多元邏輯代數理論及其在機械工程中的應用初探

朱永迪

（蘭州職業技術學院，甘肅 蘭州 730070）

邏輯代數也稱為布爾代數，是分析和設計邏輯關系的一種數學工具，邏輯代數有“0”和“1”兩種邏輯值，它們并不表示數量的大小，而表示邏輯兩種狀態，如開關的開與關等，所以邏輯代數中的“0”和“1”與自然數1和0有著本質區別[1]。若將邏輯代數兩種狀態推廣到n種狀態，對應的可用符號“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、……、“n-1”來表示 n 種邏輯值，同理邏輯代數有“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、……、“n-1”n 種邏輯值，它們并不表示數量的大小，而表示n種邏輯狀態。傳統的邏輯設計都是基于二值邏輯器件來處理邏輯問題的。然而，自然界多姿多彩的許多邏輯問題用二值邏輯是不易或不能解決的。在實際生產生活中，邏輯代數中“0”、和“1”兩種邏輯值并不能完全滿足應用要求。例如：機械控制中的“正轉”、“停止”、“反轉”三態，交通燈的紅、黃、綠三種顏色等等，本身都屬于三元邏輯問題。顯然，研究多元邏輯代數在機械工程中的應用有著極其重要的意義。

1 多元邏輯代數的引入

多元邏輯代數同布爾代數一樣，也是用字母表示變量。所不同的是，在布爾代數中邏輯變量的取值只有“0”、“1”、，多元邏輯代數根據實際生產生活應用可以定義n個值，n為有限值。0-1布爾代數邏輯變量為{0,1}，如引言中提到的機械控制中“正轉”、“停止”、“反轉”三態可用3元邏輯變量{0,1,2}，以此類推 n 元邏輯變量為{0,1,2,3,4,···,n-1}，其中 n 為有限值。用0-1布爾代數法進行邏輯表達式的運算及簡化時一般需要掌握布爾代數的基本定律、結合律、交換律、分配律、互補律、0-1律、吸收律、還原律、狄摩根定理、分解定理等；以及一些規則，如代入規則、反演規則、對偶規則及一些常用的恒等式等[2]。布爾代數基本邏輯關系有，與邏輯：F=A·B；或邏輯：F=A+B；非邏輯：F=Aˉ。在多元邏輯代數中與邏輯：F=A·B和或邏輯：F=A+B成立但是其中的A和B必須為同維度變量，即A和B的邏輯變量數必須相同。在0-1邏輯代數基礎上研究3元及3元以上邏輯代數，即 {0,1,2}，{0,1,2,3}，{0,1,2,3,4,···,n-1}（其中 n 為有限值），的運算性質。

在3元邏輯代數中，即邏輯變量為{0,1,2}，“邏輯與”的計算 0·0=0，0·1=0，0·2=0；1·0=0，1·1=1，1·2=1；2·0=0，2·1=1，2·2=2；“邏輯或”的計算 0+0=0，0+1=1，0+2=2；1+0=1，1+1=1，1+2=2；2+0=2，2+1=2，2+2=2；在4元邏輯代數中，即邏輯變量為{0,1,2,3}，“邏輯與”的計算 0·0=0，0·1=0，0·2=0，0·3=0；1·0=0，1·1=1，1·2=1，1·3=1；2·0=0，2·1=1，2·2=2，2·3=2；3·0=0，3·1=1，3·2=2，3·3=3；“邏輯或”的計算0+0=0，0+1=1，0+2=2，0+3=3；1+0=1，1+1=1，1+2=2，1+3=3；2+0=2，2+1=2，2+2=2，2+3=3；3+0=3，3+1=3，3+2=3，3+3=3；在n元邏輯代數中，即邏輯變量為{0,1,2,3,4,···,n-1}（其中n為有限值）“邏輯與”的計算F=A·B取決于A和B中值小的一個，“邏輯或”的計算F=A+B取決于A和B中值大的一個。

表1 電工考試總成績真值表

2 多元邏輯代數的基本運算法則和基本定律

2.1 基本運算法則

在 n 邏輯系統中，設 Ln={0,1,2,3,4,···,n-1}，為多元變量的取值集合，且 0＜1＜2＜···＜n-1，那么系統的兩種基本運算為

（1）多元“與”運算

n 變量 X1，X2，X3，…，Xm的邏輯“與”，其積 F 為m變量中的最小值，可表示為

式中Xi∈Ln。多元“與”運算也稱為最小運算。

（2） 多元“或”運算

n 變量 X1，X2，X3，…，Xm的邏輯“或”，其和 F 為m變量中的最大值，可表示為

式中Xi∈Ln。多元“或”運算也稱為最大運算。

（3）多元“與”和多元“或”基本運算法則

0·A=0，n·A=A（A 值≤n），n·A=n（A 值≥n)，A·A=A；

0+A=A，n+A=n（A 值≤n），n+A=A（A 值≥n），A+A=A；

2.2 基本定律

交換律：A·B=B·A，A+B=B+A

結合律：ABC=（AB）C=A（BC），A+B+C=（A+B）+C=A+（B+C）

分配率：A（B+C）=AB+AC，（A+B）（A+C）=A+A（B+C）+BC

其中的A、B和C必須為同維度變量，如同為3值或4值或5值…n值，n為有限項。

同理n元邏輯代數{0,1,2,3,4,…,n-1}（其中n為有限值）中取值0時F≠0，在n元邏輯空間中除0以外其余值的取值概率為1/n；A取值1時F≠1，在n元邏輯空間中除1以外其余值的取值概率為1/n；A取值n時F≠n，在n元邏輯空間中除n以外其余值的取值概率為1/n。

非邏輯的兩個運算性質：在n值邏輯空間{0,1,2,3,4,···,n-1}（其中n為有限值）中有

3 多值邏輯代數的應用初探

3.1 基于多元邏輯代數的小球分揀系統探析

以一個小球分揀系統為例，研究多元邏輯代數在機械系統中的應用。為使研究的問題簡化，本文將一些復雜的機械系統簡單化、模型化。如圖1所示的圓盤小球分揀系統，圓盤以ω的角速度旋轉，圓盤有四個不同孔徑的孔，分揀四種不同直徑的小球（單位：mm），定義有四種孔（單位：mm）：

圖1 小球分揀系統

定義兩個4元邏輯代數變量，孔的邏輯變量定義為A，A的邏輯值為 {0,1,2,3}，?孔對應的邏輯值取“0”；?孔對應的邏輯值取“1”；?孔對應的邏輯值取“2”；?孔對應的邏輯值取“3”。

小球的邏輯變量定義為B，B的邏輯值為{0,1,2,3}，球對應的邏輯值取“0”；球對應的邏輯值取球對應的邏輯值取球對應的邏輯值取“3”。

I孔邏輯表達式：F1=0·B，即 F1=0，對邏輯表達式的取值進行分析易知I孔僅能分揀的球。II 孔邏輯表達式：F2=1·B，即 F2={0,1}T，對邏輯表達式的取值進行分析可知II孔可以分揀和的球。III孔邏輯表達式：F3=2·B，即F3={0,1,2}T，對邏輯表達式的取值進行分析可知III孔可以分揀的球。IV孔邏輯表達式：F4=3·B，即 F2={0,1,2,3}T，對邏輯表達式的取值進行分析可知IV孔的四種直徑的球均能分揀。

對邏輯表達式F的取值進行分析可以得出不同孔的分揀情況，此例雖然較為簡單卻可以清晰地反映出多元邏輯代數中“邏輯與”在機械系統中的應用和分析方法。

3.2 基于多元邏輯代數的零件配合精度探析

以兩個機械零件的配合精度為研究對象，研究多元邏輯代數在機械工程中的另一應用。為使研究的問題更加清晰，現將復雜的機械零件配合精度問題簡單化處理。有1號零件的A軸和2號零件的B孔配合，不考慮其他因素的前提下，設定A軸和B孔的配合精度由A軸和B孔的加工精度決定。

規定A軸和B孔有五種加工精度，對應的為IT5、IT6、IT7、IT8、IT9 級。定義兩個五維邏輯變量 A和 B，A的邏輯值為 {0,1,2,3,4}，B的邏輯值為{0,1,2,3,4}，A軸、B孔精度與邏輯值的對應關系如表2所列，則1號零件和2號零件配合精度F的表達式為：F=A+B。

表2 A軸、B孔精度與邏輯值的對應關系[3]

表3 1號零件和2號零件配合精度真值表

由邏輯表達式可得出1號零件和2號零件的配合精度真值表，如表3所示。

對邏輯表達式F的取值進行分析可得出A軸和B孔的配合精度等級。此例是多元邏輯代數在機械工程公差配合部分的典型應用，可清晰反映出多元邏輯代數中“邏輯或”在機械工程中的應用和分析方法。

4 結束語

本文在經典的0-1邏輯代數的基礎上引入了多元邏輯代數問題，研究了多元邏輯代數“邏輯與”和“邏輯或”的運算方法。研究了多元邏輯代數的基本運算法則和基本定律，研究了交換律、結合律、分配率、邏輯非的運算性質。多元邏輯代數可以應用到生產生活及機械工程的多個方面，本文以一個小球分揀系統為例研究了多元邏輯代數“邏輯與”的應用，以兩個機械零件軸孔配合精度為例研究了多元邏輯代數“邏輯或”的應用。隨著現代科學技術的不斷發展，大型復雜系統的研制日益增多，對其可靠性、維修性及有效性的分析與評定已成為系統研制過程中不可缺少的重要組成部分[4]。相信隨著多元邏輯代數這一全新概念的引入，與其相關的一些理論和規律將會進一步發展和完善，多元邏輯代數在機械可靠性、有效性及故障分析等方面必將有其獨到建樹。