函數(shù)極限定義的教學(xué)藝術(shù)

摘 要：本文用直觀藝術(shù)的方法探討函數(shù)極限的定義教學(xué)方法，針對(duì)深?yuàn)W的定義給出了淺顯易懂的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：函數(shù)極限;直觀描述;數(shù)形結(jié)合

函數(shù)極限的定義是微積分的基礎(chǔ)，極限作為一個(gè)工具在后面學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)積分級(jí)數(shù)等起到非常重要的作用，是高等數(shù)學(xué)中最重要也是最基本的內(nèi)容之一，因此極限的教學(xué)效果起著高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要的作用。而很多大學(xué)新生在剛剛接觸極限理論這一塊的時(shí)候往往會(huì)感到困難，和中學(xué)的數(shù)學(xué)思想有很大的差異，一時(shí)間很難真正理解極限的思想，對(duì)于極限定義認(rèn)識(shí)模糊，不理解其定義的精髓，從而用定義證明一些函數(shù)極限的時(shí)候往往也很難下手。

導(dǎo)致這種情況的主要原因：一方面，大多數(shù)學(xué)生停留在中學(xué)數(shù)學(xué)的思維上，短時(shí)間很難轉(zhuǎn)換到大學(xué)數(shù)學(xué)的思維上來(lái);另一方面，大多數(shù)微積分方面的教材在剛開(kāi)始引入極限理論的時(shí)候往往過(guò)多地強(qiáng)調(diào)理論使得學(xué)生很難形成直觀的認(rèn)識(shí)。要克服這些教學(xué)難點(diǎn)，在教學(xué)中就要使用一些藝術(shù)的方法使得學(xué)生能夠更直觀、更直接地認(rèn)識(shí)函數(shù)極限的定義。本文在分析教學(xué)難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生正確理解函數(shù)極限的定義，用數(shù)形結(jié)合、直觀描述等方法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、總結(jié)得出函數(shù)極限的定義，并用此定義能夠證明函數(shù)極限。

1 認(rèn)識(shí)無(wú)窮小

講授函數(shù)極限的定義必須涉及無(wú)窮小的認(rèn)識(shí)，無(wú)窮小是比一切小的正數(shù)都要小的正數(shù)，對(duì)于這個(gè)認(rèn)識(shí)可以通過(guò)一個(gè)具體的實(shí)例來(lái)認(rèn)識(shí)什么是無(wú)窮小。

從這個(gè)例子可以看出比所有的正數(shù)小，那么只能對(duì)于0，這個(gè)對(duì)于一切的代表了一切正數(shù)，包括一切的很大的正數(shù)即無(wú)窮大那部分，也包括了一切小的正數(shù)即無(wú)窮小的正數(shù)，而這里比所有的正數(shù)都要小的正數(shù)指的是一切小的正數(shù)，即無(wú)窮小。從這個(gè)例子看出無(wú)窮小指的是比一切小的正數(shù)都要小的正數(shù)。

2 數(shù)形結(jié)合理解函數(shù)極限的定義

在講授函數(shù)極限的定義之前，先有目的舉一些例子，使學(xué)生通過(guò)圖形對(duì)極限有了初步的認(rèn)識(shí)。下面列舉一些簡(jiǎn)單的有代表性的函數(shù)研究其變化趨勢(shì)。

通過(guò)圖形考察當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，即時(shí)的變化趨勢(shì)，可以很容易地看到有如下結(jié)論：

通過(guò)數(shù)形結(jié)合激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，把數(shù)學(xué)看作一門(mén)藝術(shù)觀察引導(dǎo)使學(xué)生對(duì)極限的概念有初步的認(rèn)識(shí)，并且讓學(xué)生知道直觀描述極限的定義便于理解什么是函數(shù)的極限。

3 直觀描述函數(shù)極限的定義

通過(guò)上面的例子我們來(lái)考察當(dāng)對(duì)于一切的時(shí)，極限為A的定義，即x當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限趨近于A，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)列極限的定義，對(duì)無(wú)限小以及無(wú)限趨近已經(jīng)有了一定的理解，根據(jù)函數(shù)極限的定義方法及上面幾個(gè)例子的直觀描繪，學(xué)生可以很容易地得出，x當(dāng)無(wú)限趨近于x0時(shí)，無(wú)限趨近于A，即為無(wú)論取多么小的正數(shù)當(dāng)x無(wú)限的接近于x0時(shí)，即x在x0的一個(gè)小鄰域時(shí)，總有與A的距離比ε還小。從而自然地給出當(dāng)時(shí)，極限為A的定義，即：

這樣從具體的例子開(kāi)始的方式可以吸引學(xué)生的注意力，容易使學(xué)生形成直觀印象，并引發(fā)想象，為函數(shù)極限定義做好了必要的思想準(zhǔn)備，再通過(guò)直觀到抽象，由特殊到一般，自然地給出函數(shù)極限的定義，避免了很多教科書(shū)一開(kāi)始就給出極限的定義的情況，使學(xué)生對(duì)極限的定義有全面的理解和掌握。

4 通過(guò)實(shí)例用極限的定義證明函數(shù)極限

為了加深對(duì)概念的理解，通過(guò)一些例子可以讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)達(dá)到鞏固提高的目的。另外，上例中的結(jié)論都是通過(guò)直觀給出的結(jié)論，而這些結(jié)論都可以通過(guò)函數(shù)極限的定義給出嚴(yán)格的證明，這樣也消除了學(xué)生心中的疑慮。

通過(guò)上述例題的證明使學(xué)生加深了對(duì)極限概念的理解，認(rèn)識(shí)了無(wú)窮小，理解了函數(shù)極限的定義，并且通過(guò)實(shí)例掌握了用定義證明函數(shù)極限的一般方法，將一開(kāi)始舉的例子由直觀給出的結(jié)論給出了嚴(yán)格的證明，進(jìn)一步鞏固了所學(xué)的知識(shí)，有助于加深對(duì)極限定義的理解，為以后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

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作者簡(jiǎn)介：郭家勇（1973—），江蘇連云港人，碩士，講師，連云港師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系副教授，主要從事函數(shù)論、代數(shù)表示論研究。