，它是主要變數關系的紐帶.視“參數”為變數，就處于相對運動狀態，轉化為“范圍” “軌跡”，更方便解決問題.

三、備考建議

圍繞以上命題思路的分析，我們可明晰以下解題思想

1.掌握坐標間的互化型問題.互化型是指曲線的參數方程與普通方程的互化和直角坐標與極坐標的互化這兩類，其解法要重視互化的前提條件，特別是極坐標和直角坐標互化僅適用于三同前提，一是極點與直角坐標系原點重合，二是極軸與直角坐標系正半軸重合，三是坐標系中的長度單位必須相同，這是教學中教師應著重強調的.

2.練習中注重多種方法解決，此處針對本題第(2)小題的設置.我們可以先嘗試轉化為普通方程，通過數形結合來解決.若遇到計算麻煩，譬如最值、直線與圓錐曲線的弦長問題，往往運用極坐標和參數方程來解決會更簡潔.

(作者單位：廣東省肇慶市百花中學)