巧解第34屆全國中學生物理競賽復賽第二題

楊祖華

(貴陽市第一中學 貴州 貴陽 550081)

(1)彗星先后兩次穿過地球軌道所用的時間；

(2)彗星經過C,D兩點時速度的大小.

已知積分公式

式中的C是任意常數.

圖1 題圖

解：(1)由題意可知，彗星的軌跡方程為

(1)

如圖2所示，彗星運動到地球軌道的C點時有

r=Re

(2)

θ+φ=π

(3)

(4)

CD=2rsinφ

(5)

圖2 彗星運動到C點分析圖

拋物線的弓形CDA的面積S1為

(6)

△CDS的面積S2為

(7)

在C→D過程中，彗星與太陽連線掃過面積S為

S=S1-S2

(8)

令彗星在近日點A的速度為vA，由開普勒第二定律可知，彗星與太陽的連線在單位時間間隔內掃過的面積S′為

(9)

彗星先后兩次經過地球軌道所用的時間為

(10)

因為彗星運動的軌跡是拋物線，所以彗星與太陽構成的系統機械能守恒且為零.彗星在近日點A有

(11)

由式(1)～(11)可得

(12)

由式(12)代入數據計算得

t=6.40×106s

(13)

(2)彗星在C點的速率等于在D點的速率，由機械能守恒且為零可得

(14)

即得

(15)

由式(15)代入數據計算得

vC=vD=4.22×104m/s

(16)

上文中的式(1)和式(6)是利用圓錐曲線的特性直接寫出的，式(9)是利用開普勒第二定律考慮極短時間間隔內的情況寫出來的，其他的式子屬于基本的幾何、物理或能量關系式.下面，我們介紹本題涉及到的圓錐曲線的特性和式(9)的來源.

1 圓錐曲線的極坐標方程

2 拋物線與坐標軸圍成圖形的面積公式

如圖3所示，拋物線的方程為y=kx2(k>0)，拋物線與x軸及平行于y軸的輔助線圍成的圖形Ox1Q的面積為

(17)

則拋物線與y軸及平行于x軸的輔助線圍成的圖形Oy1Q的面積為

(18)

圖3 拋物線

只要從拋物線的頂點算起，式(1)和式(2)對任意形式的拋物線均適用[式(16)利用到了式(2)的結論].

3 行星與太陽連線掃過面積的變化率