對一道“不等式選講”試題的多角度研究

廣東

鄭榮坤

(作者單位：廣東省揭陽市惠來縣第一中學)

[編者按]變式教學、變式思想是數學教學及學習過程中比較重要的一種途徑和方法.本文從試題解法研究到變式研究，解法與變式相呼應，整體邏輯完整，變式角度清晰，以期為讀者變式方面的探索及進一步研究有所啟發.若您希望與更多老師一起探討研究，歡迎加入數學變式研發興趣QQ群：745207957.

對一道“不等式選講”試題的多角度研究

廣東

鄭榮坤

選考題分值為10分，是學生必爭的高分值考題.之前學生還可以從“幾何證明選講”、“坐標系與參數方程”和“不等式選講”中任選一題作答，但是從2017年開始就刪除了“幾何證明選講”，現在“坐標系與參數方程”與“不等式選講”就更為重要了.由于大多數學生的解析幾何基礎比較薄弱，所以會選做“不等式選講”，可是許多學生不能得滿分.擺在高三數學教師面前的這個難題，要怎么突破呢？筆者通過對一道“不等式選講”試題的多角度研究，幫助高三師生梳理“不等式選講”的常見考題及其解題方法，與高三數學教師共同探求解決上述難題的突破口.

一、呈現試題

試題：已知函數f(x)=|x-a|.

(1)若a=1，解不等式f(x)≥4-|x-1|；

【評注】上述試題是2017年安徽省馬鞍山市第一次模擬考卷第23題，試題的第一小問主要考查絕對值不等式的解法，第二小問考查條件最值.

二、對試題解法的研究

1.研究試題第一小問的解題方法

試題第一小問考查學生對絕對值不等式解法的掌握情況.因為若a=1，f(x)=|x-1|，所以不等式f(x)≥4-|x-1|可化為|x-1|≥2，求解此類絕對值不等式，一般有下列四種方法.

方法1(分類討論去絕對值)：

①當x≥1時,x-1≥2，解得x≥3；

②當x<1時，1-x≥2，解得x≤-1.

綜上所述，不等式的解集為{x|x≥3或x≤-1}.

方法2(圖象法)：設g(x)=|x-1|，則y=g(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，不等式的解集為{x|x≥3或x≤-1}.

方法3(平方法)：兩邊平方得，(x-1)2≥4，整理得x2-2x-3≥0，解得x≥3或x≤-1.因此，不等式的解集為{x|x≥3或x≤-1}.

方法4(絕對值幾何意義)：由于|x-1|≥2，則x-1≥2或x-1≤-2，解得x≥3或x≤-1.因此，不等式的解集為{x|x≥3或x≤-1}.

【評注】求解絕對值不等式除了分類討論去絕對值法、絕對值幾何意義法、圖象法外，有時也可以用平方法，但平方法要注意不等式兩邊式子的符號，例如|x-1|≥-2，不等式左邊大于或等于零，右邊小于零，不能直接平方求解.上述四種方法中分類討論去絕對值法、絕對值幾何意義法最具有普遍性，而絕對值幾何意義法求解過程最簡潔.

2.研究試題第二小問的解題方法

【評注】求解“條件最值”可以活用約束條件中的“1”，也可以利用基本不等式或柯西不等式變形目標函數后分離變量，如果從幾何和三角視角去看“條件最值”，那么也可以采用構造函數法、三角換元法.

三、對試題變式的研究

1.從解不等式的角度進行試題變式

變式1：已知函數f(x)=|x-a|，若a=1，解不等式f(x)≥4|x+1|-|x-1|.

解：若a=1，f(x)=|x-a|=|x-1|，不等式f(x)≥4|x+1|-|x-1|可化為|x-1|≥2|x+1|.

進行分類討論，

①當x≥1時,x-1≥2x+2，解得x∈?；

③當x≤-1時，1-x≥-2x-2，解得-3≤x≤-1.

本題也可用平方法或圖象法求解.

變式2：已知函數f(x)=|x-a|，若a=1，g(x)=f(x-2)-f(x+2)，求不等式|g(x)|≤2的解集.

解：若a=1，f(x)=|x-1|，則g(x)=|x-3|-|x+1|.

①當x≥3時,|x-3|-|x+1|=x-3-x-1=-4，不滿足題意，舍去；

②當-1

解得0≤x≤2；

③當x≤-1時，|x-3|-|x+1|=3-x+x+1=4，不滿足題意，舍去.

綜上所述，不等式的解集為[0,2].

本題還可用圖象法求解.

【評注】“絕對值不等式的解法”是近幾年來高考的熱門考點，常作為“不等式選講”第一小問，它是很多學生的主要得分點，最常見的解法有圖象法、分類討論法，當然，也可以根據題目的特點挖掘其他解法，例如變式1還可以轉化為|x-1|≥2|x+1|后，兩邊平方去求解.

2.從最值的角度進行試題變式

變式3：已知函數f(x)=|x-a|，若a=1，關于實數x的不等式f(x)

解：若a=1，關于實數x的不等式f(x)

設g(x)=|x-1|+|x+2|,

①當x≥1時,g(x)=|x-1|+|x+2|=x-1+x+2=2x+1；

②當-2

③當x≤-2時，g(x)=|x-1|+|x+2|=1-x-x-2=-2x-1.

因此，實數m的取值范圍為(-∞,3].

本題還可用絕對值三角不等式法和絕對值幾何意義法，|x-1|+|x+2|的幾何意義為實數x到實數1與到-2的距離之和.

【評注】“求絕對值函數的最值”是近幾年來高考的高頻考點，常出現在第二小題，常見的解法有:零點分段法、絕對值幾何意義法、絕對值三角不等式法，而比較上述的三種解題方法，常常會發現絕對值三角不等式法的解答過程較為簡潔.

3.從含參數的角度進行試題變式

變式4：已知函數f(x)=|x-a|，g(x)=log2[f(x)+|x+3|]，若g(x)的值域為[1,+∞)，求實數a的值.

解：由于函數f(x)=|x-a|，則g(x)=log2(|x-a|+|x+3|),若g(x)的值域為[1,+∞)，則log2(|x-a|+|x+3|)≥1，即|x-a|+|x+3|≥2.

由于|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|，則|a+3|=2，解得a=-1或a=-5，因此，實數a的值為-1或-5.

本題使用的方法為絕對值三角不等式法，還可用零點分段法求解.

變式5：已知函數f(x)=|x-a|，g(x)=f(2x)+|x+3|，若g(x)的最小值為4，求實數a的值.

解:由于函數f(x)=|x-a|，則g(x)=|2x-a|+|x+3|.題目變為若|2x-a|+|x+3|≥4,求實數a的值.

③當x≤-3時，g(x)=|2x-a|+|x+3|=a-2x-x-3=-3x+a-3.

畫出函數圖象可知，函數g(x)的最小值為

①當x≥-3時，g(x)=|2x-a|+|x+3|=2x-a+x+3=3x-a+3；

本題使用方法為零點分段法，還可用絕對值三角不等式法.

變式6：已知函數f(x)=|x-a|，g(x)=f(x)+|x+3|，h(x)=f(x+a-5)+2，若?x1∈R,?x2∈R使得g(x1)=h(x2)，求實數a的取值范圍.

解：由于h(x)=f(x+a-5)+2=|x-5|+2≥2，則函數h(x)的值域為[2,+∞)，由于g(x)=f(x)+|x+3|=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|，則函數g(x)的值域為[|a+3|,+∞)，由于?x1∈R,?x2∈R使得g(x1)=h(x2)，則[|a+3|,+∞)?[2,+∞)，則|a+3|≥2，解得a≥-1或a≤-5.因此，實數a的取值范圍為(-∞,-5]∪[-1,+∞).

變式7：已知函數f(x)=|x-a|，g(x)=2f(x)-|x+3|，當a>-3時，若函數f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積不超過54，求實數a的取值范圍.

解：由于函數f(x)=|x-a|，則g(x)=2f(x)-|x+3|=2|x-a|-|x+3|，a>-3.

①當x≥a時,g(x)=2|x-a|-|x+3|=2x-2a-x-3=x-2a-3；

②當-3

③當x≤-3時，g(x)=2|x-a|-|x+3|=2a-2x+x+3=-x+2a+3.

函數y=g(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，函數f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為

【評注】上述變式是筆者根據高考真題、各地模擬卷考題改編而成，都是“不等式選講”的常考試題.而含參數的絕對值函數求最值，既可以采用零點分段法，也可以采用絕對值三角不等式法.對于求解“任意性與存在性”函數最值，實際上就是確定值域與值域之間的關系，如果將上述變式6中的條件“?x1∈R,?x2∈R使得g(x1)=h(x2)”改為“?x1∈R,?x2∈R使得g(x1)≥f(x2)”，則為gmin(x)≥fmin(x).

(作者單位：廣東省揭陽市惠來縣第一中學)