含參導數綜合題分類討論的標準探究

陜西

劉再平

(作者單位：陜西省漢中市鎮巴中學)

含參導數綜合題分類討論的標準探究

陜西

劉再平

查閱近十年的全國卷高考數學壓軸題，不難發現34道題中有32道都是函數與導數綜合題，函數與導數綜合問題是高考壓軸題的主角，也是高三數學復習備考教學的重中之重，更是高三學子想在高考中獲得優異成績必須逾越的一座大山. 然而，函數與導數問題常與參數融合在一起命制，不僅考查學生對函數知識的掌握程度，而且還對分類討論思想有很高的要求，學生很難做到分類不重不漏，并且恰到好處，究其原因是學生不理解分類討論的標準.鑒于此，下文將結合實例談談函數與導數含參綜合題的分類討論標準與方法.

一、以參數的正負性為標準分類

【例1】(2017·全國卷Ⅰ文·21節選)已知函數f(x)=ex(ex-a)-a2x.討論f(x)的單調性．

【分類思路】對函數f(x)求導分解因式后f′(x)=(2ex+a)(ex-a)，很顯然導數的兩個因式正負性不確定，由于ex>0恒成立，所以a的正負性決定了導數的兩個因式的正負性，從而直接影響著導數的正負性，所以分類討論的標準比較清楚：①a>0,②a=0,③a<0.

二、以根的大小比較為標準分類討論

對函數求導后解導數等于零的一元二次方程時，當方程的兩個根大小不確定時，我們需要以根的大小比較為標準進行分類討論.

【例2】討論函數f(x)=x3+3ax2-9a2x+12的單調性.

【分類思路】求導f′(x)=3(x+3a)(x-a)，令f′(x)=0，解得兩根為x1=a,x2=-3a，然而下一步在探求函數的單調區間時，不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集不明確，原因是兩根x1=a,x2=-3a的大小不清楚，分析至此分類討論的標準便自然產生：①x1=x2,②x1>x2,③x1

解：對函數f(x)求導得f′(x)=3x2+6ax-9a2=3(x+3a)(x-a)，令f′(x)=0，解得兩根為x1=a,x2=-3a.①當x1=x2時，即a=0，f′(x)=3x2≥0恒成立，所以此時函數f(x)是R上的增函數；②當x1>x2時，即a>0，令f′(x)>0，即3(x+3a)·(x-a)>0，解得{x|x<-3a或x>a};f′(x)<0，即3(x+3a)(x-a)<0，解得{x|-3a0，即3(x+3a)·(x-a)>0，解得{x|x-3a}，f′(x)<0，即3(x+3a)(x-a)<0，解得{x|a

【點評】導數等于零的方程f′(x)=0能解出兩根時，若兩根含參，且大小不定時，我們就以根的大小為標準進行分類討論.

三、以判別式為標準分類討論

導數等于零的一元二次方程如果根的存在情況不明確時，常常以判別式為標準進行分類討論.

【例3】討論函數f(x)=x3+ax2+x+1的單調性.

【分類思路】求導f′(x)=3x2+2ax+1，令f′(x)=0，即得方程3x2+2ax+1=0，然而該一元二次方程的根是否存在并不確定，于是不難獲得其分類討論的標準：①Δ≤0,②Δ>0.

四、以“點動”為標準分類討論

【例4】討論函數f(x)=(x-k)ex在[0，1]上的最小值.

【分類思路】求導f′(x)=(x-k+1)ex，令f′(x)=0，解得x=k-1，然而由于x=k-1含有參數k，所以它是動態的，由于區間[0,1]是固定的，那么動點x=k-1在定區間的左邊、內部還是右邊呢？即分類討論的標準為：①k-1≤0,②0

解：對函數f(x)求導得f′(x)=(x-k+1)ex，令f′(x)=0，解得x=k-1.①當k-1≤0，即k≤1時，此時函數f(x)在[0，1]上單調遞增，所以函數f(x)min=f(0)=-k；②當0

【點評】以“點動”為分類討論標準的前提是區間必須是固定不動的.

五、以“區間動”為標準分類討論

【例5】討論函數f(x)=xlnx在[t，t+2](t>0)上的最小值.

【點評】以“區間動”為分類討論標準的前提是點必須是固定不動的.

六、綜合運用多次分類

有時含參函數與導數綜合題的分類討論標準不唯一，需要經歷兩重或多重分類討論，分類討論的類別也比較煩瑣，這時候往往需要理解不同的分類討論標準，做到心中有數，邏輯清楚.

【例6】討論函數f(x)=lnx+a(x2-3x+2)的極值點個數.

(作者單位：陜西省漢中市鎮巴中學)