極坐標方程在解決與焦點有關的圓錐曲線問題中的應用

李秀梅

摘 要 學生們在解決極坐標方程在解決與焦點有關的圓錐曲線問題時，需靈活運用極坐標方程與圓錐曲線問題。

關鍵詞 高考；圓錐曲線；極坐標方程

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）31-0219-01

近五年高考全國卷每年出一道大題考查極坐標、參數方程或絕對值不等式，大部分學生選擇極坐標參數方程，解題方法都是把極坐標參數方程化為直角坐標求解，不僅解題過程繁瑣，也失去了考查極坐標參數方程的目的。其實極坐標方程在解決直角坐標系下與焦點有關的圓錐曲線問題中有廣泛的應用。

一、圓錐曲線的極坐標方程

橢圓、雙曲線、拋物線可以統一定義為：平面內到一個定點（焦點）的距離與到一條定直線（準線）的距離的比等于常數e的點的軌跡。以橢圓的左焦點（雙曲線的右焦點、拋物線的焦點）為極點，過點F作相應準線的垂線，垂足為K，以FK的反向延長線為極軸建立極坐標系。

橢圓、雙曲線、拋物線統一的極坐標方程為： 。其中p是定點F到定直線的距離，p>0，當0

當e>1時，方程表示雙曲線，若ρ>0，方程只表示雙曲線右支，若允許ρ<0，方程就表示整個雙曲線；當e=1時，方程表示開口向右的拋物線。

二、圓錐曲線極坐標方程的應用

（一）焦點弦問題

【典例1】（2008年海南卷）過橢圓 的焦點 作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，求 的面積。

簡解：首先極坐標方程中的焦點弦長公式 求弦長，然后利用公式 直接得出答案。

注：用直角坐標求弦長過程比較煩雜（請參考高考解析）。

【典例2】（2009理科12文12）已知橢圓 的右焦點為 ，右準線為 ，點 ，線段AF交C于點B，若 ，則 =（ ）

A. B. C. D.

解析：選取右焦點 為極點，由題意知： = 設AF與X軸所成的角為 ，由極坐標方程可得 ，又因為 所以， ，解得 ，所以 。

（二）定值問題

【典例1】經過橢圓的焦點作兩條相互垂直的弦AB和弦CD，求證 為定值。

證明：以橢圓的左焦點建立極坐標系，此時橢圓的極坐標方程為 ，又設 則代入可得 ， ，則

注：此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立，注意使用的范圍。

【典例2】（2007重慶理改編）中心在原點 的橢圓 ，點 是其左焦點，在橢圓上任取三個不同點 使 。證明： 為定值，并求此定值。

解析：以點 為極點建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為： ，設點 對應的極角為 ，則點 與 對應的極角分別為 、 ， 、 與 的極徑就分別是 、 與

因此 ，而在三角函數的學習中，我們知道 ，因此 為定值。

點睛：在極坐標系中 、 、 分別對應一個極角，而在解析幾何中，焦半徑對應多個參數的二次關系，這就是極坐標解圓錐曲線問題的優點。

參考文獻：

[1]語數外學習.中學數學月刊.