關于一個Euler函數方程的正整數解

郭夢媛 高麗 鄭璐

摘 要：在數論中，歐拉不定方程的正整數解的問題占有非常重要的地位。很多數學學者對此進行了深入的研究，并取得了卓越的成就。基于此，本文探討了關于歐拉不定方程當k=10時的所有正整數解的問題，首先利用一些初等方法研究了該方程的可解性問題，再利用同余的基本性質以及求歐拉函數的一些基本方法求解出了該歐拉不定方程的所有正整數解。

關鍵詞：Euler函數 不定方程 正整數解

中圖分類號：O17 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2018）02（a）-0255-02

Abstract： In the number theory，the problem of the solution of Euler Diophantine equation plays a very powerful role.A majority of scholars have carried out in-depth research on it and achieved many remarkable achievements.based on this the main contents of this article discuss the problem of the positive integer solution of equation Y， and give all positive integer solutions of this equation by using the elementary method.

Key Words： Euler function； Diophantine equation； Positive integer solutions

對任意正整數，著名的歐拉函數定義為不大于且與互素的正整數的個數。有關歐拉函數方程的問題現已取得不少研究成果。例如文獻[1]利用初等方法研究了的可解性，并給出了該方程的所有正整數解。文獻[2]研究了方程的可解性，并給出了該方程的59個正整數解。文獻[3]研究了方程當k=2，3時的部分解。文獻[4]討論了當時方程有15個正整數解。

本文在上述研究的基礎上利用初等方法研究了當k=10時的方程，的可解性問題，并給出其全部正整數解。

1 預備知識

引理1：若為素數，則。

引理2：對任意正整數，，若，則有。

引理3：對任意正整數，，若，則有。

引理4：若，則且。

2 主要結論及證明

定理1：不定方程：

（1）

滿足的正整數解有：（x，y）=（13，16），（13，17），（13，93），（12，122），（13，154），（13，186），（13，198），（21，61），（21，122），（21，124），（21，61），（26，77），（26，93），（28，61），（28，93），（36，61），（36，77），（42，61），（25，33），（25，44），（25，66），（33，50），（14，62），（18，62），（15，132），（12，66），（20，30），（15，60），（20，20）。

證明：假設，由引理2知，，再由引理3可知，，從而有，可得：

（2）

對于式（2），當d>20時有，即。顯然不存在正整數使其成立。因此，當d>20時式（2）無解，此方程只需討論[1，20]內的整數即可，下面將分20種情況分別證明，不妨設。

（1）當時，式（2）為，

從而有m=11，n=110；m=12，n=60；m=14，n=35；m=20，n=20。又因為，所以有；；；；或。

若，由引理4知方程無正整數解。若，因而有；，因而，此時方程有正整數解：

，

若，由引理4知方程（1）無正整數解。

若，由引理4知方程（1）無正整數解。

若，因而有，因而，此時方程有正整數解。

（2）當時，式為，即，從而有；。又因為，所以有或。

若，因而有；，且有因而，此時方程有正整數解。

若，因而有，又因為此時，因此，此時方程無解。

（3）當時，式為，從而有，

。又因為，所以有，或。

若，有；，又因為此時，故方程無解。

若，有；，因而此時方程有正整數解。

（4）當時，式為，即，從而有；。又因為，所以有，或。

若，有，又因為此時，故方程無正整數解。

若，有，，又因為此時，故方程無正整數解。

（5）當時，式為，即，從而有；或。又因為，所以有或。

若，有，

又因為此時，故方程無正整數解。

若，有，又因為此時，故方程無正整數解。

（6）當時，式為，即，從而有又因為，所以有。有，。又因為此時，故方程有正整數解。

（7）當時，式為，從而有，又因為，所以有，有，。又因為此時，故方程無正整數解。

（8）當時，式為，即，此時沒有的正整數解，故方程無正整數解。

（9）當時，式為，此時沒有的正整數解，故方程無正整數解。

（10）當時，式為，即，從而有又因為，所以有，有又因為此時，故方程有正整數解。

（11）當時，式為，從而有又因為，所以有。有，。又因為此時，故方程無正整數解。

（12）當時，式為，即，從而有又因為，所以有，有，。又因為此時，故方程無正整數解。

（13）當時，式為，此時沒有的正整數解，故方程無正整數解。

（14）當時，式為，即，此時沒有的正整數解，故方程無正整數解。

（15）當時，式為，即，從而有又因為，所以有，有，。又因為此時，故方程有正整數解（15，60）。

（16）當時，式為，即，此時沒有的正整數解，故方程無正整數解。

（17）當時，式為，此時沒有的正整數解，故方程無正整數解。

（18）當時，式為，即，此時沒有的正整數解，故方程無正整數解。

（19）當時，式為，此時沒有的正整數解，故方程無正整數解。

（20）當時，式為，即，從而有又因為，所以有，有，又因為此時，故方程有正整數解（20，20）。

綜上（1）～（20），定理1得證。方程有解：

參考文獻

[1] 許霞，徐小凡.關于歐拉方程的正整數解[J].西南師范大學學報：自然科學版，2016，41（4）：6-9.

[2] 陳國慧.一個包含函數的方程[J].純粹數學與應用數學，2007，23（4）：439-445，457.

[3] Sun CF，Cheng Z.Some kind of equations involving Euler function[J].數學研究，2010，43（4）：364-369.

[4] 孫樹東.有關函數的方程的正整數解[J].北華大學學報：自然科學版，2015，16（2）：161-164.