數學的模式化學習與創新思維的培養

摘 要：美國數學家斯蒂恩（steen）提出“數學是關于模式的科學”。認知心理學家西蒙也指出“人們在解決數學問題時，大多數是通過模式識別來解決的。”但對模式應做到“強化”與“淡化”的辯證統一。模式是數學形式化的產物，對此，普通高中數學新課程標準（實驗）有一段十分精辟的論述：“形式化是數學的基本特征之一。在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限形式化的表述，要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里。”

關鍵詞：數學；模式化學習；創新思維；培養

通過上述理論的學習、鉆研與思考，筆者深深地感受到數學模式是解決數學問題的利器，但以不能將模式看作刻板僵化的形式，所以既要承認模式的積極作用，又不能囿于模式固有的形式，致使思維失去變通靈活的創造性。為提高解題的效率，提高學生分析問、解決問題的能力，本文就此重要問題作進一步的探討和研究。

一、 用數學思想統攝數學模式

數學模式誠然是解題的重要工具，但我們的認識絕不能停留在膚淺的“工具論”的層面上，而應該深刻地領悟模式中蘊含的深邃的數學思想。沒有思想就沒有靈魂，解題者就淪為只能簡單模仿的“工匠”，而失去創造性，這是非常可怕的。我們應能從大量的模式中提煉出數學思想的精髓，又要能在“函數方程、分類討論、等價轉化、數形結合”等數學思想的統攝下看到豐富的具體模式。

如常用的技能“分離參數（變量）法”“分離常數”“分母（分子）有理化”“裂項相消”“錯位相減”“反置代換”等，不應該將它們看成純粹的一種操作手段，而應提升為一種思想，以高屋建瓴的博大氣勢，將零散的模式構成以數學思想為“統帥”的、結構嚴謹、融會貫通的知識與技能的系統。

二、 充分發揮模式的積極功能

數學模式具有強大的生命力，歸因于它在解決問題中的實用價值和積極功能。依模式進行操作，呈現出的是機械化、程序化的“流水作業”，簡便、快捷、準確、高效。如，很多雜志上都刊登有關于用導數解決各種問題的文章，其實這些文章所講的無論是證明不等式還是求字母的取值范圍，其實質都是一樣的，那就是恒成立問題——分離變量、最值思想（小于其最小、大于其最大），解答這類問題，可以說不需要高難技巧，只需按部就班地進行程式化操作即可奏效。

從上面的分析中，我們可以看出，“數學模式”有很高的實用價值和積極功能，但是如果長此以往，將會抹殺學生的創新能力，所以我們還應該注意一個問題，就是促“熟能生巧”防“熟能生笨”。看到這里，讀者也許會感到奇怪！只聽說過“熟能生巧”，何來的“熟能生笨”？豈不知，對模式若僅僅限于“機械化”的模仿，沒有或較少有思維的投入和智慧的參與，久而久之，“熟能”就會生出“笨”來。反之，在運用模式進行操作時，將“機械化”的運作與本質的理解融為一體，思維與智慧的高度投入、意志品質的參與，那么聯想豐富、反應敏捷、靈感頻出，“熟能”就會生出“百巧”來。如對式子ax+by，所有學生都不會感到陌生，但真的解題中遇到，學生卻未必能對其展開聯想，從而沒有辦法擴展自己的思維，下面就這個問題進行一些聯想。若令ax+by=z，可以聯想到直線方程或線性規劃的知識；若令m=（a，b），n=（x，y），則m·n=ax+by，可以聯想到向量的知識，進而還可以考慮用數形結合方法來解決。

三、 借助類比推理工具，將模式化的學習轉化為培養學生的創新思維

類比推理是我們發現新生事物的有力工具，它是我們從已知的或未完全知道的事物中，類比推出我們還未完全知道的或完全不知道的事物的性質或結論，它是我們進行創造的前提，而創新思維恰恰是在舊的、已有的知識、經驗、常識、信息等文化素質基礎上，由個人積極的、執著的情感作動力，通過形象思維、邏輯思維的輔助加工，進而產生的一種高級思維形式，是一種有目的地思維活動。模式化的數學學習和數學解題讓學生具備了這方面的基礎，只要對它適當引導或推動，便可讓它發生不可想象的變化。

在幾何的學習中，我們對平面幾何的知識相對比較熟悉，對大部分的知識或解題都可達到模式化的程度；而對空間立體幾何的知識卻沒有那么熟悉甚至未知，這時我們可以償試將平面幾何中的模式化類比到空間中，從而解決空間立體幾何問題。例如，我們在求△ABC（已知面積為S，三邊長分別為a、b、c）的內切圓O的半徑r時，我們將O分別與A、B、C連結，將△ABC分割成三個三角形，然后由S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC得S=12（a+b+c）·r，從而r=2Sa+b+c；那么當我們需要求空間幾何體的內切球的相關量（如半徑、表面積、體積）的時候，我們就可類比這一思維方法，順利地解決相關問題。類似于這方面的東西是非常多的，如勾股定理、余弦定理、射影定理等都可類比到空間中的三棱錐中，下面再舉一例加以說明：即將面對全國高考的學生都對求三棱錐外接球的半徑（或表面積、或體積）的這一類題目非常頭痛，其實我們可以先回憶三角形外接圓的知識，它的圓心（即外心）到三個頂點的距離相等，面對三棱錐V-ABC，我們可以先找其中一個面如△ABC的外心D，然后過D作△ABC所在平面的垂線l，則l上的任何一點到A、B、C的距離都相等，從而三棱錐V-ABC的外接球的球心必在l上，設其為O，接下來只要根據等量關系OA=OV（即都等于外接球的半徑R）列方程，即可將R求出。

通過上面的例子，我們可以充分感受到，當我們以某個模式為生長點時，借助類比推理，可以讓我們的思維升華，讓我們的思維更具有創新性，從而讓我們有可能發明創造更多的東西，如平面上各種曲線能用方程表示、各種距離可以用公式計算，那么空間中的各種幾何體（如直線、平面、球等）會否也有方程、公式呢？

對高中數學進行模式化的學習與培養學生的創新思維并不矛盾，反而是相輔相成的，模式化能讓學習者對事物更加熟悉，解題更加高效，借助類比推理，我們又能為模式化的學習找到新的生長點，從而達成培養學生創新思維的目標，這是一種非常良性的學習循環，是一種值得推廣的學習模式。

參考文獻：

[1]陳文.強化數學建模 培養創新能力[J].基礎教育參考，2016（03）：34-37.

[2]費曉東.高中數學教學中創新思維能力的培養[J].數學學習與研究，2012（05）：33.

作者簡介：

胡長華，福建省泉州市，晉江市南僑中學。