基于壓縮感知的大規模MIMO系統導頻優化及信道估計算法

金 鳳，唐 宏，張進彥，尹禮欣

(重慶郵電大學移動通信技術重慶市重點實驗室，重慶400065)

(*通信作者電子郵箱2530299308@qq．com)

0 引言

大規模MIMO(Multiple-Input Multiple-Output)技術作為5G通信的關鍵技術之一，利用大量空間自由度以提升系統容量和魯棒性。為滿足綠色無線通信系統更高數據吞吐量的需求，大規模MIMO技術已成為一種最具潛力的技術來提高頻譜效率和能量效率［1］。為充分實現大規模MIMO技術優勢，精確的信道狀態信息(Channel State Information，CSI)的獲取對于上下行信道起著至關重要的作用;然而，隨著大規模MIMO系統發射天線數的不斷增多，信道估計所需的導頻開銷也呈高比例增加，因此如何利用合理的導頻開銷實現精確的信道估計是下一代綠色無線通信系統最具挑戰性的問題［2］。

為減小下行信道估計開銷，許多研究采用時分復用(Time-Division Duplexing，TDD)通信方式［3］，即利用信道互易性直接從上行信道的測量結果中推斷出下行信道狀態信息。然而，由于相鄰小區需要復用有限的正交導頻，TDD通信方式會導致嚴重的導頻污染問題。與TDD相比，基于頻分雙工(Frequency-Division Duplexing，FDD)模式的蜂窩網絡具有低遲延和對稱通信量的優勢［4］，并且它目前已經廣泛應用于無線通信系統，因此，對FDD模式下大規模MIMO系統信道估計的研究更具有實際應用價值。研究表明，無線通信系統中的信道沖激響應向量(Channel Impulse Response，CIR)具有稀疏性［5］，即CIR的絕大部分能量僅集中于較少路徑上。因此，利用信道稀疏性，將壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論應用到大規模MIMO信道估計中成為目前很受歡迎的一種技術［6］。

事實上，許多文獻已應用CS技術來改善信道估計的性能。例如，文獻［7］提出一種基于CS技術的低階矩陣近似算法來提高TDD通信方式下大規模MIMO系統信道估計性能，但是該理論不適用于FDD系統;文獻［8］依據FDD通信方式下大規模MIMO系統信道的時空特性提出一種減小導頻開銷的方式，但是隨著基站端天線數量的增多，由不同發射天線的導頻序列產生的干擾將會加劇;文獻［9］利用無線信道的時間相關性提出一種適用于FDD大規模MIMO系統的稀疏信道估計機制，但是該文獻并未考慮無線信道的空間相關性因素。目前，許多研究重點都在于大規模MIMO系統稀疏信號的重建算法的改進，很少考慮對導頻進行優化以改善信道估計性能。合理設計導頻放置方式不僅可以提高信道估計的可恢復性和信道估計精度，而且能夠有效節省所需導頻開銷。文獻［9］僅提到“偽隨機”導頻位置的概念，這種導頻下標序列可以避免由隨機導頻造成的不確定性且兼具隨機導頻的良好性能，但該文獻并未提出具體如何設計導頻優化方案;文獻［10］采用等間隔放置方式，但這種導頻放置方式并不是最優的;文獻［11］采用逐位置優化方案，該方案需對個體進行逐位置優化，計算復雜度較高。

本文針對以上問題聯合利用無線信道的時間相關性和空間相關性，展開對基于CS技術的大規模MIMO系統導頻優化設計及信道估計的研究。對于下行FDD大規模MIMO系統，由基站向用戶發射非正交導頻信號。在基站端，本文以最小化觀測矩陣的互相關為優化目標設計一種偽隨機導頻方案，少量導頻信號依據最優導頻設計圖案確定性地分布在頻帶中。在用戶端，本文聯合利用大規模MIMO信道的時空相關性設計了一種CSI估計算法，用戶利用該算法可以獲取信道的公共稀疏支撐集，進而實現低導頻開銷的信道估計，并將最終估計結果反饋給基站。

1 系統模型

1．1 時空相關性

研究表明，時域無線MIMO信道通常表現出稀疏性。路徑延遲比路徑增益慢得多，因此時域CIR向量中非零元素的位置變化很慢可近似為常數，即相鄰L個OFDM信號表現出時間相關性［10］，用式(1)表示為:其中:M為基站端發射天線數，L為OFDM符號數，gm，n=為第 m 個發射天線和一個用戶間的時域CIR向量，NCIR表示時域CIR向量的長度，表示gm，n的稀疏支撐集。

CIR向量gm，n中非零系數的個數K遠小于NCIR，又因為不同發射接收天線對的CIR向量具有相似的路徑延遲，因此M個不同發射接收天線對表現出空間相關性［12］，用式(2)表示:

綜合式(1)和式(2)可知，無線MIMO信道表現出空時相關性。本文聯合利用無線信道的空時相關性來設計大規模MIMO系統模型。

1．2 大規模MIMO系統

考慮FDD大規模MIMO系統，基站端配備M根天線，用戶配備單根天線。假設每個包含導頻的OFDM符號有NFFT個子載波，導頻子載波個數為Np。由基站端發射非正交導頻信號，pm為Np×1維第m根發射天線的導頻序列;μ={c1，c2，…，cNp}為導頻子載波的下標集(所有發射天線完全相同)。在用戶端，離散傅里葉變換(DiscreteFourier Transformation，DFT)后第n個包含導頻的OFDM符號的接收序列rn為:

其中，Pm為Np×Np維對角矩陣;F為NFFT×NFFT維DFT矩陣，第(k，l)項可用exp(－j2πkl/NFFT)表示;FNp為Np×NFFT維子矩陣，該子矩陣由F中行下標屬于μ的行向量組成;Π =［e1，e2，…，eNCIR］表示NFFT×NCIR維的CIR矩陣的坐標矩陣，ei為第i個長度為NFFT的坐標向量;zn表示Np×1維加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)向量，服從獨立同分布。定義一個Np×NCIR維矩陣:

則式(3)可以表示為:

對式(5)進一步簡化，可得:

其中，Ψ =［Ψ1，Ψ2，…，ΨM］為 Np× MNCIR維矩陣;gn=×1維 CIR向量。因此式(6)可以表示為:

對于一個無線大規模MIMO信道，連續的OFDM信號具有相同的導頻模型，因此L個包含導頻的OFDM符號接收序列可表示為:

定義一個M×L維矩陣:

2 導頻優化方案

本文采用非正交導頻設計方式，即不同發射天線的導頻占用完全相同的子載波，并且不同發射天線的導頻序列互不相同。為解決大規模MIMO系統稀疏信道恢復時導頻子載波產生的干擾，在壓縮感知理論的框架下需要保證由導頻決定的觀測矩陣盡可能滿足受限等距性(Restrict Isometry Property，RIP)，而實際設計時通常以最小化觀測矩陣的互相關為設計準則［13］。由式(4)可知，測量矩陣Ψm是由導頻符號pm取值和導頻位置μ={c1，c2，…，cNp}決定。即測量矩陣Ψm的互相關值越小，越接近RIP，對CIR的估計越精確。定義矩陣Ψm的互相關為:

其中:(Ψm)i表示Ψm的第i列，上標H表示矩陣的共軛轉置。將式(4)代入式(11)中，得到:

假設發射的導頻功率相同，即:

此時，互相關函數f僅與導頻位置和導頻功率有關，與導頻位置相比，導頻功率對f影響較小，因此可以假設E=1，對式(12)進一步簡化，可得:

因此，大規模MIMO系統導頻優化問題就可以轉化成對式(14)求最小化問題，則最優導頻位置表示為:

由于大規模MIMO系統中NFFT和Np值相對較大，采用窮舉法直接列出所有的導頻位置不太現實;因此本文以最小化觀測矩陣的互相關為優化目標，建立合適的遺傳模型并提出算法1，得到最小互相關對應的導頻子載波下標，即最佳導頻放置方式。算法1具體過程如下:

步驟1 初始化種群規模Msize，最大遺傳代數T，交叉概率pc，變異概率pm。

步驟2 采用實值編碼隨機生成Msize個個體(導頻位置序列)作為初始群體X={x1，x2，…，xMsize}，導頻數量Np作為個體長度。

步驟3 以測量矩陣互相關的倒數作為個體的適應度F(xi)，i=1，2，…，Msize，最大適應度值 Fmax對應的個體為最優個體。

步驟4 選出適應度最強的兩個體:父代1、2，同時生成兩個隨機數 a，b∈ (0，1)。

步驟5 若a＜pc，對父代1、2執行交叉操作:

1)生成一個0-1隨機序列，長度為Np;

2)令1對應基因位置的兩個個體執行基因互換操作，0對應的基因不變，從而產生兩個新個體;

3)若后代新個體基因間出現重復，則用另一父代與相應位置對應的基因替換，直至無重復;

4)對個體中基因從小到大排序，即子代1、2。

否則，直接將父代1、2視為子代1、2。

步驟6 若b＜pm，對子代1、2執行變異操作:

1)隨機選擇一個基因變異位置;

2)隨機產生一個1～NFFT的基因(除自身以外)，用它代替變異位置處的值;

3)若新個體中的基因重復出現，則再從1～NFFT中隨機選擇一個元素替換，直至沒有重復;

4)對個體中基因從小到大排序。

步驟7 (內循環)將新生成的子代1、2存入群體X1中，計算適應度值，繼續執行步驟4，直到滿足一定的循環次數(大于等于Msize)，從X1中選取適應度強的Msize個子代作為新的群體X2。

步驟8 從X2中選出最優個體xbest及適應度值Fbest最大的個體。判斷當前種群中最優個體的適應度是否等于前一代中最優個體，如果連續gen代的個體適應度相等，則結束循環，得到的適應度最大的個體xbest，即最佳導頻放置序列。否則繼續執行步驟4。

采用非正交導頻設計可以大幅降低大規模MIMO信道估計過程中產生的巨大導頻開銷，為減小信號重構時由導頻子載波造成的干擾同時提高信道估計性能，本文基于觀測矩陣最大列相關最小化準則提出了偽隨機導頻優化算法1。算法1對遺傳模型進行改進，并引入了內、外循環機制來保證種群中最優個體的獲取，從而提高了信道估計的精確度。

3 CSI估計算法

利用Jacks信道模型［14］可以得到CIR矩陣復數增益的時間相關性，表示為:

其中:1≤m，n≤M，J0(·)為零階貝塞爾函數，fd為多普勒頻移，Ts為相鄰OFDM信號的時間間隔。本文利用線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Square Error，LMMSE)估計算法計算，表示為:

其中，wi為M×Np維與LMMSE估計相關的系數［14］，表示為:

已知信道稀疏支撐集，由式(8)和式(16)可得互相關矩陣的兩個不同增益

利用式(1)和式(2)的空時相關性，本文基于LMMSE估計提出算法2，通過自適應獲取信道稀疏度和稀疏支撐集以實現對大規模MIMO信道的估計，算法2具體步驟如下:

輸入 Np×L維接收信號{珋r}，Np× MNCIR維感知矩陣i個分量的方差{Ai，i}，i=1，2，…，NCIR。

步驟1 初始化迭代值 p=1;稀疏支撐集 Λ(p－1)=Ω(p)=;稀疏度 K，殘留矩陣 R(p－1)= 珋r。

步驟2 根據最大相關性原則選取感知矩陣Φi(i=1，2，…，NCIR)和殘留矩陣R(p－1)最匹配的列的下標，從而確定支撐集 Λ(p－1):

其中‖·‖2表示l2范數。

步驟3 更新估計得稀疏支撐集:

算法2與文獻中［9］的局部公共支撐算法相比具有以下幾方面差異:1)局部公共支撐算法利用一個支撐向量來確定CIR向量的非零元素位置;在算法2中使用公共支撐集來確定CIR向量中的非零元素位置然后進行LMMSE估計。2)局部公共支撐算法僅考慮單個發射接收天線對的情況并從一個低維度測量向量中重構一個高維度稀疏向量;算法2考慮了許多個發射接收天線對的情況，利用大規模MIMO信道的空時相關性從低維度測量矩陣中恢復高維度稀疏矩陣，這種方式大幅減少了算法的運算時間，并能高效地恢復原始信號，從而提高了信道估計的精確度。

4 仿真實現及分析

為了驗證提出的算法對于FDD大規模MIMO系統具有有效性，本文進行了如下仿真，系統參數為:OFDM子載波數N=4096，基站端配備的天線數M=64，每根天線中相鄰OFDM信號的時間間隔Ts=0．5 ms，多徑信道的最大延遲擴展為 4．88 μs，相鄰子載波間隔為 7．5 kHz，CIR 向量的長度NCIR=4．88 μs× 7．5 kHz× 4 096≈150，相鄰 OFDM 信號數R=2，多普勒頻移fd=70 Hz，假設CIR向量中隨機分布的非零元素數K=10% ×NCIR=15。假設非正交導頻信號的隨機生成，導頻子載波下標集由算法1生成，導頻開銷比為(Np/N)×100%。假設算法1中連續遺傳代數為gen=0．4T，交叉概率為 pc=0．6，變異概率為 pm=0．03，初始群體數Msize=10。

4．1 不同導頻優化方案下SNR對MSE性能的影響

圖1是使用連續導頻放置方式、等間隔導頻放置方式［10］、逐位置優化方案［11］、隨機搜索優化方案［15］以及算法 1進行信道估計時歸一化均方誤差(Mean Square Error，MSE)隨信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)變化曲線。假設最大遺傳代數T=10，導頻開銷比為1%，此時表1計算出SNR=5 dB時各種導頻放置方式對應的測量矩陣互相關值。其中算法1(最優)指經算法1計算得到的最小互相關值對應的導頻放置方式，算法1(最差)指經算法1計算得到的最大互相關值對應的導頻放置方案。結合圖表可以看出互相關值越小，MSE越小，信道估計性能越好且算法1性能最好，該結論驗證了測量矩陣互相關最小特性。

圖1 不同方案下SNR對MSE的影響Fig．1 MSE versus SNR under different scheme

表1 SNR=5 dB時不同方案的互相關值對比Tab．1 Cross-correlation comparison of different schemes with SNR 5 dB

4．2 不同導頻優化方案下導頻開銷比對MSE性能的影響

圖2是使用連續導頻放置方式、等間隔導頻放置方式、隨機搜索優化方案、逐位置優化方案以及算法1進行信道估計時MSE隨導頻開銷比的變化曲線。假設最大遺傳代數T=10，SNR=15 dB，此時表2計算出導頻開銷比為1%時各種導頻放置方式對應的互相關值。結合圖表可以看出互相關值越小，MSE越小，信道估計性能越好且算法1(最優)性能最好，因此可以通過調節算法1相應參數來減小互相關值進而提高信道估計性能。為簡單起見，后文所提算法1均指算法1(最優)。

圖2 不同導頻優化方案下導頻開銷比對MSE的影響Fig．2 MSE versus pilot overhead ratio under different pilot optimazation scheme

表2 導頻開銷比1%時不同方案的互相關值對比Tab．2 Cross-correlation comparision of different schemes with pilot overhead ratio of 1%

4．3 導頻開銷比對最小互相關值的影響

圖3是使用算法1進行信道估計時最小互相關值隨導頻開銷比的變化曲線。假設最大遺傳代數T=10，SNR=15 dB。由圖知隨著導頻比開銷增加，測量矩陣最小互相關值逐漸減小。

圖3 導頻開銷比對最小互相關值的影響Fig．3 Influence of pilot overhead ratio on minimum cross-correlation

4．4 最大遺傳代數對最小互相關值的影響

圖4是使用算法1進行信道估計時最小互相關值隨最大遺傳代數變化曲線。令導頻開銷比為3%，SNR=15 dB。由圖知隨著最大遺傳代數增多，測量矩陣最小互相關值逐漸減小。

圖4 最大遺傳代數對最小互相關值的影響Fig．4 Influence of maximum genetic number on minimum cross-correlation value

4．5 不同導頻優化方案算法復雜度和運行時間對比

表3給出連續導頻放置方式、等間隔導頻放置方式、隨機搜索優化方案、逐位置優化方案以及算法1的算法復雜度和平均運行時間情況。仿真中導頻開銷比為1%，SNR=15 dB，最大遺傳代數T=10。算法1運算復雜度分析如下:步驟2復雜度為O(Msize)，步驟3復雜度為O(MsizeNpNCIR2)，步驟4和6復雜度為O(MsizeT)，步驟5復雜度為O(MsizeNp2T)，步驟7復雜度為O(MsizeNpNCIR2T)，經過對比分析可知算法1時間復雜度為O(MsizeNpNCIR2T)。由表3可知逐位置優化方案由于采用內、外循環且需對個體逐位置優化導致運行時間最長，其次是采用內、外循環機制的算法1，隨機搜索優化方案僅含有單層循環耗時略短，而連續、等間隔導頻放置方式運行時間最短但信道估計性能很差。

表3 不同導頻優化方案運算復雜度和運行時間對比Tab．3 Running time comparison of different schemes

4．6 不同信道估計算法下導頻開銷比對MSE性能的影響

圖5比較局部公共支撐算法［9］、自適應結構子追蹤(Adaptive Structured Subspace Pursuit，ASSP)算法［10］、逐步正交匹配追蹤(Stepwise Orthogonal Matching Pursuit，StOMP)算法［16］、正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法［17］以及本文提出的算法2在不同導頻開銷時的MSE性能。假設信道估計中導頻設計方案利用算法1產生的偽隨機導頻序列，信噪比SNR=15 dB。

圖5 不同信道估計算法下導頻開銷比對MSE的影響Fig．5 MSE versus pilot overhead ratio under different channel estimation algorithms

從圖5中可以看出算法2的性能優于OMP算法、StOMP算法、局部公共支撐算法和 ASSP算法，因為該算法利用MIMO信道的空時相關性，且采用LMMSE方式進行矩陣估計以獲取信道稀疏度及稀疏支撐集，改善了信道估計性能。ASSP算法在矩陣估計過程中采用的是LS估計，LS估計沒有LMMSE估計性能好。當導頻開銷比大于等于3%時，算法2的MSE值趨于穩定，表明算法2在低導頻開銷時能夠精確地獲取信道稀疏度和稀疏支撐集。

4．7 不同信道估計算法下信噪比對MSE性能的影響

圖6比較了局部公共支撐算法、ASSP算法、OMP算法、StOMP算法以及算法2在不同信噪比時的MSE性能，假設導頻開銷比為3%。從圖6中可以看出隨著SNR的增加，所有算法的MSE逐漸減小，且算法2的性能優于其他幾種算法。

4．8 不同信道估計算法運算復雜度和運行時間對比

表4給出了局部公共支撐算法、ASSP算法、OMP算法、StOMP算法以及算法2的運算復雜度和平均運行時間運算時間對比。仿真中SNR=15 dB，導頻開銷比為3%。算法2運算復雜度分析如下:步驟2復雜度為O(NpMNCIRRK)，步驟3復雜度為O(K)，步驟4復雜度為O(NpM2K2)，步驟5復雜度為O(MNp

2K)，步驟6復雜度為O(MNpK2R)，經過仿真對比，算法2的主要運算復雜度為Ο(NpM2K2)。通過分析表4可以看出，算法2比局部公共支撐算法、OMP算法和StOMP算法運行時間更短;ASSP算法運行時間最短，因為該算法采用LS估計和自適應更新稀疏度方法。局部公共支撐算法運算時間最長，因為該算法利用支撐向量b存儲CIR向量非零元素位置，增加了算法復雜度。

圖6 不同信道估計算法下SNR對MSE的影響Fig．6 MSE versus SNR under different channel estimation algorithms

表4 不同信道估計算法運算復雜度和運行時間對比Tab．4 Operation times of different scheme comparison

5 結語

針對基于壓縮感知的FDD大規模MIMO系統，在基站端，本文設計了一種非正交偽隨機導頻優化方案，該方案對遺傳模型進行改進，并引入了內、外循環機制來保證種群中最優個體的獲取;在用戶端，本文設計一種基于空時相關性的CSI估計算法，該算法利用LMMSE進行矩陣估計以精確獲取信道稀疏支撐集并重構原始信號。仿真結果驗證了本文工作的有效性，所提算法能夠在降低導頻開銷的同時保持良好的信道估計性能。