基于障礙期權的比例擔保的定價研究

王祥宇，吳建華

（1.山東財經大學金融學院，濟南 250200；2.濟南大學數學科學學院，濟南 250022）

引言

中小企業的發展面臨的最大問題就是融資問題，從銀行的角度考慮，對中小企業的貸款不僅管理成本高而且風險也很大，這就造成中小企業從銀行等金融中介機構融資的困難，導致企業的經營處于停滯狀態，甚至破產。造成銀行對中小企業實行信貸配給[1]的主要原因就是小企業和銀行之間的信息不對稱。因此，解決中小企業融資難題的根本思路應該是減少信息不對稱對貸款融資的負面影響，提高中小企業與銀行之間的信息傳遞，其中途徑之一就是發揮第三方擔保機構的作用，對中小企業給予融資信用擔保，在企業與銀行之間搭建橋梁，從而實現中小企業順暢的間接融資。事實上，這也是中小企業信用擔保機構產生的根本原因。

但是，在我國目前的中小企業信用擔保實踐中，貸款信用擔保并沒有很好地解決中小企業的融資問題。我國信用擔保業起步較晚，加上金融體制改革不到位和監管錯位，導致我國中小企業擔保業發展一直落后于實踐的需要，特別是在擔保風險的控制與防范方面比較落后。另外，在我國目前的銀行業還處在相對強勢的地位，大都采用全額擔保的形式，其中擔保機構承擔幾乎大部分貸款的連帶清償責任，這將容易造成“道德風險”，也就是降低了對貸前的企業經營狀況的調查和資信審查的標準，導致擔保公司承擔了很多高風險擔保。同時，在簽訂擔保合同后，銀行對企業的事后監督的積極性和力度也降低。這種不對等的經濟地位，也迫使中小企業擔保行業畸形發展，有些甚至變為放高利貸者，極大地扭曲了本來意義上的擔保機制。

從國外信用擔保運作的經驗來看，建立風險分擔機制，由擔保機構承擔大部分風險，銀行承擔少部分風險，既可以防范金融機構的道德風險，強化其對貸款企業的責任感，又有利于加強銀保之間的合作。比例擔保作為一種商業銀行與擔保機構風險共擔、利益共享的機制，應該得到銀行及擔保機構的重視。比例擔保的核心問題就是，擔保比例的確定，即擔保的定價問題。本文首先簡要回顧了信用擔保定價的國內外研究現狀，分析了比例擔保與向下敲出的歐式看跌障礙期權的同構性，然后基于期權定價的保險精算思路給出了比例擔保理論擔保費的定價模型，并且對模型的應用進行了分析，最后總結全文并給出進一步研究的思路。

一、信用擔保定價的國內外研究述評

自Samuelson在1969年提出擔保定價以來，國外的學者和專家開始了對信用擔保定價方面的研究。Merton（1974）首次提出信用擔保的期權特性，認為擔保合約實際上是一份看跌期權，該看跌期權的標的物為債務方企業的凈資產，所以在一系列強假設條件下可以使用Black-Scholes期權定價模型對信用擔保進行定價[2]。Jones et al（1980）首次探討了不可贖回零息債券的全額擔保、部分擔保，優次級不可贖回零息的全額擔保、以及可贖回零息債券擔保的定價問題[3]。Lai（1994）在考慮利率的隨機性基礎上，使用數值模擬對可違約貸款擔保各變量做了比較靜態分析[4]。Gendron et al（2002）從組合擔保風險分散，債務擔保能力及擔保期限角度分析了貸款擔保組合的風險管理問題[5]。Jun，Jae Bum（2008）在 B-S 期權定價模型的基礎上，提出了針對實物期權的二項式模型，給出在BOT項目中政府擔保的定價方法，并用相關實際項目對模型進行了適用性檢驗[6]。

我國信用擔保起步較晚，我國經濟學界對信用擔保定價的理論研究涉足較少，但是從目前來看，信用擔保定價已經引起了國內眾多學者和專家的廣泛關注。林昆輝等（2000）從理論和實證兩方面論述了如何運用Blake-Scholes的期權定價模型確定擔保收費的問題[7]。陳富權等（2004）在Black-Scholes期權定價理論的基礎上，提出了信用擔保的兩階段定價模型[8]。徐友傳、何佳（2007）在考慮最低凈現金流與擔保定價關系的基礎上，給出了在最低凈現金流要求條件下的信用擔保定價方法[9]。陳曉紅等（2007）基于債務展期,研究了擔保定價問題[10]。顧海峰（2007）在展期階段可選的情況下,研究了存在多個債務展期情況下的擔保價值及其影響因素[11]。鐘田麗等（2008）通過相對VaR的方法，研究了既考慮企業原有債務，又考慮企業對于擔保方的展期債務的兩期擔保定價模型[12]。徐云（2015）還針對服從布朗運動的標的資產價格，采用擬鞅定價方法對信用擔保進行定價研究[13]。

以上文獻中的擔保定價，大多數是基于全額擔保的條件下，通過改變利率的隨機性，信用風險的度量的方式，擔保期限的延伸，以及組合形式下的擔保的定價問題和實證分析思路。關于非全額擔保的研究相對較少，近期比較有代表性的是熊熊等（2011）[14]運用博弈論對銀行、企業、擔保機構三方的合作過程進行分析，研究發現，比例擔保是比全額擔保更為有利的選擇，在實際操作中擔保機構應承擔較大的比例。但是，該文只是強調了比例擔保的優越性，僅僅引用了美國、英國、法國、德國和加拿大幾個國家采用的擔保比例，但并沒有給出如何得到這些擔保比例，而且沒有給出在該比例下的應當收取的擔保費率的大小。本文的研究重點就是利用期權與擔保的同構性，推演出比例擔保與向下敲出歐式看跌期權的同構性，并且給出了比例擔保下的擔保費率的確定。

二、比例擔保與歐式障礙期權的同構性

所謂比例擔保，就是擔保機構只對擔保貸款的一定比例負責，超出比例的部分由銀行承擔。下面給出比例擔保運行機制的數理模型。

設擔保機構對企業的貸款L進行信用擔保，擔保額為M（0＜M＜L），擔保比例為 δ=M/L（0＜δ＜1），具體運行機制如下：

1.當企業資產價值VT大于到期債務值DT的時候，即所有者權益ST＞0，企業能夠按期償還貸款本息，保留企業控制權繼續經營，此時無須擔保，擔保的內在價值為0；銀行收回全部的貸款本息，即銀行收益CT=D。

2.當企業資產價值VT小于或等于到期債務值DT的時候，即所有者權益ST≤0，企業不能足額償還貸款本息。首先，如果-Lδ＜ST≤0，企業處于“休克狀態”，擔保機構支付擔保額-ST之后，剩余部分債務（D+ST）企業仍然有能力償還，此時企業保留企業控制權。擔保的內在價值為-ST=D-VT，銀行收益CT=D。其次，如果 ST≤-Lδ，企業處于“瀕死狀態”，擔保機構支付擔保額Lδ，但是剩余部分債務（D-Lδ）企業沒有能力償還，此時企業將企業控制權移交給銀行。擔保的內在價值為Lδ；銀行只能夠收回部分的貸款本息Lδ，但是獲得了企業資產的控制權，可以通過破產清算進一步的降低損失，即銀行收益CT=Lδ+VT。因此，比例擔保在T時刻的內在價值為：

顯然，此時的比例擔保可以看成是一個標的資產為VT、執行價格為D、障礙價格為B=D-Lδ、到期日為T的向下敲出歐式看跌期權，該障礙期權在t時刻期權的價格C（Vt，t）。那么，C（V0，0）就是我們要求的比例擔保的擔保費。

三、比例擔保理論保費確定的精算模型

下面將根據比例擔保與歐式障礙期權的同構關系，利用期權定價的保險精算思路給出計算比例擔保的理論保費的方法。

1.基于保險精算方法的期權定價原理。保險精算定價方法最早由Bladt和Rydberg于1998年提出，并且可用于期權定價。利用期望均衡原理確定的期權費就是相應收益（損失）的期望值。以歐式看漲期權為例，標的資產的價格可認為是到期日標的資產可能發生的損失ST，雙方互相約定的執行價格則相當于免賠額X，假定初始時刻為t，保險到期日為T，t∈[0，T]，則到期日 T 保險人的損失為 max（ST-X，0），如果以CT表示在T時刻期權價值，則在到期日T，保險費（期權費）的價值為：

由于收到（支付）保險費（期權費）發生在現在，未來在期權到期日才會支付（收到）保險費（期權費）的償付，因此需要對保險費（期權費）的期望損失（收益）貼現。在初始時刻t收到（支付）的保險費（期權費）Ct由下式給出，即：

2.基于保險精算定價方法的障礙期權定價模型。首先給出向下敲出歐式看跌期權的運行機制（如圖1所示）。

圖1 向下敲出的歐式看跌期權運行機制

下面給出該障礙期權的到期現金流（期權到期價值），以公式表示如下：

由期望均衡原理可知，考慮在條件為風險中性的情況下，在t時刻期權的價格可按照其到期現金流量的期望值以無風險利率r折現到時刻t，其表達式為：

式（3）中的I為示性函數。式（3）則是基于保險精算方法的一個障礙期權定價模型，其實質是一個最高賠付上限為Lδ且具有現金補償的向下敲出看跌期權定價模型。

設企業的價值為VT，利用Black-Scholes期權定價模型的基本假設，可假定VT服從幾何布朗運動：

其中μ，σ＞0為常數，μ為企業價值的期望瞬間報酬率，σ是資產報酬率的瞬間標準差，Wt為標準Brown運動，滿足式（4）方程的解可稱作幾何Brown運動。利用Ito^公式可得：

即 lnVt，t∈[0，T]是一個服從漂移率是常數 μ，波動率是σ2的幾何 Brown 運動。當 t＞0 時，式（5）等價于 lnVt～，即VT服從對數正態分布。在風險為中性的情況下，期望收益率μ=r。如果給定t時刻企業的價值Vt，那么在T時刻，企業資產的價值VT的條件分布就是以均值、方差Var[lnVT|Vt]=σ2（T-t）的對數正態分布。則在給定給定Vt的情況下，VT的條件概率密度函數記為：

將式（6）代入式（3），該期權價格可表示為：

由式（7）、式（8）、式（9）和式（10）可以得到企業價值 VT的障礙期權定價模型為：

式中，N（·）為標準正態分布累積分布函數。

若令δ→1，即相當于不設障礙價格，沒有最高賠付上限，則可推出基于Black-Scholes公式的企業價值VT的歐式看跌期權定價模型為：

式中，N（·）為標準正態分布累積分布函數。

那么，由式（11）可得，在擔保合同簽署的時刻0，企業需要向擔保機構繳納的擔保費就是C（V0，0），公式如下：

式中，N（·）為標準正態分布累積分布函數。

四、模型的比較靜態分析

從上面第四部分推導出的擔保費C（V0，0）可以看出，影響擔保費的因素有多個。為了深入了解擔保合約價值的影響因素以及影響程度，下面給出擔保價值影響因素的敏感性分析（如圖2所示）。

從圖2可以看出，貸款擔保價值隨著企業的初始總資產價值V0，擔保比例δ=M/L和無風險利率r的增大而減少。貸款企業資產初值越大，其違約的可能性越小，擔保方代償的可能性減小，從而擔保價值減少；擔保比例越大合約被敲出的可能性變大，而到期補償的現金流也減少，由于敲出可能性變大引起擔保價值增加的作用超過了由于敲出時補償現金流減小引起擔保價值減小的作用，因而擔保價值減小；而無風險利率是折現利率，它的增大代表擔保價值現值減小。從圖2中也可以看出，其中貸款企業資產初值對擔保價值的影響最為敏感，是擔保方控制風險的重要因素。另外，從圖2還可以看出，隨著擔保比例的增加，擔保價值加速下降，敏感性變大；隨著貸款企業資產增加，擔保價值減速下降，敏感性變小；而對于無風險利率，減小速度基本平緩，敏感性基本不變。從這個角度來看，雖然擔保價值對貸款企業的資產初值的敏感性最大，但是擔保比例得敏感性變化速度最快，當變化幅度大過一定程度時，擔保比例的敏感程度會超過資產初值的敏感性。以上分析表明，資產初值和擔保比例都是擔保方控制風險的重要因素。

五、模型的應用分析

本文所研究的中小企業沒有發行股票和債券的資格，企業的資產僅由所有者權益S和銀行貸款L兩部分構成。企業的負債全部為銀行貸款。假設企業在0時刻獲得貸款本金是L，貸款期限是T，貸款利率為R，那么，在貸款的初始0時刻，企業的資產價值V0=L+S0。此時，企業的資產負債率為λ=L/V0。在貸款到期T時刻，企業的總資產VT就等于貸款到期值D=L·R與到期所有權益價值ST之和，即VT=D+ST。我們給出約束性擔保額上限為M（≥0）。

1.擔保費 C（V0，0）的決定因素。根據我們得到的擔保費的定價模型（12），可以看出影響擔保費高低的因素主要有以下6個：企業的總資產價值V0，無風險利率r，貸款到期值D，貸款期限T，約束性擔保額上限為M（0＜M≤L），企業資產價值的波動率為σ2。下面我們通過一個定價實例來實現模型的定價。（1）企業的總資產價值V0。被擔保企業的初始總資產價值，可以用利潤或者銷售額來估算，這可以通過查閱審核企業的財務報表得到較為準確的數值，不妨假定某公司的初始總資產價值為500萬元。（2）無風險利率r。無風險利率r可以參考我國的貨幣市場基準利率——上海銀行間同業拆借利率（Shibor），不妨假定r=5%。（3）貸款到期值D和貸款期限T。貸款到期值D和貸款期限T一般由企業和銀行協商確定。這里不妨假定貸款的到期值的賬面金額為250萬元，貸款期限為五年。（4）約束性擔保額上限為M。擔保額上限M可以由擔保機構和銀行根據相關的擔保法律法規協商確定，并且有B=D-M。不妨假定M為150萬元，B=100萬元。（5）企業資產價值的波動率為σ2。顯然，只有企業資產價值的波動率為σ2是一個未知的變量，這個變量代表企業的資產貶值而產生的信用違約風險。下面我們進行對σ2進行估算，我們可以通過企業的利潤或銷售額的年復波動率來估算公司價值的年復波動率。

2.企業資產價值的波動率σ2的估算以及擔保費率的計算。首先在固定的時間間隔ΔT選取相應的公司價值，并將其記作為：Tk=T0+k·ΔT（k=1，2，…，n），其中 ΔT 以年為單位。Tk對應的公司價值為S（kk=1，2，…，n），因為 σ 是公司價值年復波動率的標準差，于是可設：Ek=ln（Sk/Sk-1），顯然變量 Ek的標準差為，根據統計學相關理論，變量Ek的無偏統計量是的最優估計，根據無偏統計量的定義，則可得σ的最優估計式：

我們借用顧海峰[15]在2009年所采用的數據，首先給出此公司每個月（共18個月）的利潤假設表（如下表所示）來確定，顯然有，以此刻測算企業資產的年復波動率σ。

公司每個月的利潤 單位：萬元

下面我們對照定價公式（12）進行分析，已知V0=500，D=200，r=5%，T=5，σ=22.98%。把上述數值代入定價公式（12），則有：

通過查標準正態分布表，有 N（d1）=0.9818，N（d3）=0.9428，N（d2）=0.9999，N（d4）=0.9996。因此，在擔保合同簽署的時刻0，企業需要向擔保機構繳納的擔保費就是C（500，0），公式如下：

六、結論和下一步的研究方向

比例擔保可以合理降低擔保機構的風險，本文基于比例擔保與歐式障礙期權的同構性，利用保險精算思路給出了比例擔保的理論保費，即：

其中，無風險利率r可以參考我國的貨幣市場基準利率——上海銀行間同業拆借利率（Shibor）；貸款到期本息D，貸款期限T由企業和銀行協商確定；企業的總資產價值V0可以通過查閱審核企業的財務報表得到較為準確的數值；擔保機構承擔的比例δ可以由擔保機構和銀行根據相關的擔保法律法規協商確定；只有企業資產的波動率為σ2是一個未知的變量，這個變量代表企業的資產貶值而產生的信用違約風險，可以利用已有的信用違約風險理論進行估算。

對該理論保費進行了敏感性分析，發現企業資產初值對擔保價值的影響最為敏感，是擔保方控制風險的重要因素。另外，隨著擔保比例的增加，擔保價值加速下降，敏感性變大；隨著貸款企業資產增加，擔保價值減速下降，敏感性變小；而對于無風險利率，減小速度基本平緩，敏感性基本不變。從這個角度來看，雖然擔保價值對貸款企業的資產初值的敏感性最大，但是擔保比例得敏感性變化速度最快。當變化幅度大過一定程度時，擔保比例的敏感程度會超過資產初值的敏感性。這些分析表明，資產初值和擔保比例都是擔保方控制風險的重要因素。