關(guān)于一個Euler函數(shù)方程的正整數(shù)解

郭夢媛 高麗 鄭璐

摘 要：在數(shù)論中，歐拉不定方程的正整數(shù)解的問題占有非常重要的地位。很多數(shù)學(xué)學(xué)者對此進(jìn)行了深入的研究，并取得了卓越的成就。基于此，本文探討了關(guān)于歐拉不定方程當(dāng)k=10時的所有正整數(shù)解的問題，首先利用一些初等方法研究了該方程的可解性問題，再利用同余的基本性質(zhì)以及求歐拉函數(shù)的一些基本方法求解出了該歐拉不定方程的所有正整數(shù)解。

關(guān)鍵詞：Euler函數(shù) 不定方程 正整數(shù)解

中圖分類號：O17 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2018）02（a）-0255-02

Abstract： In the number theory，the problem of the solution of Euler Diophantine equation plays a very powerful role.A majority of scholars have carried out in-depth research on it and achieved many remarkable achievements.based on this the main contents of this article discuss the problem of the positive integer solution of equation Y， and give all positive integer solutions of this equation by using the elementary method.

Key Words： Euler function； Diophantine equation； Positive integer solutions

對任意正整數(shù)，著名的歐拉函數(shù)定義為不大于且與互素的正整數(shù)的個數(shù)。有關(guān)歐拉函數(shù)方程的問題現(xiàn)已取得不少研究成果。例如文獻(xiàn)[1]利用初等方法研究了的可解性，并給出了該方程的所有正整數(shù)解。文獻(xiàn)[2]研究了方程的可解性，并給出了該方程的59個正整數(shù)解。文獻(xiàn)[3]研究了方程當(dāng)k=2，3時的部分解。文獻(xiàn)[4]討論了當(dāng)時方程有15個正整數(shù)解。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上利用初等方法研究了當(dāng)k=10時的方程，的可解性問題，并給出其全部正整數(shù)解。

1 預(yù)備知識

引理1：若為素數(shù)，則。

引理2：對任意正整數(shù)，，若，則有。

引理3：對任意正整數(shù)，，若，則有。

引理4：若，則且。

2 主要結(jié)論及證明

定理1：不定方程：

（1）

滿足的正整數(shù)解有：（x，y）=（13，16），（13，17），（13，93），（12，122），（13，154），（13，186），（13，198），（21，61），（21，122），（21，124），（21，61），（26，77），（26，93），（28，61），（28，93），（36，61），（36，77），（42，61），（25，33），（25，44），（25，66），（33，50），（14，62），（18，62），（15，132），（12，66），（20，30），（15，60），（20，20）。

證明：假設(shè)，由引理2知，，再由引理3可知，，從而有，可得：

（2）

對于式（2），當(dāng)d>20時有，即。顯然不存在正整數(shù)使其成立。因此，當(dāng)d>20時式（2）無解，此方程只需討論[1，20]內(nèi)的整數(shù)即可，下面將分20種情況分別證明，不妨設(shè)。

（1）當(dāng)時，式（2）為，

從而有m=11，n=110；m=12，n=60；m=14，n=35；m=20，n=20。又因為，所以有；；；；或。

若，由引理4知方程無正整數(shù)解。若，因而有；，因而，此時方程有正整數(shù)解：

，

若，由引理4知方程（1）無正整數(shù)解。

若，由引理4知方程（1）無正整數(shù)解。

若，因而有，因而，此時方程有正整數(shù)解。

（2）當(dāng)時，式為，即，從而有；。又因為，所以有或。

若，因而有；，且有因而，此時方程有正整數(shù)解。

若，因而有，又因為此時，因此，此時方程無解。

（3）當(dāng)時，式為，從而有，

。又因為，所以有，或。

若，有；，又因為此時，故方程無解。

若，有；，因而此時方程有正整數(shù)解。

（4）當(dāng)時，式為，即，從而有；。又因為，所以有，或。

若，有，又因為此時，故方程無正整數(shù)解。

若，有，，又因為此時，故方程無正整數(shù)解。

（5）當(dāng)時，式為，即，從而有；或。又因為，所以有或。

若，有，

又因為此時，故方程無正整數(shù)解。

若，有，又因為此時，故方程無正整數(shù)解。

（6）當(dāng)時，式為，即，從而有又因為，所以有。有，。又因為此時，故方程有正整數(shù)解。

（7）當(dāng)時，式為，從而有，又因為，所以有，有，。又因為此時，故方程無正整數(shù)解。

（8）當(dāng)時，式為，即，此時沒有的正整數(shù)解，故方程無正整數(shù)解。

（9）當(dāng)時，式為，此時沒有的正整數(shù)解，故方程無正整數(shù)解。

（10）當(dāng)時，式為，即，從而有又因為，所以有，有又因為此時，故方程有正整數(shù)解。

（11）當(dāng)時，式為，從而有又因為，所以有。有，。又因為此時，故方程無正整數(shù)解。

（12）當(dāng)時，式為，即，從而有又因為，所以有，有，。又因為此時，故方程無正整數(shù)解。

（13）當(dāng)時，式為，此時沒有的正整數(shù)解，故方程無正整數(shù)解。

（14）當(dāng)時，式為，即，此時沒有的正整數(shù)解，故方程無正整數(shù)解。

（15）當(dāng)時，式為，即，從而有又因為，所以有，有，。又因為此時，故方程有正整數(shù)解（15，60）。

（16）當(dāng)時，式為，即，此時沒有的正整數(shù)解，故方程無正整數(shù)解。

（17）當(dāng)時，式為，此時沒有的正整數(shù)解，故方程無正整數(shù)解。

（18）當(dāng)時，式為，即，此時沒有的正整數(shù)解，故方程無正整數(shù)解。

（19）當(dāng)時，式為，此時沒有的正整數(shù)解，故方程無正整數(shù)解。

（20）當(dāng)時，式為，即，從而有又因為，所以有，有，又因為此時，故方程有正整數(shù)解（20，20）。

綜上（1）～（20），定理1得證。方程有解：

參考文獻(xiàn)

[1] 許霞，徐小凡.關(guān)于歐拉方程的正整數(shù)解[J].西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2016，41（4）：6-9.

[2] 陳國慧.一個包含函數(shù)的方程[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，23（4）：439-445，457.

[3] Sun CF，Cheng Z.Some kind of equations involving Euler function[J].數(shù)學(xué)研究，2010，43（4）：364-369.

[4] 孫樹東.有關(guān)函數(shù)的方程的正整數(shù)解[J].北華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，16（2）：161-164.