演繹推理：從“邏輯認知”走向“思維通透”

胡春燕??

摘 要：數學實質是思維方式，是歸納和演繹的邏輯思維方式。縱觀小學數學教學活動以發展合情推理為主，演繹推理相對薄弱，甚至缺失。基于高年級兒童邏輯思維能力迅速發展的特征，應將演繹推理能力的培養貫穿于數學課堂教學的各種活動過程：在新知探索中，感受演繹推理的必要性；在練習應用中，發展演繹推理的能力；在知識梳理中，提升演繹推理的能力。

關鍵詞：演繹推理；邏輯思維；循序漸進

一、 問題緣起：中美數學課對比賞析

雞兔同籠問題是我國古代的數學名題。學習過不少名師的經典課，收獲頗豐，發現國內數學課堂注重培養學生的策略意識和問題解決能力，主流教法是出示問題、嘗試解決、策略交流、總結方法、策略提煉。

美國數學課堂教學雞兔同籠的方式不同于中國課堂，筆者選取一部分教學實錄呈現如下：一個住湖邊的老人養有狗和鴨，某天老人看到5個頭和14只腳，老人看到的是多少條狗、多少只鴨？片刻，學生便用二元一次方程找到了解決方案。老師沒有讓學生計算答案。而是讓學生通過兩個式子來推理，解釋答案是否合理。下面是師生對話：

師：答案是5只狗和4只鴨，對不對？生：不對，老人只看到5個頭。

師：狗不少于4條，對不對？生：不對，腳的總數是14，4條狗就16條腿了。

師：那會不會是三條狗呢？學生陷入沉思，發現3條狗12只腳，5個頭14只腳的話，那么兩只鴨子兩條腿，除非……教室里哄堂大笑。

師：假設鴨和狗都是進化完整的，該有多少只鴨子呢？

學生議論紛紛：前提是不能超過5個頭和14只腳。

師：如果狗少于三只，能推出鴨子的數量嗎？生1：鴨子必須三只以上……因為……生2：如果三只鴨子，就有6條腿，狗就有……生3：如果狗腳不多于12條，就是狗不能多于3條，那么鴨子至少3只才能湊夠5個頭……

學生完成推理過程后老師才讓他們計算。

二、 深度思考：數學教學的本質追求

筆者并不“崇洋媚外”，更不會“拿來主義”，只是“理性思考”，對比中美課堂的不同風格，剖析美國課堂的教學立意，“去其糟粕，取其精華”：美國老師并不滿足于計算尋求答案，而是“磨洋工”式地不斷提出假設，引發全方位的思考、猜想、推理、辨析，讓學生明白解題的理由，發展學生的邏輯思維能力。的確，數學不是算術，數學實質是思維方式，是歸納和演繹的邏輯思維方式。

史寧中教授曾指出：“‘基本思想主要是指演繹和歸納，這應當是整個數學教學的主線，是最上位的思想。”由此可見，推理在數學教學中的重要地位。

三、 意蘊解讀：演繹推理的內涵詮釋

推理，是由一個或者幾個已知判斷推出新判斷的思維形式。數學推理包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有事實出發，憑經驗和直覺通過歸納和類比等推斷結果的推理方式，合情推理是一種或然推理，前提正確，推出結論不一定正確；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理、法則等）出發，按照邏輯推理規則進行證明和計算的推理方式。演繹推理是一種必然推理，前提正確，推出結論一定正確。

縱觀小學數學教學活動以發展合情推理為主，演繹推理相對薄弱，甚至缺失。究其原因，一是兒童個體發展中，合情推理先于演繹推理；二是教師在教學中注重合情推理，相對忽視演繹推理。其實，數學活動一般都是“先歸納后演繹”的邏輯推理過程，合情推理和演繹推理二者相互融合、不可偏廢。尤其第二學段，學生抽象邏輯思維逐步發展，在合情推理之后運用合適的方式引導學生進行演繹推理是必要的。

四、 策略建構：培養演繹推理能力的多維路徑

《課標》指出：“推理能力應貫穿于數學課堂教學的各種活動過程。”因而在教學過程中教師要給學生提供各個領域豐富的、有挑戰性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，讓學生去發現結論、解釋結論、應用結論，逐步培養推理能力。

（一） 在新知探索中，感受演繹推理的必要性

要發展兒童演繹推理的能力，首先要讓兒童有演繹推理的意識，感受演繹推理在數學學習中的必要性。

1. 鼓勵“質疑—驗證”，論證結論的科學性。

發現式教學不僅可以用于“發現”某些結論，而且可用于讓學生“發現”結論的證明，恰當使用這種方法，能讓學生在“先歸納后演繹”的邏輯推理中提升推理能力。比如教學蘇教版四下《乘法分配律》，在用不完全歸納法得出結論（a+b）×c=a×c+b×c后，很多老師認為“大功告成”，便不再深入，導致喪失了培養學生演繹推理能力的機會。如果在大量數字驗證的基礎上，引導學生質疑：“能把所有的情況都舉出來嗎？有什么辦法驗證等式任何情況下一定成立？”教師可引導學生尋找反例，如果找不到也就增強了結論的正確性。還可進一步引導學生通過數形結合的方式來驗證（如圖）大長方形的面積等于兩個小長方形的面積之和，因此（a+b）×c=a×c+b×c。

演繹推理的過程是從不完全歸納向完全歸納發展的必經之路。鼓勵學生反復質疑合情推理得到的結論的確定性，啟發學生調動已有知識經驗進行演繹推理驗證，“知其然”更“知其所以然”，在探“本”求“源”中提升思維的深刻性和嚴謹性。

2. 引導“猜想—證明”，甄別結論的合理性。

布魯納指出，“在向學生揭示演繹和證明之前，使他們對材料有直感的理解是頭等重要的”。讓學生先猜一猜，力求產生對問題解決的直覺，這樣更容易引發學生調動原有知識和能力綜合展開合乎邏輯的論證或反證過程。

比如教學蘇教版五下《異分母分數加減法》，首先讓學生直覺猜想12+14的結果。在主要的兩種不同結論13和34的基礎上，教師可引導學生從多方面辨析證明哪個結果正確，哪個結果錯誤？（1）因為12=0.5，14=0.25，0.5+0.25=0.75≠13，所以13是錯誤的。（2）因為12小時=30分，14小時=15分，13小時=20分鐘，所以13是錯誤的。（3）12>13，兩數之和大于其中任意一個加數，所以13是錯誤的。（4）畫圖證明；12可以看成24，24和14合起來是34，因此12+14=24+14=34。

在數學猜想得到不同的結論時，教師應進一步引導學生尋求證據、給出證明或舉出反例，以合理的解釋甄別結論的合理性，以不同的方法根據充足的依據進行推斷，用準確的數學語言進行表達，發展思維的條理性和發散性。

（二） 在練習應用中，發展演繹推理的能力

數學練習與應用的本質，就是運用一般原理于個別的具體情境中，也就是知識的具體化、思維的演繹。教師在學生的練習過程中要有意識地引導學生經歷嚴謹的演繹推理過程，循序漸進，逐步發展兒童的演繹推理能力。

1. 通過“判斷—說理”，深化對數學結論的內涵理解。

在學生歸納論證數學結論后，通常要通過一些判斷練習鞏固對數學結論的理解。教學時應關注學生運用演繹推理的思維對判斷結果做出合乎邏輯的解釋，有根有據地說明理由。

比如，教學蘇教版五上《小數的性質》一課，學習了小數的性質后，為深化理解，教師時常要讓學生判斷：1.80 0.250 703.050 17.00 0.060 300 60.0哪些數的0可以去掉？哪些0不能去掉？教學中不能得到結果就草草了事，應通過追問“為什么”來追出學生腦中的演繹推理過程，并逐步引導學生用較規范的語言表達：“因為小數的末尾添上0或去掉0，小數的大小不變（大前提），1.80 0.250 703.050 17.00 0.060 300 60.0這些0在小數的末尾（小前提），所以這些0可以去掉（結論）。”這樣的“三段論”推理過程，進一步幫助學生明晰了小數性質的關鍵和內涵，發展學生思維的邏輯性和深刻性。

2. 經歷“問題—求解”，活化對數學結論的運用意識。

數學結論的運用十分廣泛，數學學習中，時常要根據掌握的數學定理、結論來解決具體問題，教學中不僅要注重練習的正確性，更不能忽視拓展推理的空間。

比如教學蘇教版六上《認識倒數》一課，基于分類歸納得出“乘積是1的兩個數互為倒數”的定義后，教師可引導學生質疑：“關于互為倒數，你還能提出什么問題？0和1這兩個數是數學的寵兒，他們的倒數分別是幾？”在學生經歷討論后，引導學生清晰表達推理過程：“因為乘積是1的兩個數互為倒數，1×（1）=1，因此1的倒數就是1，而0乘任何數都得0，沒有一個數和0相乘得1，所以0沒有倒數。”倒數的教學并不復雜，這個過程的核心是“先歸納后演繹”的思維活動，歸納推理構建結論，演繹推理確認結論。使學生在感受合情與演繹的內部關系同時，進一步發展合乎邏輯的思考秩序和有條理的表達能力。

（三） 在知識梳理中，提升演繹推理的能力

大腦儲存信息追求秩序、關聯、系統。要使信息系統化，就需要把關聯的知識按照邏輯關系，梳理出知識的源與流、主與次，這就需要推理。演繹推理是擴展數學知識體系、建立數學知識內在秩序的主要思維方式。

1. 引導“發散—溝通”，由已知結論推導新的結論

教師應該經常要求學生通過推理去掌握新知，解決新問題。除了引導學生把個別的、特殊的事例，及時歸納為一般的原則方法，在學生掌握一定的原理后，還要引導學生從中通過演繹推理派生出新知來。如教學蘇教版四上的《三角形的內角和》一課，通過度量、翻折、剪拼等數學實驗研究各種三角形的內角，在學生歸納得出“三角形的內角和等于180°”的規律后，教師應引導學生在求三角形未知角的計算中向新知推進中演繹：

這樣的演繹推理過程不但幫助學生清晰理解內容的邏輯結構，擴展數學知識鏈，更培養了學生思維的發散性和靈活性。

2. 重視“整理—建構”，由零散走向系統。

數學知識本身是有結構的，數學基本概念、基本原理都按照一定的內在聯系方式聯系著，教師應時常引導學生將學過的知識進行整理，在演繹推理中溝通聯系，建構網絡。比如，六年級總復習“立體圖形”時，出示長方形、正方形、圓、扇形，讓學生通過所學知識進行推理，說出聯想到什么立體圖形？當學生說出是長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形時，再要求學生說出理由，比如“看到長方形，我聯想到長方體，因為長方體每個面都是長方形”，“看到長方形，我聯想到圓柱，因為圓柱的側面展開圖都是長方形”，“由圓和扇形可以想到圓錐，因為圓錐的底面是一個圓，側面展開圖是一個扇形”……通過演繹推理將學生原有的知識綜合運用，建構明晰的知識網絡，形成整體性的理解，同時幫助學生提升到能夠理性全面地進行邏輯分析的思維層面。

五、 結語

兒童演繹推理能力的形成和發展是一個隱性的、緩慢的、長期的過程。實際教學過程中，教師需改變對推理和證明的認識和培養上的偏差，積極創造讓兒童進行數學推理的機會，引導學生經歷完整的推理過程，培養兒童言必有據的數學表達能力，發展兒童初步的邏輯思維能力，提高兒童終身受用的認識水平。

參考文獻：

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[2] 吳增生.用數學發展智慧[M].江西教育出版社，2016.

[3] 徐紅萍.演繹推理能力在“數與代數”領域的培養策略探析[J]江蘇教育，2015（6）：37-39.

作者簡介：胡春燕，江蘇省蘇州市，蘇州工業園區婁葑學校。