微積分教學(xué)中學(xué)生易混淆的幾個(gè)概念

【摘要】微積分中極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)這些基本概念既有區(qū)別又有聯(lián)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中有一定困難，常常混淆它們的區(qū)別與聯(lián)系。本文對(duì)極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)這些基本概念的區(qū)別與聯(lián)系進(jìn)行分析總結(jié)，使概念之間的內(nèi)在聯(lián)系更加清晰，從而使學(xué)生對(duì)這些基本概念有更深入的理解與認(rèn)識(shí)。

【關(guān)鍵詞】極限 連續(xù) 導(dǎo)數(shù) 概念的區(qū)別與聯(lián)系 幾何解釋

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）01-0297-02

微積分是高校經(jīng)管類專業(yè)一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)課程和專業(yè)課程的學(xué)習(xí)有著直接的影響，同時(shí)對(duì)學(xué)生考研或深造也起著重要作用.在微積分教學(xué)中，由于經(jīng)管類學(xué)生大部分是文科生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，同時(shí)微積分課程具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性的特點(diǎn)，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中通常會(huì)遇到困難，容易混淆函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等基本概念.本文通過(guò)分析總結(jié)函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等基本概念的區(qū)別與聯(lián)系，使概念之間的內(nèi)在聯(lián)系更加清晰，從而使學(xué)生對(duì)這些基本概念有更深入的理解與認(rèn)識(shí)，為學(xué)習(xí)多元函數(shù)基本概念打下良好的基礎(chǔ).

一、函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)概念

函數(shù)是微積分的主要研究對(duì)象，極限概念是微積分的理論基礎(chǔ)，極限方法是微積分的基本分析方法.因此，掌握、運(yùn)用好極限方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵.

1.函數(shù)的極限

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù).如果給定任意小的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨向于時(shí)的極限。

記作：

或。

注：函數(shù)的極限是研究當(dāng)自變量在某個(gè)變化過(guò)程中函數(shù)的變化趨勢(shì).函數(shù)極限與在點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān)，但與任意給定的正數(shù)有關(guān)[1]28-30。

2.函數(shù)的連續(xù)

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義.如果當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)的增量也趨于零，即：

或，

那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，稱為的連續(xù)點(diǎn)。

注：由上述定義可知，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的本質(zhì)特征是：自變量變化很小時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化也很小。

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義。如果函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)處的函數(shù)值，即，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。

上述定義表明，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)與函數(shù)在某點(diǎn)的極限，既有聯(lián)系，又有區(qū)別.函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在不能保證在該點(diǎn)連續(xù)，同時(shí)要求極限值等于該點(diǎn)函數(shù)值，才能保證在該點(diǎn)連續(xù)[2]68-69。

3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量，相應(yīng)地，函數(shù)取得增量，如果時(shí)，極限：

導(dǎo)數(shù)概念是以極限概念為基礎(chǔ)而建立的新概念，它與極限有一定聯(lián)系但又不同于極限.導(dǎo)數(shù)描述的是函數(shù)變化率問(wèn)題，它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度，具體來(lái)講就是當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)，函數(shù)增量與自變量增量之比的極限[2]85-89。

由連續(xù)與導(dǎo)數(shù)的定義可知，在點(diǎn)處可導(dǎo)，則它在處連續(xù)；函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，但在該點(diǎn)不一定可導(dǎo)。

在學(xué)習(xí)微積分課程時(shí)，學(xué)生常常不能深入理解導(dǎo)數(shù)研究的問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，將函數(shù)極限、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)概念混淆在一起.函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在不能保證在該點(diǎn)連續(xù)；函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)不能保證在該點(diǎn)一定可導(dǎo).函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)要求條件最高，其次函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，最后函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在要求條件最低。

二、左、右極限，左、右連續(xù)，左、右導(dǎo)數(shù)

1.左、右極限

函數(shù)在處可導(dǎo)的充分必要條件是函數(shù)在處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在且相等[3]81-83。

從以上定義可知，函數(shù)在某點(diǎn)左、右極限存在不能保證函數(shù)在某點(diǎn)左、右連續(xù)，函數(shù)在某點(diǎn)左、右連續(xù)不能保證函數(shù)在某點(diǎn)左、右導(dǎo)數(shù)存在.學(xué)生常常把左、右極限與左、右連續(xù)混淆，不能很好的掌握左、右極限與左、右連續(xù)的區(qū)別和聯(lián)系，對(duì)左、右導(dǎo)數(shù)理解的不透徹。

三、函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)的幾何解釋

1.函數(shù)極限的幾何解釋

任意給定一正數(shù)，作平行于軸的兩條直線和 .根據(jù)定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論多么小），存在點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域，當(dāng)?shù)膱D形上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)落在該鄰域內(nèi)時(shí)，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)落在帶形區(qū)域內(nèi)。

2.函數(shù)連續(xù)的幾何解釋

若函數(shù)連續(xù)，則曲線的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線.

3.導(dǎo)數(shù)的幾何解釋

若函數(shù)在處可導(dǎo)，則就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即，

其中是切線的傾角[1]79-80。

極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)是微積分中最基本的概念，也是學(xué)生必須熟練掌握的概念.通過(guò)以上這些概念的分析與總結(jié)，進(jìn)一步強(qiáng)化了概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)概念及其內(nèi)在聯(lián)系有更深入的理解與認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007：28-30，79-80.

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[3]龔德恩，范培華.微積分（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2008：63-64，81-83.

作者簡(jiǎn)介：

李娜（1984-），女，河南商丘人，理學(xué)碩士，講師，主要從事微分方程數(shù)值解研究。