近世代數課程的教學探討

周潘岳 何婧

【摘 要】 近世代數課程教學在內容上要注重抓主線和知識的應用價值，加強與高等代數相關知識的聯系；在教學方法上要以具體實例引入課堂，聯系前后知識形成知識系統，引發和鼓勵學生主動學習的熱情。

【關鍵詞】 近世代數；教學內容；教學方法

近世代數也稱為抽象代數是數學與應用數學專業一門非常重要的專業必修課，其特點是高度抽象，邏輯性強，推理嚴謹。學生普遍認為是一門難懂難學的課程，加之課程由大學三年一期開設，提前到二年一期，更加大了學習難度，導致很多學生苦不堪言。但是，如果降低難度和要求，學生就不能學到應有的知識，達不到教學的效果，抽象思維能力和邏輯推理能力也得不到應有的提高，這與我們的教學目標相違背。那么如何解決學生在學習過程中認為太抽象、難度大的問題，如何提高學生的學習興趣，這給教師們提出了新的要求和挑戰。本文結合近世代數課程教學的情況，以文獻為例，[1]從以下方面，提出幾點建議，以供讀者參考。

一、教學內容方面

近世代數這門課程的內容涉及到大量抽象的概念、命題、定理和推論，對于剛接觸到這門課程的學生來說，學習起來無疑是非常困難的，覺得內容枯燥乏味，更不用提對這門課程的興趣。隨著我國高等教育的改革，要滿足當前社會發展的需要，必須在大學增加其它新的課程。相應的，專業教學計劃做了相應的調整，壓縮了課時。這樣一來，想要詳細的上完整本書所有的內容，這完全是不可能的。因此，上課教師應根據實際需求和其它課程安排，在不減少授課內容，保證教學質量的前提下，合理安排教學任務，調整教學節奏，激發學生的積極性和主觀能動性。

1、抓主線，教內容

教材的內容主要包括群、環、域三個部分，這是近世代數最核心的內容。在教授這三個部分過程中要抓住主線，圍繞這些主線進行系統的教學。例如，群的主線是群同態，它是保持運算的映射，揭示出兩個群的某些共同性質，以此來區分兩者的異同。有關群的內容都可以圍繞群同態而展開；環的主線是理想；域的主線是域擴張。如果能夠抓住這些主線，在實際教學中一定能達到事半功倍的效果。

2、注重知識的應用價值

近世代數是現代數學的一個非常重要的分支，它的基本內容是每一個數學工作者必須具備的理論知識。更重要的是，有些數學方法是很多領域的科技工作者必須掌握的，它為理論物理、分析化學、計算機科學、信息安全、通訊和密碼學等提供了數學語言，這就是這門課程強大的生命力之所在。然而，很多教師在授課的時候壓根就不談應用，只講證明，導致學生學習目的不明，不知為什么要學，學了有什么用，從而降低學生的學習興趣，缺少學習動力。

教師應時刻把握時代發展的需求，特別是對近世代數在相關領域的發展要有所了解，將所講內容聯系到實際的應用。例如，當今社會信息安全越來越重要，它不僅涉及到政治、經濟、軍事和外交領域，與我們的日常生活也密切相關。信息安全最重要最核心的內容就是密碼學，近世代數中有限域的內容就應用在密碼學中，[2]通過講述有限域在密碼學中的應用能讓學生體會到近世代數這門課程的魅力和應用價值，也很大程度上激發他們學習的興趣。

3、加強與高等代數相關知識的聯系

近世代數是高等代數的后續課程，有很多的概念和定理是高等代數中相關概念和定理的推廣與延伸。所以，在講解這些內容的時候，和學生一起回顧高等代數中的相關內容，引導學生找到它們的相似和不同之處。比如在講授唯一分解多項式時，高等代數中講授的不可約多項式可以認為是其中的一個特例。又比如在講解域的時候，引導學生在高等代數的知識中去尋找域的具體例子，以便更好理解這些抽象概念。通過這樣的方法學習概念，符合學生從感性認識到理性認識，從表面現象到概念的認識規律。讓學生明白課程之間或學科之間是相互聯系的，是一個有機的整體，也能激發和維持學生的學習興趣。

二、教學方法與教學手段方面

1、以具體實例引入課堂

近世代數課程具有高度抽象，推理嚴謹，理論性強的特點，如果只是單純講授概念和定理，學生不知所云、枯燥乏味，大大影響教學效果。所以，在教學方法和內容上，教師需要特別注意激發學生的興趣。在教學中，教師應該盡量地把抽象和難懂的問題講得深入淺出，使學生容易理解和接受。在引出一個新的概念之前，教師盡量從具體的例子和問題出發，讓學生有一個從直觀到抽象的思維過程，這樣可以讓學生掌握基本概念的同時提高學生的抽象思維能力。

2、聯系前后知識，形成知識系統

近世代數的知識點很多，學生在學習過程中難以掌握，對相似的知識點容易混淆。教師在教學過程中要注意及時總結相關知識，形成知識系統，同時對相似的概念和知識點進行區別。使學生不僅能準確掌握各知識點，也能從整體上掌握近世代數的基本知識和方法。

3、由教到引，引發學生的主動學習

指導學生閱讀相關的教材，提高學生的自學能力。正如葉圣陶先生所說“所謂教師之主導作用，蓋在于引導啟迪，俾學生自奮其力，自致其知，非謂教師滔滔講說，學生默默聆受。”正是我們說的啟發式教學，教師在其中起畫龍點睛的作用。在教學過程中，教師應該多鼓勵學生上講臺，為學生提供鍛煉的機會，激發學生的主觀能動性，培養學生的自主學習、分析問題和解決問題的能力。

4、黑板板書與多媒體教學工具配合使用

在教學手段上，應該將傳統的黑板板書與多媒體等現代信息技術手段相結合，將教學內容中那些思想簡單、易于理解但繁瑣的過程以PPT的形式向學生演示，而對邏輯推理較多的知識，采用黑板板書的形式進行推理。這樣既可以節省大量書寫時間，又能讓學生掌握重要的思想方法，做到松緊得當，快慢適宜，有的放矢。

5、教師的鼓勵是學生前進的動力

很多學生在學習近世代數的時候都感到受挫和茫然，此時教師的鼓勵至關重要。任課教師也是他們在學習這門課程時最信任、最依賴的人。教師的期許有多高，學生在未來的道路上收獲的成果就有多大。通過期待的眼神、激勵人心的語言激發學生求知的欲望，提升學生學習這門課程的自信。記得一次期中考試，一位平時學習不認真的同學成績很不理想，當試卷發下來之后，他沮喪的問我：“老師，我只考了30分，怎么辦？”我拍拍他的肩膀說：“這次沒考好不要緊，你很聰明，我相信只要你認真努力，一定能夠學得好。”從那以后，這位同學一改以往學習態度，認真聽課，成績突飛猛進。

6、靈活多樣的課后輔導與答疑

近世代數課程難度大，內容多，課堂時間有限，想利用課堂時間將內容完全掌握理解比較困難。老師的指導和幫助能讓學生的課后練習與鞏固有更好的效果。在科技發達的時代，對學生的指導已經不再僅局限于面對面的方式，可以使用各種交流手段靈活多樣的輔導與答疑。例如，每周安排一個固定的時間進行面對面答疑，對于那種普遍存在的問題或者難度很大的習題，組織上一次習題課，也可以隨時通過微信或QQ的視頻通話進行解決等等。雖然教材的練習題多，難度也很大，但通過這樣形式多樣，時間自由的輔導答疑方式，學生學起來就輕松很多，他們的學習興趣也就上去了，還能引發學生對很多相關問題的思考。同時，老師通過學生提問情況能及時了解學生的學習情況，有助于更好的教學，做到有的放矢，實現雙贏的局面。

三、結語

教學的實踐表明，近世代數的課堂教學一直存在或多或少的問題。如何上好一堂課，特別是像近世代數這么抽象的課程，需要花心思去摸索和實踐。總而言之，如何使得課堂的教學煥發出新的活力，需要教師們繼續努力，不忘初心，牢記使命，永不停息。

【參考文獻】

[1] 裴定一，郭華光.近世代數[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] Yann Laigle-Chapuy. Permutation polynomials and applications to coding theory. Finite fields and their applications[J]. 2007.13（1）58-70.

【作者簡介】

周潘岳（1986-）男，湖南岳陽人，博士，湖南理工學院數學學院助理研究員，主要研究方向：代數表示論.